Domina la formulación lagrangiana con flashcards en Colombia

Método alternativo a Newton para describir movimiento usando el principio de mínima acción.

Reemplaza fuerzas por energías y simplifica ecuaciones para sistemas complejos.

Joseph-Louis Lagrange en su obra *Mécanique analytique*.

Publicada en 1788, revolucionó el análisis de sistemas mecánicos.

$L=T-V$ donde $T$ es energía cinética y $V$ energía potencial.

Para sistemas conservativos, $L$ depende solo de posiciones y velocidades.

El término de energía cinética $T=\frac{1}{2}m{v}^2$ por el aumento de velocidad.

La energía potencial $V$ cambia poco en distancias cortas.

$V=mgh$ con $h\approx 2200\text{m}$ sobre el nivel del mar.

Usa $g=9.8{\text{m/s}}^2$ y peso promedio 70 kg.

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0$.

Esta ecuación da las ecuaciones de movimiento del sistema.

Que $L$ no dependa explícitamente del tiempo.

Si $L$ depende de $t$, se añade un término extra en la ecuación.

$L=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2-mgl(1-\cos \theta )$.

Aquí $q=\theta$ y $L$ no depende explícitamente de $t$.

$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\sin \theta =0$.

Para ángulos pequeños, $\sin \theta \approx \theta$ y queda $\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0$.

$L=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2-mgh$ con $I=\frac{2}{5}m{r}^2$.

Si el balón rueda sin resbalar, $\omega =v/r$.

$L$ no incluye términos de disipación; se usa el método de Rayleigh.

La fricción se añade como fuerza externa en las ecuaciones de movimiento.

Cuando hay fricción, rozamiento o fuerzas dependientes del tiempo.

En esos casos, $L$ no describe completamente el sistema.

Falso. Funciona para sólidos rígidos, fluidos y sistemas con múltiples grados de libertad.

Ejemplo: el movimiento de un bus articulado en Medellín.

Usan $x$ en lugar de una coordenada que simplifique el problema, como $\theta$ para un péndulo.

La clave es elegir coordenadas que reflejen la simetría del sistema.

Calcula $\frac{d}{dt}(\partial L/\partial \dot{q})$, luego $\partial L/\partial q$, y réstalos.

Es como un «sándwich» de derivadas: arriba la derivada temporal, abajo la parcial.

Piden comparar energías cinética y potencial en sistemas como péndulos o resortes.

Ejemplo: «¿En qué punto de la oscilación la energía cinética es máxima?».

Busca coordenadas que simplifiquen $L$ y usa Euler-Lagrange para encontrar ecuaciones de movimiento.

Ejemplo: un bloque en un plano inclinado en Cartagena.

Reduce el número de ecuaciones a resolver usando simetrías del sistema.

Ideal para problemas con múltiples cuerpos o restricciones.

La ecuación de Schrödinger se deriva usando el principio de mínima acción en mecánica cuántica.

La función de onda $\psi$ juega un papel similar a $L$ en sistemas cuánticos.

La naturaleza elige el camino donde la acción $S=\int Ldt$ es estacionaria.

«La naturaleza es perezosa»: sigue el camino que minimiza la acción.