Formulación Lagrangiana en Física para Colombia | ORBITECH

¿Por qué usar Lagrange? El problema con Newton

En mecánica newtoniana necesitas descomponer todas las fuerzas, incluso las de ligadura. ¡Un dolor de cabeza con el bus en la carrera 7ma de Bogotá!
Lagrange elimina las fuerzas de ligadura usando coordenadas generalizadas
Con Lagrange solo defines el sistema con su energía cinética $T$ y potencial $V$ . Nada de diagramas de cuerpo libre interminables.
Piensa en el Lagrangiano como el 'ADN' del sistema mecánico
Funciona igual para sistemas simples que para partículas en campos electromagnéticos. ¡Hasta la relatividad lo usa!
Es la navaja suiza de la física teórica

El Lagrangiano se define como $L = T - V$ donde $T$ es energía cinética y $V$ potencial. $L = T - V$
¡T siempre va primero! Orden alfabético: Cinética, Potencial
La naturaleza sigue el camino donde la acción $S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t$ es estacionaria (máximo, mínimo o punto silla). $S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q_{i}, {\dot{q}}_{i}, t) d t$
La acción es como el 'presupuesto' que la naturaleza optimiza
Para un sistema conservativo, $L$ no depende explícitamente del tiempo.
Si $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$ , la energía total se conserva

L = T - V

Esta ecuación te da las ecuaciones de movimiento directamente de $L$ . ¡Adiós a $F = m a$ complicada! $\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$
Memoriza: derivada temporal de la derivada parcial respecto a la velocidad, menos la derivada parcial respecto a la posición
Para coordenadas cíclicas (que no aparecen en $L$ ), su momento conjugado se conserva. Si $\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) = 0$ ParseError: Can't use function '$' in math mode at position 4: Si $̲\frac{\partial …
¡Conservación de momento conjugado = energía cinética en esa coordenada!
En 1D, si $L = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - V (x)$ , recuperas $m \ddot{x} = - \frac{d V}{d x}$ (segunda ley de Newton). $m \ddot{x} = - \frac{d V}{d x}$
Lagrange es generalización de Newton, no competencia

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0

Sistema: masa $m$ en resorte de constante $k$ , desplazada $x$ de equilibrio.
Usa $x$ como coordenada generalizada
Energía cinética $T = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2}$ , potencial $V = \frac{1}{2} k x^{2}$ . $T = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2}, V = \frac{1}{2} k x^{2}$
¡El potencial es como un resorte en el Parque Explora!
Lagrangiano: $L = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - \frac{1}{2} k x^{2}$ . $L = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - \frac{1}{2} k x^{2}$
Fácil de recordar: cinética menos potencial
Ecuación de Euler-Lagrange: $m \ddot{x} + k x = 0$ . ¡Ecuación del oscilador armónico! $m \ddot{x} + k x = 0$
Solución: $x (t) = A \cos (ω t + ϕ)$ con $ω = \sqrt{k / m}$

m \ddot{x} + k x = 0

Sistema: masa $m$ en péndulo de longitud $l$ , ángulo $θ$ respecto a la vertical.
Usa $θ$ como coordenada generalizada
Energía cinética $T = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2}$ , potencial $V = m g l (1 - \cos θ)$ . $T = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2}, V = m g l (1 - \cos θ)$
En Manizales, ¡el péndulo podría ser un columpio en el Parque de los Nevados!
Lagrangiano: $L = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} - m g l (1 - \cos θ)$ . $L = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} - m g l (1 - \cos θ)$
Para ángulos pequeños, $\cos θ \approx 1 - \frac{θ^{2}}{2}$
Ecuación de Euler-Lagrange: $\ddot{θ} + \frac{g}{l} \sin θ = 0$ . $\ddot{θ} + \frac{g}{l} \sin θ = 0$
Para $θ$ pequeño: $\ddot{θ} + \frac{g}{l} θ = 0$ (oscilador armónico)

\ddot{θ} + \frac{g}{l} \sin θ = 0

En problemas con ligaduras (ej: cuentas en un alambre en forma de cicloide), Lagrange es más directo.
¡Sin fuerzas de ligadura que dibujar!
Para sistemas conservativos, $L$ contiene toda la información dinámica.
Energía total $E = T + V$ se conserva si $L$ no depende explícitamente del tiempo
En mecánica analítica, Lagrange usa coordenadas generalizadas que simplifican el problema.
Ej: Usa ángulos en lugar de componentes cartesianas
Es la base para mecánica cuántica y teoría de campos. ¡Lo que viene después!
Si entiendes Lagrange, el salto a cuántica es más fácil

Olvidar que $L = T - V$ y poner $L = V - T$ . ¡Invertir el signo es mortal en el examen!
Recuerda: 'menos' porque $V$ se resta de $T$
Confundir ${\dot{q}}_{i}$ (velocidad generalizada) con velocidad lineal. ¡Son diferentes!
${\dot{q}}_{i}$ es derivada temporal de la coordenada generalizada
No identificar coordenadas cíclicas. ¡Pierdes conservación de momento conjugado!
Busca qué $q_{i}$ no aparece en $L$
Olvidar que para sistemas no conservativos debes incluir términos de disipación en $L$ .
En esos casos, $L$ ya no es $T - V$ puro

Joseph-Louis Lagrange 1736-01-25 publicó su obra maestra «Mécanique Analytique» en 1788.: Revolucionó la mecánica clásica usando cálculo de variaciones y principios de acción mínima
El principio de acción estacionaria fue formulado por Pierre Louis Maupertuis en 1744.: Lagrange lo usó como base para su mecánica analítica
En Colombia, el ICFES Saber 11 evalúa mecánica clásica en la prueba de física desde hace más de 20 años.: Incluye problemas de dinámica newtoniana y, ocasionalmente, lagrangiana
El valor de $g$ en Bogotá es aproximadamente $9.77 {m/s}^{2}$ (vs $9.81 {m/s}^{2}$ estándar).: ¡Por la altitud de la Sabana de Bogotá (2640 msnm)!