¿Por qué tu reloj no mide el tiempo igual que el de tu amigo? La | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

Imagina que quedas con tu amigo en <<Plaza de Bolívar>> en Bogotá a las 5:00 p.m. para tomar un <<tinto>>. Él toma el bus de las 5:00 hacia Medellín, y tú te quedas esperando. Cuando él llega a <<La Aguacatala>>, su reloj marca 7:30 p.m. (2.5 horas de viaje), pero tú revisas tu reloj en Bogotá y ves que son las 7:30 p.m. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué tu reloj y el de tu amigo no están sincronizados? La respuesta está en la <<relatividad del tiempo>>, un fenómeno que hasta los GPS en Colombia deben corregir para no fallar en la ubicación. ¡Vamos a descubrirlo con ejercicios que usan distancias reales entre ciudades colombianas!

El ciclista de la Séptima

facileapplication

En Bogotá, tu primo Juan pedalea por la <<Avenida Séptima>> en su bicicleta a una velocidad constante de $v = 20 km/h$ . Si él recorre $d = 10 km$ y su reloj marca $t_{0} = 30 minutos$ para el trayecto, ¿cuánto tiempo medirás tú, parado en la acera, para el mismo recorrido? Usa $c = 3 \times 10^{5} km/s$ .

Datos

`v`	velocidad del ciclista	20	km/h
`d`	distancia recorrida	10	km
`t_0`	tiempo propio del viaje	0.5	h
`c`	velocidad de la luz	3e5	km/s

Se busca

t — tiempo medido en la acera (h)

Pistas progresivas

Pista 1

Convierte el tiempo propio $t_{0}$ a horas para trabajar con unidades consistentes.

Pista 2

Recuerda que la dilatación temporal solo es significativa cuando $v$ es comparable a $c$ .

Pista 3

Usa la fórmula $t = \frac{t_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ y calcula el factor de Lorentz $γ$ .

Solución completa

Datos y conversión — Tenemos la velocidad del ciclista, la distancia y el tiempo propio. Convertimos $t_{0}$ a horas para trabajar con unidades consistentes.
$t_{0} = 30 min = 0.5 h$
Cálculo del factor de Lorentz — Calculamos $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ con $v = 20 km/h$ y $c = 3 \times 10^{5} km/s$ .
$v = 20 km/h = \frac{20}{3600} km/s \approx 0.00556 km/s n γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(0.00556)}^{2}}{{(3 \times 10^{5})}^{2}}}} \approx 1.00000000000000000000000000000000005$
Tiempo dilatado — Aplicamos la fórmula de dilatación temporal para encontrar $t$ .
$t = γ \cdot t_{0} \approx 1.00000000000000000000000000000000005 \times 0.5 h \approx 0.500000000000000000000000000000000025 h$
Conversión a minutos — Convertimos el resultado a minutos para comparar con el tiempo propio.
$t \approx 0.500000000000000000000000000000000025 \times 60 min \approx 30.0000000000000000000000000000000015 min$

$t \approx 30 min$

→ Tu reloj marcará aproximadamente 30 minutos, igual que el de tu primo. La diferencia es de solo $1.5 \times 10^{- 17}$ minutos (¡imposible de medir!).

El bus de las 5:00 hacia Medellín

moyenapplication

Un bus intermunicipal sale de Bogotá hacia Medellín a las 5:00 p.m. con velocidad constante $v = 80 km/h$ . Según el reloj del bus, el viaje dura $t_{0} = 8 horas$ . Si tú te quedas en Bogotá, ¿cuánto tiempo medirás para el mismo viaje? Usa $c = 3 \times 10^{5} km/s$ .

Datos

`v`	velocidad del bus	80	km/h
`t_0`	tiempo propio del viaje	8	h
`c`	velocidad de la luz	3e5	km/s

Se busca

t — tiempo medido en Bogotá (h)

Pistas progresivas

Pista 1

Convierte la velocidad del bus a km/s para trabajar con unidades consistentes con $c$ .

Pista 2

Calcula primero el factor $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ para evaluar si la dilatación es significativa.

Pista 3

Usa la fórmula $t = \frac{t_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ y aproxima el resultado.

