Fórmulas esenciales del movimiento ondulatorio en Colombia | ORBITECH

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Ecuación de onda fundamental

Fórmulas que describen matemáticamente la propagación de ondas en diferentes contextos físicos.

Ecuación de onda unidimensional law

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

Formes alternatives

$\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = 0$ — Forma estándar para resolver problemas con condiciones de frontera

Symbole	Signification	Unité
`u`	desplazamiento de la onda Función que describe la posición de cada punto de la onda en función del tiempo y espacio	metro
`v`	velocidad de propagación de la onda Depende del medio de propagación	metro por segundo
`t`	tiempo	segundo
`x`	posición espacial	metro

Dimensions : $[L] [T^{- 2}] = [L^{2}] [T^{- 2}] [L^{- 2}]$

Exemple : Una onda en una cuerda de guitarra viaja a 430 m/s. Si el desplazamiento está dado por u(x,t) = 0.02 sen(10x - 4300t), verifica que satisface la ecuación de onda.

Ecuación de onda en tres dimensiones law

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}})

Symbole	Signification	Unité
`u`	desplazamiento de la onda Función escalar del espacio y tiempo	metro
`v`	velocidad de propagación Igual en todas direcciones para medios isotrópicos	metro por segundo

Dimensions : $[L] [T^{- 2}] = [L^{2}] [T^{- 2}] [L^{- 2}]$

Exemple : Las ondas de sonido en el aire a 20°C viajan a 343 m/s. Calcula el desplazamiento u(r,t) para una onda esférica que se propaga desde un parlante en el centro de Bogotá.

Propiedades fundamentales de las ondas definition

Velocidad de una onda en una cuerda law

v = \sqrt{\frac{T}{μ}}

Symbole	Signification	Unité
`v`	velocidad de la onda Depende de las propiedades del medio	metro por segundo
`T`	tensión de la cuerda Fuerza aplicada a la cuerda	newton
`\mu`	densidad lineal de masa Masa por unidad de longitud	kilogramo por metro

Dimensions : $[L] [T^{- 1}] = \sqrt{[M] [L] [T^{- 2}] / [M] [L^{- 1}]} = \sqrt{[L^{2}] [T^{- 2}]}$

Exemple : En una cuerda de guitarra de 0.8 mm de diámetro y 60 cm de longitud, la tensión es de 50 N. Si la densidad lineal es 0.004 kg/m, calcula la velocidad de propagación de la onda. (Respuesta: 111.8 m/s)

Relación entre velocidad, longitud de onda y frecuencia law

v = λ \cdot f

Formes alternatives

$f = \frac{v}{λ}$ — Para calcular frecuencia a partir de longitud de onda
$λ = \frac{v}{f}$ — Para calcular longitud de onda en problemas de óptica

Symbole	Signification	Unité
`v`	velocidad de propagación	metro por segundo
`\lambda`	longitud de onda Distancia entre dos crestas consecutivas	metro
`f`	frecuencia Número de oscilaciones por segundo	hercio

Dimensions : $[L] [T^{- 1}] = [L] [T^{- 1}]$

Exemple : En Cartagena, las olas del mar Caribe tienen una frecuencia de 0.2 Hz y una velocidad de 3 m/s. Calcula la longitud de onda. (Respuesta: 15 m)

Frecuencia angular y número de onda definition

ω = 2 π f k = \frac{2 π}{λ}

Symbole	Signification	Unité
`\omega`	frecuencia angular Relacionada con la energía de la onda	radian por segundo
`k`	número de onda Inversamente proporcional a la longitud de onda	radian por metro
`f`	frecuencia	hercio
`\lambda`	longitud de onda	metro

Dimensions : $[T^{- 1}] = [T^{- 1}] [L^{- 1}] = [L^{- 1}]$

Exemple : Una onda sonora en Medellín tiene una frecuencia de 440 Hz (nota LA). Calcula su frecuencia angular y número de onda si viaja a 343 m/s. (Respuesta: ω = 2764.6 rad/s, k = 8.04 rad/m)

