Física del Estado Sólido en Colombia: Las leyes que impulsan la | ORBITECH

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Modelo de Drude y conductividad eléctrica

Fórmulas que explican cómo los electrones libres determinan la conductividad en metales, esencial para cables y dispositivos eléctricos.

Ley de Ohm microscópica (conductividad) law

σ = n e^{2} τ / m

Formes alternatives

$J = σ E$ — Densidad de corriente en función del campo eléctrico.
$ρ = m / (n e^{2} τ)$ — Resistividad eléctrica (inversa de la conductividad).

Symbole	Signification	Unité
`\sigma`	conductividad eléctrica Inversa de la resistividad. En cables colombianos típicamente entre 10^7 y 10^8 S/m.	S/m
`n`	densidad de electrones libres Para cobre: 8.5×10^{28} $m^{- 3}$ . Depende del material.	m^{-3}
`e`	carga del electrón Valor constante: 1.602×10^{-19} C.	C
`\tau`	tiempo de relajación Tiempo promedio entre colisiones. En cobre: ~2.5×10^{-14} s.	s
`m`	masa del electrón Valor constante: 9.11×10^{-31} kg.	kg

Dimensions : $[I^{2}] [T^{3}] [L^{- 3}] [M^{- 1}]$

Exemple : El cobre en una subestación de Medellín tiene $σ$ = 5.8×10^7 S/m con n = 8.5×10^{28} $m^{- 3}$ .

Resistencia de un conductor (ley de Ohm macroscópica) law

R = L / (σ A)

Formes alternatives

$V = I R$ — Ley de Ohm clásica para circuitos.
$P = I^{2} R$ — Potencia disipada en el conductor.

Symbole	Signification	Unité
`R`	resistencia eléctrica Depende de la geometría y el material. En cables colombianos suele ser menor a 1 Ω por cada 100 m.	Ω
`L`	longitud del conductor Ejemplo: 100 m en una línea de transmisión.	m
`A`	área transversal Para un cable de 2 mm de diámetro: A = π(10^{-3})^2 ≈ 3.14×10^{-6} $m^{2}$ .	m^2
`\sigma`	conductividad Mismo significado que en la fórmula anterior.	S/m

Dimensions : $[M] [L^{2}] [T^{- 3}] [I^{- 2}]$

Exemple : Un cable de cobre de 100 m en Cali con A=3.14×10^{-6} $m^{2}$ tiene R=0.54 Ω si $σ$ =5.8×10^7 S/m.

Tiempo de relajación (modelo de Drude) definition

τ = m / (n e^{2} ρ)

Formes alternatives

$τ = m σ / (n e^{2})$ — Forma equivalente usando conductividad.

Symbole	Signification	Unité
`\tau`	tiempo de relajación Mide el tiempo promedio entre colisiones electrón-ión. En aluminio: ~8×10^{-15} s.	s
`\rho`	resistividad Inversa de la conductividad: $ρ$ = 1/ $σ$ .	Ω·m
`m`	masa del electrón Valor constante.	kg
`n`	densidad de electrones Depende del material conductor.	m^{-3}

Dimensions : $[T]$

Exemple : En un cable de aluminio en Barranquilla con $ρ$ =2.82×10^{-8} Ω·m y n=6.0×10^{28} $m^{- 3}$ , $τ$ ≈ 8.4×10^{-15} s.

Velocidad de arrastre de electrones definition

v_{d} = μ E = (e τ / m) E

Symbole	Signification	Unité
`v_d`	velocidad de arrastre Velocidad promedio de los electrones bajo un campo eléctrico. En cables típicos: ~10^{-4} m/s.	m/s
`\mu`	movilidad de electrones Para cobre: ~0.0032 $m^{2}$ /(V·s).	m^2/(V·s)
`E`	campo eléctrico En un cable de 100 m con 120 V: E=1200 V/m.	V/m
`e, \tau, m`	constantes del electrón Mismos significados que en fórmulas anteriores.

Dimensions : $[L] [T^{- 1}]$

Exemple : En un cable de Bogotá con E=500 V/m y $μ$ =0.003 $m^{2}$ /(V·s), $v_{d}$ =1.5 mm/s.

