Dinámica no lineal y caos: El baile impredecible del universo en

Estudia sistemas donde la salida no es proporcional a la entrada.

Ejemplo: un péndulo con fricción no lineal.

Su ecuación de evolución no es lineal en las variables.

No se puede descomponer en soluciones simples.

Sistema determinista que genera comportamiento impredecible a largo plazo.

Pequeños cambios iniciales generan grandes diferencias.

Un pequeño cambio en las condiciones iniciales puede generar resultados muy distintos.

Ejemplo: un aleteo de mariposa en Leticia podría cambiar el clima en Bogotá.

El clima en Bogotá es altamente sensible a pequeñas variaciones iniciales.

Por eso los pronósticos a más de 3 días son inciertos.

Estructura hacia la que evolucionan los sistemas caóticos.

Ejemplo: el atractor de Lorenz tiene forma de mariposa.

Estructura fractal con patrones repetitivos.

Se observa en el sistema de Lorenz con parámetros r=28, σ=10, b=8/3.

El péndulo doble es el sistema más simple con soluciones caóticas.

Su movimiento depende fuertemente de la posición inicial.

Pequeñas diferencias en el ángulo inicial generan trayectorias muy distintas.

Se usa en simulaciones para estudiar el caos.

El flujo de vehículos en horas pico es un sistema caótico.

Pequeños cambios en un semáforo generan grandes congestiones.

Su caudal es impredecible debido a la sensibilidad a lluvias locales.

Los modelos hidrológicos usan teoría del caos para predecir crecientes.

$x_{n+1}$ = r $\cdot$ $x_n$ $\cdot$ (1 - $x_n$)

Parámetro r controla la transición al caos.

El sistema muestra comportamiento caótico para casi todos los valores iniciales.

Se usa para modelar poblaciones biológicas.

El sistema oscila de forma impredecible.

Ejemplo: poblaciones de peces en el lago Tota.

Las trayectorias divergen exponencialmente.

Demuestra la sensibilidad a condiciones iniciales.

Para analizar vibraciones no lineales en estructuras.

Ejemplo: el puente de la Amistad en Cúcuta.

Los modelos climáticos usan ecuaciones no lineales para pronósticos.

Pero el caos limita la precisión a más de 5 días.

Estructura geométrica que se repite a diferentes escalas.

Ejemplo: el brócoli romanesco o el río Magdalena.

El río Amazonas y la Sierra Nevada de Santa Marta tienen patrones fractales.

Se usan en análisis de paisajes con drones.

Mide la velocidad a la que dos trayectorias cercanas divergen.

Si λ > 0, el sistema es caótico.

Las trayectorias divergen exponencialmente con tasa 0.5.

Se usa en análisis de mercados financieros.

Sí, siguen leyes físicas exactas pero son impredecibles a largo plazo.

La impredecibilidad viene de la sensibilidad a condiciones.

No es aleatorio, sigue ecuaciones deterministas pero es impredecible.

Ejemplo: el lanzamiento de un dado no es caótico, pero el clima sí.

Pequeños cambios en oferta generan grandes fluctuaciones en precios.

Se modela con ecuaciones no lineales.

El flujo vehicular depende de muchas variables interconectadas.

Pequeños incidentes generan grandes congestiones.

Las retroalimentaciones positivas amplifican pequeñas diferencias iniciales.

Ejemplo: el efecto mariposa en el clima.

Usan amortiguadores para linealizar el sistema.

Ejemplo: el puente de Occidente en Antioquia.