Ecuación de onda para sonido (onda de presión) law

\frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`p`	presión sonora Variación de presión respecto a la presión atmosférica	pascal
`v`	velocidad del sonido 343 m/s en aire a 20°C	metro por segundo

Dimensions : $[M] [L^{- 1}] [T^{- 2}] = [L^{2}] [T^{- 2}] [L^{- 2}] [M] [L^{- 1}] [T^{- 2}]$

Exemple : En un concierto en Cali, la presión sonora varía como p(x,t) = 0.1 sen(100x - 34300t) Pa. Verifica que satisface la ecuación de onda para sonido.

Intensidad de una onda sonora definition

I = \frac{P}{A} = \frac{1}{2} ρ v ω^{2} A^{2}

Formes alternatives

$I = \frac{p_{m a x}^{2}}{2 ρ v}$ — Expresión en términos de presión máxima

Symbole	Signification	Unité
`I`	intensidad sonora Potencia por unidad de área	vatio por metro cuadrado
`P`	potencia acústica Energía por unidad de tiempo emitida por la fuente	vatio
`A`	amplitud de desplazamiento Máximo desplazamiento de las partículas del medio	metro
`\rho`	densidad del medio 1.2 kg/m³ para aire a 20°C	kilogramo por metro cúbico
`v`	velocidad del sonido	metro por segundo
`\omega`	frecuencia angular	radian por segundo

Dimensions : $[M] [T^{- 3}] = [M] [L^{- 1}] [T^{- 2}] / [L^{2}] = [M] [L^{- 2}] [T^{- 3}]$

Exemple : Un parlante en un evento en Barranquilla emite 2 W de potencia acústica. Calcula la intensidad a 5 m de distancia si el sonido se propaga uniformemente en todas direcciones. (Respuesta: 0.0064 W/m²)

Nivel de intensidad sonora (decibelios) definition

β = 10 \log_{10} (\frac{I}{I_{0}})

Symbole	Signification	Unité
`\beta`	nivel de intensidad sonora Escala logarítmica para medir sonidos audibles	decibelio
`I`	intensidad sonora	vatio por metro cuadrado
`I_{0}`	intensidad umbral 10^{-12} W/m² (límite de audición)	vatio por metro cuadrado

Dimensions : $A d i m e n s i o n a l (l o g a r i t m o d e u n c o c i e n t e)$

Exemple : En una discoteca de Medellín, la intensidad sonora es 0.1 W/m². Calcula el nivel de intensidad en decibelios. (Respuesta: 110 dB)

Efecto Doppler para ondas sonoras law

f^{'} = f (\frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{s}})

Symbole	Signification	Unité
`f'`	frecuencia percibida Frecuencia escuchada por el observador	hercio
`f`	frecuencia emitida Frecuencia de la fuente	hercio
`v`	velocidad del sonido 343 m/s en aire a 20°C	metro por segundo
`v_{o}`	velocidad del observador Positiva si se acerca a la fuente	metro por segundo
`v_{s}`	velocidad de la fuente Positiva si se aleja del observador	metro por segundo

Dimensions : $[T^{- 1}] = [T^{- 1}]$

Exemple : Un bus de transporte público en Bogotá viaja a 20 m/s hacia ti, tocando su corneta a 400 Hz. Calcula la frecuencia que escuchas si estás quieto. (Respuesta: 424.8 Hz)

Ley de Snell para refracción de ondas law

n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}

Symbole	Signification	Unité
`n_{1}`	índice de refracción del medio 1 Adimensional, n = c/v
`n_{2}`	índice de refracción del medio 2
`\theta_{1}`	ángulo de incidencia Medido respecto a la normal	grado o radian
`\theta_{2}`	ángulo de refracción	grado o radian

Dimensions : $A d i m e n s i o n a l$

Exemple : Un rayo de luz pasa del aire (n=1) al agua (n=1.33) con un ángulo de incidencia de 30°. Calcula el ángulo de refracción. (Respuesta: 22.1°)