Estructura de bandas y semiconductores

Fórmulas que describen cómo los electrones se distribuyen en bandas de energía, clave para entender dispositivos electrónicos como transistores y paneles solares.

Energía de Fermi en metales (gas de electrones libres) definition

E_{F} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(3 π^{2} n)}^{2 / 3}

Formes alternatives

$E_{F} = \frac{1}{2 m} {(\frac{3 h^{3} n}{8 π})}^{2 / 3}$ — Forma equivalente usando la constante de Planck h.

Symbole	Signification	Unité
`E_F`	energía de Fermi Energía máxima de los electrones a 0 K. En cobre: 1.13×10^{-18} J (7.0 eV).	J
`\hbar`	constante de Planck reducida Valor: 1.054×10^{-34} J·s.	J·s
`m`	masa del electrón Valor constante.	kg
`n`	densidad de electrones libres Para cobre: 8.5×10^{28} $m^{- 3}$ .	m^{-3}

Dimensions : $[M] [L^{2}] [T^{- 2}]$

Exemple : El aluminio en una fábrica de Medellín tiene $E_{F}$ = 1.86×10^{-18} J (11.6 eV) con n=1.8×10^{29} $m^{- 3}$ .

Concentración intrínseca de portadores en semiconductores law

n_{i} = \sqrt{N_{c} N_{v}} \exp (- \frac{E_{g}}{2 k_{B} T})

Formes alternatives

$n_{i}^{2} = N_{c} N_{v} \exp (- E_{g} / k_{B} T)$ — Forma más común para cálculos.

Symbole	Signification	Unité
`n_i`	concentración intrínseca Número de electrones y huecos por unidad de volumen. En silicio a 300 K: 1.0×10^{16} $m^{- 3}$ .	m^{-3}
`N_c`	densidad de estados en la banda de conducción Para silicio: 2.8×10^{25} $m^{- 3}$ .	m^{-3}
`N_v`	densidad de estados en la banda de valencia Para silicio: 1.0×10^{25} $m^{- 3}$ .	m^{-3}
`E_g`	banda prohibida Energía mínima para excitar un electrón. En silicio: 1.12 eV (1.80×10^{-19} J).	J
`k_B`	constante de Boltzmann Valor: 1.38×10^{-23} J/K.	J/K
`T`	temperatura absoluta En electrónica colombiana típicamente 300 K (27 °C).	K

Dimensions : $[L^{- 3}]$

Exemple : El silicio en un panel solar de Cartagena a 300 K tiene $n_{i}$ = 1.0×10^{16} $m^{- 3}$ con $E_{g}$ =1.12 eV.

Ley de acción de masa en semiconductores law

n p = n_{i}^{2}

Symbole	Signification	Unité
`n`	concentración de electrones Portadores mayoritarios en semiconductores tipo n.	m^{-3}
`p`	concentración de huecos Portadores mayoritarios en semiconductores tipo p.	m^{-3}
`n_i`	concentración intrínseca Mismo significado que en la fórmula anterior.	m^{-3}

Dimensions : $[L^{- 6}]$

Exemple : En un semiconductor dopado en una planta de Medellín, si n=10^{22} $m^{- 3}$ entonces p=10^{10} $m^{- 3}$ ( $n_{i}$ =10^{16} $m^{- 3}$ ).

Conductividad de un semiconductor law

σ = e (n μ_{n} + p μ_{p})

Symbole	Signification	Unité
`\sigma`	conductividad Puede variar desde 10^{-4} S/m (aislantes) hasta 10^6 S/m (metales).	S/m
`e`	carga del electrón Valor constante: 1.602×10^{-19} C.	C
`n, p`	concentraciones de portadores Electrones y huecos respectivamente.	m^{-3}
`\mu_n, \mu_p`	movilidades de electrones y huecos Para silicio: $μ$ _n=0.15 $m^{2}$ /(V·s), $μ$ _p=0.045 $m^{2}$ /(V·s).	m^2/(V·s)

Dimensions : $[I^{2}] [T^{3}] [L^{- 3}] [M^{- 1}]$

Exemple : Un chip de silicio en una computadora de Bogotá con n=10^{23} $m^{- 3}$ , p=10^{17} $m^{- 3}$ tiene $σ$ ≈ 2400 S/m.