Solución completa

Conversión de velocidad — Convertimos la velocidad del bus a km/s para que coincida con las unidades de $c$ .
$v = 80 km/h = \frac{80}{3600} km/s \approx 0.02222 km/s$
Cálculo del factor de Lorentz — Calculamos $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ .
$\frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{{(0.02222)}^{2}}{{(3 \times 10^{5})}^{2}} \approx 5.48 \times 10^{- 18} n γ = \frac{1}{\sqrt{1 - 5.48 \times 10^{- 18}}} \approx 1 + 2.74 \times 10^{- 18}$
Tiempo dilatado — Aplicamos la fórmula de dilatación temporal para encontrar $t$ .
$t = γ \cdot t_{0} \approx (1 + 2.74 \times 10^{- 18}) \times 8 h \approx 8.0000000000000000219 h$
Conversión a minutos — Convertimos el resultado a minutos para mayor claridad.
$t \approx 8.0000000000000000219 \times 60 min \approx 480.00000000000000131 min$

$t \approx 8 h$

→ Tu reloj marcará aproximadamente 8 horas, igual que el del bus. La diferencia es de solo $1.31 \times 10^{- 13}$ minutos (¡imposible de detectar con relojes convencionales!).

Avión Bogotá-Cali: ¿quién envejece más?

moyenmodeling

Un avión comercial vuela de Bogotá a Cali a una velocidad constante $v = 850 km/h$ . El tiempo de vuelo según el reloj del avión es $t_{0} = 1.2 horas$ . Si un pasajero en tierra usa su reloj para medir el mismo viaje, ¿cuánto tiempo registrará? Usa $c = 3 \times 10^{5} km/s$ .

Datos

`v`	velocidad del avión	850	km/h
`t_0`	tiempo propio del vuelo	1.2	h
`c`	velocidad de la luz	3e5	km/s

Se busca

t — tiempo medido en tierra (h)

Pistas progresivas

Pista 1

Convierte la velocidad del avión a km/s para trabajar con unidades consistentes.

Pista 2

Calcula el factor $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ y evalúa si la dilatación es más notable que en el ejercicio anterior.

Pista 3

Usa la fórmula $t = \frac{t_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ y compara con el resultado del bus.

Solución completa

Conversión de velocidad — Convertimos la velocidad del avión a km/s.
$v = 850 km/h = \frac{850}{3600} km/s \approx 0.2361 km/s$
Cálculo del factor de Lorentz — Calculamos $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ .
$\frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{{(0.2361)}^{2}}{{(3 \times 10^{5})}^{2}} \approx 6.22 \times 10^{- 15} n γ = \frac{1}{\sqrt{1 - 6.22 \times 10^{- 15}}} \approx 1 + 3.11 \times 10^{- 15}$
Tiempo dilatado — Aplicamos la fórmula de dilatación temporal para encontrar $t$ .
$t = γ \cdot t_{0} \approx (1 + 3.11 \times 10^{- 15}) \times 1.2 h \approx 1.2000000000000037 h$
Diferencia en segundos — Convertimos la diferencia a segundos para entender su magnitud.
$Δ t = t - t_{0} \approx 3.7 \times 10^{- 12} h \times 3600 s/h \approx 1.33 \times 10^{- 8} s = 13.3 ns$

$t \approx 1.2000000000000037 h$

→ Tu reloj en tierra medirá aproximadamente 1.2000000000000037 horas (1 hora, 12 minutos y 13.3 nanosegundos). La diferencia es de solo 13.3 ns.

El misterio del GPS sobre Colombia

difficileapplication

Los satélites del sistema GPS que orbitan sobre Colombia se mueven a una velocidad $v = 1.4 \times 10^{4} km/h$ y están a una altitud donde el tiempo se dilata por efectos de velocidad y gravedad. Si un reloj en tierra marca $t_{0} = 24 horas$ , ¿cuánto tiempo marcará un reloj idéntico en el satélite? Usa $c = 3 \times 10^{5} km/s$ y considera solo el efecto de velocidad (ignora la dilatación gravitacional para este ejercicio).

Datos

`v`	velocidad del satélite	1.4e4	km/h
`t_0`	tiempo en tierra	24	h
`c`	velocidad de la luz	3e5	km/s

Se busca

t — tiempo en el satélite (h)

Pistas progresivas

Pista 1

Convierte la velocidad del satélite a km/s para trabajar con unidades consistentes.

Pista 2

Calcula el factor $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ y evalúa su magnitud.

Pista 3

Usa la fórmula $t = \frac{t_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ y compara con los ejercicios anteriores.

Pista 4

Recuerda que en la realidad, los satélites GPS deben corregir por ambos efectos (velocidad y gravedad).

