Formulación Lagrangiana: Claves para la Física en Colombia | ORBITECH

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Conceptos básicos

¿Qué es la formulación lagrangiana?

Alternativa a Newton

Método para describir el movimiento usando el principio de mínima acción.

Se basa en el lagrangiano L = T - V y evita fuerzas de ligadura.

Lagrangiano

¿Qué representa L en L = T - V?

Función clave

Función lagrangiana que describe el sistema físico.

L = energía cinética menos energía potencial.

L = T - V

Energías

¿Qué es T en el lagrangiano?

Energía de movimiento

Energía cinética del sistema.

Depende de las velocidades generalizadas y masas.

T = \frac{1}{2} m {\dot{q}}_{i}^{2}

Energías

¿Qué incluye V en L = T - V?

Energía almacenada

Energía potencial gravitatoria, elástica o electrostática.

Depende de la posición y el campo de fuerzas.

V = m g h

Principio de mínima acción

¿Qué principio usa la formulación lagrangiana?

Acción y trayectoria

Principio de mínima acción (o principio de Hamilton).

La trayectoria real hace estacionaria la acción S = ∫L dt.

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Escribe la ecuación de Euler-Lagrange para $q_{i}$ .

Derivadas parciales

d/dt (∂L/∂q̇_i) - ∂L/∂ $q_{i}$ = 0.

Deriva el lagrangiano respecto a velocidad y posición.

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0

Coordenadas generalizadas

¿Qué son las coordenadas generalizadas $q_{i}$ ?

Variables independientes

Variables que describen la configuración del sistema sin redundancia.

Pueden ser ángulos, distancias o combinaciones.

Momento conjugado

¿Qué es el momento conjugado $p_{i}$ ?

Derivada de L

$p_{i}$ = ∂L/∂q̇_i.

Se usa en el teorema de Noether y leyes de conservación.

p_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}

Teorema de Noether

¿Qué teorema relaciona simetrías con conservación?

Emmy Noether

Si L no depende de una coordenada, su momento conjugado se conserva.

Ejemplo: conservación del momento lineal si L no depende de x.

\frac{d}{d t} p_{i} = 0

Energía total

¿Cómo se relaciona E con L?

Si L no depende de t

E = T + V = Σ q̇_i $p_{i}$ - L.

Se conserva si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo.

E = T + V

Aplicación local

¿Cómo modelarías un ascensor en Medellín con Lagrange?

Movimiento vertical

L = (1/2)m ẏ² - m g y, donde y es la altura.

ẏ es la velocidad vertical del ascensor.

L = \frac{1}{2} m {\dot{y}}^{2} - m g y

Aplicación local

¿Cuál es el lagrangiano de un péndulo en el Parque Explora?

Usa ángulo θ

L = (1/2)m l² θ̇² - m g l (1 - cos θ).

θ es la coordenada angular del péndulo.

L = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} - m g l (1 - \cos θ)

Ecuaciones de movimiento

¿Qué necesitas para resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange?

Condiciones iniciales

Posición y velocidad iniciales en t=0.

Ejemplo: en t=0, x=x₀ y ẋ=v₀.

Ligaduras

¿Qué son las ligaduras en mecánica lagrangiana?

Restricciones del movimiento

Restricciones que limitan el movimiento del sistema.

Se manejan con coordenadas generalizadas o multiplicadores de Lagrange.

Multiplicadores de Lagrange

¿Para qué sirven los multiplicadores λ en Lagrange?

Fuerzas de ligadura

Para incluir fuerzas de ligadura en el lagrangiano.

Se añade λ veces la función de ligadura f( $q_{i}$ ).

L^{'} = L + λ f (q_{i})

Comparación con Newton

¿Cuándo es mejor usar Lagrange que Newton?

Sistemas con ligaduras

Cuando hay muchas partículas o ligaduras complejas.

Evita calcular fuerzas de ligadura explícitamente.

Aplicación local

¿Cómo aplicarías Lagrange a un bus en la Autopista Norte?

Movimiento en línea recta

L = (1/2)m v² - m g y, con y constante si la vía es plana.

Modela el bus como partícula en movimiento horizontal.

L = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - m g y

Energía cinética

¿De qué depende T en coordenadas polares?

Velocidad radial y angular

T = (1/2)m (ṙ² + r²θ̇²).

Incluye términos de velocidad radial y tangencial.

T = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2})

Energía potencial

¿Qué es V en un campo gravitatorio no uniforme?

Altura variable

V = m g h(r), donde h depende de la posición.

Útil para terrenos montañosos como en la Ciudad Perdida.

V = m g h (𝐫)

Ecuaciones de movimiento

¿Qué obtienes al aplicar Euler-Lagrange a un resorte en Cali?

Ecuación diferencial

mẍ + kx = 0, movimiento armónico simple.

Solución: x(t) = A cos(ωt + φ), con ω = √(k/m).

m \ddot{x} + k x = 0

Fuentes