Ecuación de onda electromagnética law

\frac{\partial^{2} 𝐄}{\partial t^{2}} = c^{2} \nabla^{2} 𝐄

Symbole	Signification	Unité
`\mathbf{E}`	campo eléctrico Vector que describe el campo eléctrico de la onda	voltio por metro
`c`	velocidad de la luz 299,792,458 m/s en el vacío	metro por segundo

Dimensions : $[L] [T^{- 2}] [E] = [L^{2}] [T^{- 2}] [L^{- 2}] [E]$

Exemple : La luz visible tiene una longitud de onda de 500 nm. Calcula su frecuencia y número de onda. (Respuesta: f = 6×10^14 Hz, k = 1.26×10^7 rad/m)

Ondas en contextos colombianos

Aplicaciones prácticas de las fórmulas ondulatorias en situaciones cotidianas de Colombia.

Longitud de onda del sonido en instrumentos colombianos law

λ = \frac{v}{f}

Symbole	Signification	Unité
`v`	velocidad del sonido 343 m/s en aire a 20°C	metro por segundo
`f`	frecuencia de la nota musical Ejemplo: LA4 = 440 Hz	hercio
`\lambda`	longitud de onda Longitud típica de la columna de aire en instrumentos	metro

Dimensions : $[L] = [L] [T^{- 1}] / [T^{- 1}]$

Exemple : En una flauta traversa en Medellín (v=343 m/s), la nota DO5 tiene frecuencia 523.25 Hz. Calcula su longitud de onda. (Respuesta: 0.655 m)

Distancia de seguridad para evitar eco en auditorios approximation

d_{m \overset{´}{ı} n i m a} = \frac{v \cdot Δ t}{2}

Symbole	Signification	Unité
`d_{mínima}`	distancia mínima Para evitar interferencia por eco	metro
`v`	velocidad del sonido 343 m/s en aire a 20°C	metro por segundo
`\Delta t`	lapso temporal Tiempo mínimo de percepción humana (0.1 s)	segundo

Dimensions : $[L] = [L] [T^{- 1}] [T]$

Exemple : En el Auditorio Fabio Lozano de la Universidad de los Andes en Bogotá, ¿qué distancia mínima deben tener las paredes para evitar eco con un lapso de 0.1 s? (Respuesta: 17.15 m)

Cálculo de energía en ondas definition

E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}

Symbole	Signification	Unité
`E`	energía de la onda Energía transportada por la onda	julio
`m`	masa del medio afectado Masa de aire o cuerda en vibración	kilogramo
`\omega`	frecuencia angular	radian por segundo
`A`	amplitud Desplazamiento máximo	metro

Dimensions : $[M] [L^{2}] [T^{- 2}] = [M] [T^{- 2}] [L^{2}]$

Exemple : Una cuerda de guitarra de 0.01 kg vibra con amplitud 0.002 m y frecuencia 440 Hz. Calcula su energía. (Respuesta: 0.038 J)

Fenómenos ondulatorios avanzados

Fórmulas para fenómenos como interferencia, difracción y ondas estacionarias.

Condición para ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos theorem

L = n \frac{λ}{2}, n = 1, 2, 3, . . .

Formes alternatives

$f_{n} = n \frac{v}{2 L}$ — Frecuencia del armónico n

Symbole	Signification	Unité
`L`	longitud de la cuerda Distancia entre los dos extremos fijos	metro
`n`	número de armónico Entero positivo (1, 2, 3, ...)
`\lambda`	longitud de onda Longitud de onda del armónico n	metro

Dimensions : $[L] = [L]$

Exemple : Una cuerda de 1 m de longitud en una guitarra vibra en su tercer armónico (n=3). Calcula su longitud de onda. (Respuesta: 0.67 m)

Interferencia constructiva y destructiva law

Δ x = m λ (constructiva) o Δ x = (m + \frac{1}{2}) λ (destructiva)