Solución completa

Conversión de velocidad — Convertimos la velocidad del satélite a km/s.
$v = 1.4 \times 10^{4} km/h = \frac{1.4 \times 10^{4}}{3600} km/s \approx 3.889 km/s$
Cálculo del factor de Lorentz — Calculamos $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ .
$\frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{{(3.889)}^{2}}{{(3 \times 10^{5})}^{2}} \approx 1.68 \times 10^{- 10} n γ = \frac{1}{\sqrt{1 - 1.68 \times 10^{- 10}}} \approx 1 + 8.4 \times 10^{- 11}$
Tiempo dilatado en el satélite — Aplicamos la fórmula de dilatación temporal para encontrar $t$ .
$t = γ \cdot t_{0} \approx (1 + 8.4 \times 10^{- 11}) \times 24 h \approx 24.000000002016 h$
Diferencia en microsegundos — Convertimos la diferencia a microsegundos para entender su magnitud.
$Δ t = t - t_{0} \approx 2.016 \times 10^{- 6} h \times 3600 s/h \times 10^{6} µs/s \approx 7.26 µs$

$t \approx 24.000000002016 h$

→ El reloj en el satélite marcará aproximadamente 24.000000002016 horas (24 horas y 7.26 microsegundos). La diferencia es de 7.26 µs por día.

El bus nocturno Barranquilla-Cartagena

moyenapplication

Un bus nocturno sale de Barranquilla hacia Cartagena a las 10:00 p.m. con velocidad constante $v = 90 km/h$ . El reloj del bus marca $t_{0} = 3 horas$ para el viaje. Si tú te quedas en Barranquilla, ¿cuánto tiempo medirás para el mismo viaje? Usa $c = 3 \times 10^{5} km/s$ .

Datos

`v`	velocidad del bus	90	km/h
`t_0`	tiempo propio del viaje	3	h
`c`	velocidad de la luz	3e5	km/s

Se busca

t — tiempo medido en Barranquilla (h)

Pistas progresivas

Pista 1

Convierte la velocidad del bus a km/s.

Pista 2

Calcula el factor $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ y evalúa si la dilatación es más notable que en ejercicios anteriores.

Pista 3

Usa la fórmula $t = \frac{t_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ y aproxima el resultado.

Solución completa

Conversión de velocidad — Convertimos la velocidad del bus a km/s.
$v = 90 km/h = \frac{90}{3600} km/s = 0.025 km/s$
Cálculo del factor de Lorentz — Calculamos $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ .
$\frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{{(0.025)}^{2}}{{(3 \times 10^{5})}^{2}} \approx 6.94 \times 10^{- 18} n γ = \frac{1}{\sqrt{1 - 6.94 \times 10^{- 18}}} \approx 1 + 3.47 \times 10^{- 18}$
Tiempo dilatado — Aplicamos la fórmula de dilatación temporal para encontrar $t$ .
$t = γ \cdot t_{0} \approx (1 + 3.47 \times 10^{- 18}) \times 3 h \approx 3.0000000000000000104 h$
Diferencia en segundos — Convertimos la diferencia a segundos para entender su magnitud.
$Δ t = t - t_{0} \approx 1.04 \times 10^{- 17} h \times 3600 s/h \approx 3.74 \times 10^{- 14} s$

$t \approx 3 h$

→ Tu reloj en Barranquilla marcará aproximadamente 3 horas, igual que el del bus. La diferencia es de solo $3.74 \times 10^{- 14}$ segundos.

El efecto en un viaje Bogotá-Medellín en bus

difficilemodeling

Un bus viaja de Bogotá a Medellín ( $d = 500 km$ ) a velocidad constante $v = 100 km/h$ . El reloj del bus marca $t_{0} = 5 horas$ para el viaje. ¿Cuál es la diferencia de tiempo $Δ t = t - t_{0}$ entre el reloj en tierra y el del bus? Usa $c = 3 \times 10^{5} km/s$ .

Datos

`v`	velocidad del bus	100	km/h
`d`	distancia Bogotá-Medellín	500	km
`t_0`	tiempo propio del viaje	5	h
`c`	velocidad de la luz	3e5	km/s

Se busca

\Delta t — diferencia de tiempo (s)

Pistas progresivas

Pista 1

Verifica que el tiempo propio $t_{0}$ coincide con la distancia y velocidad dadas: $t_{0} = \frac{d}{v}$ .

Pista 2

Convierte la velocidad a km/s y calcula $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ .

Pista 3

Usa la aproximación $γ \approx 1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}$ para $\frac{v^{2}}{c^{2}} ≪ 1$ .

Pista 4

Calcula $Δ t = t - t_{0} = t_{0} (γ - 1)$ .