Symbole	Signification	Unité
`\Delta x`	diferencia de camino óptico Distancia adicional recorrida por una onda	metro
`m`	orden de interferencia Entero (0, 1, 2, ...)
`\lambda`	longitud de onda	metro

Dimensions : $[L] = [L]$

Exemple : En un experimento con luz láser (λ=633 nm) en un laboratorio de la Universidad Nacional en Medellín, dos rendijas están separadas 0.1 mm. Calcula la posición del primer máximo de interferencia en una pantalla a 2 m. (Respuesta: 12.7 mm)

Difracción por una rendija law

a \sin θ = m λ

Symbole	Signification	Unité
`a`	ancho de la rendija Apertura por la que pasa la onda	metro
`\theta`	ángulo de difracción Ángulo al primer mínimo	grado o radian
`m`	orden del mínimo 1 para el primer mínimo
`\lambda`	longitud de onda	metro

Dimensions : $[L] = [L]$

Exemple : En un experimento de óptica en la Universidad del Valle en Cali, una rendija de 0.05 mm se ilumina con luz de 500 nm. Calcula el ángulo del primer mínimo de difracción. (Respuesta: 0.57°)

Ondas electromagnéticas en la vida diaria

Fórmulas aplicadas a tecnologías cotidianas que usan ondas electromagnéticas en Colombia.

Frecuencia y longitud de onda de señales WiFi law

f = \frac{c}{λ}

Symbole	Signification	Unité
`f`	frecuencia de la señal Bandas típicas: 2.4 GHz o 5 GHz	gigahercio
`c`	velocidad de la luz 3×10^8 m/s	metro por segundo
`\lambda`	longitud de onda Longitud típica en WiFi: 12.5 cm (2.4 GHz)	metro

Dimensions : $[T^{- 1}] = [L] [T^{- 1}] / [L]$

Exemple : Un router WiFi en Bogotá opera a 2.4 GHz. Calcula su longitud de onda. (Respuesta: 0.125 m = 12.5 cm)

Energía de un fotón law

E = h f = \frac{h c}{λ}

Symbole	Signification	Unité
`E`	energía del fotón Energía de un cuanto de luz	julio
`h`	constante de Planck 6.626×10^{-34} J·s	julio por hercio
`f`	frecuencia del fotón	hercio
`c`	velocidad de la luz	metro por segundo
`\lambda`	longitud de onda del fotón	metro

Dimensions : $[M] [L^{2}] [T^{- 2}] = [M] [L^{2}] [T^{- 1}] [T^{- 1}] = [M] [L^{2}] [T^{- 2}]$

Exemple : Calcula la energía de un fotón de luz visible con longitud de onda 500 nm. (Respuesta: 3.98×10^{-19} J = 2.48 eV)

Ley de Beer-Lambert para absorción de luz law

I = I_{0} e^{- α c d}

Formes alternatives

$A = \log_{10} (\frac{I_{0}}{I}) = α c d \log_{10} e$ — Absorbancia en espectrofotometría

Symbole	Signification	Unité
`I`	intensidad transmitida Intensidad después de atravesar el medio	vatio por metro cuadrado
`I_{0}`	intensidad incidente Intensidad antes de entrar al medio	vatio por metro cuadrado
`\alpha`	coeficiente de absorción Depende del material y longitud de onda	metro cuadrado por mol
`c`	concentración Concentración del absorbente	mol por metro cúbico
`d`	espesor del medio Distancia recorrida por la luz	metro

Dimensions : $[M] [T^{- 3}] = [M] [T^{- 3}]$

Exemple : Un láser rojo (650 nm) atraviesa una solución de colorante en un laboratorio de la Universidad de Antioquia. Si I0=100 W/m², α=0.5 m²/mol, c=0.1 mol/m³ y d=0.01 m, calcula la intensidad transmitida. (Respuesta: 99.5 W/m²)

Ecuación de onda fundamental

Ondas en contextos colombianos

Fenómenos ondulatorios avanzados

Ondas electromagnéticas en la vida diaria

Fuentes