Solución completa

Verificación de $t_{0}$ — Confirmamos que el tiempo propio coincide con la distancia y velocidad.
$t_{0} = \frac{d}{v} = \frac{500 km}{100 km/h} = 5 h$
Conversión de velocidad — Convertimos la velocidad del bus a km/s.
$v = 100 km/h = \frac{100}{3600} km/s \approx 0.02778 km/s$
Cálculo de $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ — Calculamos el valor del factor $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ .
$\frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{{(0.02778)}^{2}}{{(3 \times 10^{5})}^{2}} \approx 8.64 \times 10^{- 18}$
Aproximación de $γ$ — Usamos la aproximación $γ \approx 1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}$ válida para $\frac{v^{2}}{c^{2}} ≪ 1$ .
$γ \approx 1 + \frac{1}{2} \times 8.64 \times 10^{- 18} = 1 + 4.32 \times 10^{- 18}$
Cálculo de $Δ t$ — Calculamos la diferencia de tiempo $Δ t = t - t_{0} = t_{0} (γ - 1)$ .
$Δ t = 5 h \times 4.32 \times 10^{- 18} = 2.16 \times 10^{- 17} h$
Conversión a segundos — Convertimos $Δ t$ a segundos para entender su magnitud.
$Δ t = 2.16 \times 10^{- 17} h \times 3600 s/h \approx 7.78 \times 10^{- 14} s$

$Δ t \approx 7.78 \times 10^{- 14} s$

→ La diferencia de tiempo entre el reloj en tierra y el del bus es de aproximadamente $7.78 \times 10^{- 14}$ segundos (0.0000000000000778 s).

¿Por qué los GPS en Colombia no fallan?

difficileanalysis

Los ingenieros que diseñan los sistemas GPS en Colombia deben corregir dos efectos relativistas: la dilatación temporal por velocidad ( $Δ t_{v}$ ) y la dilatación temporal gravitacional ( $Δ t_{g}$ ). Si un reloj en tierra marca $t_{0} = 1 día$ , el reloj en un satélite GPS marca $t = t_{0} + Δ t_{v} + Δ t_{g}$ . Sabiendo que $Δ t_{v} = + 7.2 µs/día$ (el reloj en el satélite se atrasa) y $Δ t_{g} = - 45.9 µs/día$ (el reloj en el satélite se adelanta), ¿cuál es la corrección total que deben aplicar los ingenieros? ¿Qué pasaría si no la aplicaran?

Datos

`t_0`	tiempo en tierra	1	día
`\Delta t_v`	corrección por velocidad	7.2	µs/día
`\Delta t_g`	corrección gravitacional	-45.9	µs/día

Se busca

\Delta t_{total} — corrección total (µs/día)
error_posible — error acumulado en 1 día (m)

Pistas progresivas

Pista 1

Suma las correcciones $Δ t_{v}$ y $Δ t_{g}$ para obtener $Δ t_{t o t a l}$ .

Pista 2

Recuerda que la luz viaja a $3 \times 10^{8} m/s$ . Calcula cuánto se desplaza un satélite en el tiempo $Δ t_{t o t a l}$ .

Pista 3

Un error de 1 µs en el tiempo del GPS equivale a un error de aproximadamente 300 metros en la posición.

Solución completa

Cálculo de la corrección total — Sumamos las correcciones por velocidad y gravitacional.
$Δ t_{t o t a l} = Δ t_{v} + Δ t_{g} = 7.2 µs + (- 45.9 µs) = - 38.7 µs/día$
Error en la posición — Calculamos el error en metros que causaría no aplicar la corrección.
$v_{l u z} = 3 \times 10^{8} m/s n Error en distancia = v_{l u z} \times | Δ t_{t o t a l} | = 3 \times 10^{8} m/s \times 38.7 \times 10^{- 6} s = 11610 m = 11.61 km$

$Δ t_{t o t a l} = - 38.7 µs/día, error = 11.6 km$

→ La corrección total que deben aplicar es de -38.7 µs/día. Si no lo hicieran, el error en la posición sería de aproximadamente 11.6 km por día.

El ciclista de la Séptima

Datos

Se busca

Pistas progresivas

El bus de las 5:00 hacia Medellín

Datos

Se busca

Pistas progresivas

Avión Bogotá-Cali: ¿quién envejece más?

Datos

Se busca

Pistas progresivas

El misterio del GPS sobre Colombia

Datos

Se busca

Pistas progresivas

El bus nocturno Barranquilla-Cartagena

Datos

Se busca

Pistas progresivas

El efecto en un viaje Bogotá-Medellín en bus

Datos

Se busca

Pistas progresivas

¿Por qué los GPS en Colombia no fallan?

Datos

Se busca

Pistas progresivas

Fuentes