Ley de Bragg y difracción de rayos X

Fórmulas que permiten analizar la estructura cristalina de materiales usando la difracción de rayos X, técnica clave en ciencia de materiales y arqueología colombiana.

Ley de Bragg law

2 d \sin θ = n λ

Formes alternatives

$d = n λ / (2 \sin θ)$ — Forma para calcular distancias interplanares.

Symbole	Signification	Unité
`d`	distancia interplanar Distancia entre planos cristalinos. En NaCl: 2.82×10^{-10} m.	m
`\theta`	ángulo de Bragg Ángulo entre el haz incidente y los planos cristalinos. Suele medirse entre 5° y 30°.	°
`n`	orden de difracción Entero positivo (1, 2, 3...). n=1 es el primer orden.
`\lambda`	longitud de onda de los rayos X Para Cu Kα: 1.54×10^{-10} m.	m

Dimensions : $[L]$

Exemple : En el Laboratorio de Rayos X de la Universidad de los Andes, con d=2.82 Å y $λ$ =1.54 Å, el ángulo $θ$ para n=1 es 15.8°.

Condición de Laue (forma vectorial) law

Δ 𝐤 = 𝐆

Formes alternatives

$| Δ 𝐤 | = 2 k \sin (θ / 2)$ — Relación con el ángulo de dispersión.

Symbole	Signification	Unité
`\Delta \mathbf{k}`	cambio en el vector de onda Diferencia entre el vector de onda incidente y dispersado.	m^{-1}
`\mathbf{G}`	vector del retículo recíproco Vector que conecta puntos del retículo recíproco. Determina la dirección de difracción.	m^{-1}

Dimensions : $[L^{- 1}]$

Exemple : En un cristal de grafito estudiado en la Universidad Nacional, $𝐆$ = (1,1,0) en unidades del retículo recíproco.

Ley de Snell para rayos X (reflexión) approximation

n = 1 - δ = 1 - \frac{r_{e} λ^{2} N}{2 π}

Symbole	Signification	Unité
`n`	índice de refracción para rayos X Para rayos X, n es ligeramente menor que 1. En silicio: n ≈ 0.99999.
`\delta`	desviación del índice Pequeño valor positivo. Determina la reflexión total externa.
`r_e`	radio clásico del electrón Valor: 2.82×10^{-15} m.	m
`\lambda`	longitud de onda de los rayos X Ejemplo: 1.54×10^{-10} m.	m
`N`	densidad de electrones Para silicio: 7.0×10^{28} $m^{- 3}$ .	m^{-3}

Dimensions : $[1]$

Exemple : En un espejo de rayos X de carburo de silicio en una empresa de Bucaramanga, $δ$ = 5.4×10^{-6} para $λ$ =1.54 Å.

Propiedades térmicas de sólidos

Fórmulas que relacionan la estructura de los sólidos con su comportamiento térmico, esencial para entender aislamientos, motores y sistemas de refrigeración en Colombia.

Ley de Wiedemann-Franz law

\frac{κ}{σ T} = L = \frac{π^{2}}{3} {(\frac{k_{B}}{e})}^{2}

Formes alternatives

$κ = L σ T$ — Forma práctica para calcular conductividad térmica.

Symbole	Signification	Unité
`\kappa`	conductividad térmica En cobre: 400 W/(m·K). En ladrillos: 0.7 W/(m·K).	W/(m·K)
`\sigma`	conductividad eléctrica Mismo significado que en categorías anteriores.	S/m
`T`	temperatura absoluta En Colombia típicamente entre 290 K y 310 K.	K
`L`	número de Lorentz Valor constante: 2.44×10^{-8} W·Ω/ $K^{2}$ .	W·Ω/K^2

Dimensions : $[M] [L^{2}] [T^{- 3}] [Θ^{- 2}] [I^{- 2}]$

Exemple : El aluminio en una olla de una cocina en Medellín tiene $κ$ = 235 W/(m·K) con $σ$ = 3.5×10^7 S/m a 300 K.

Capacidad calorífica de un sólido (modelo de Einstein simplificado) approximation

C_{V} = 3 N k_{B} {(\frac{θ_{E}}{T})}^{2} \frac{e^{θ_{E} / T}}{{(e^{θ_{E} / T} - 1)}^{2}}

Formes alternatives

$C_{V} \approx 3 N k_{B}$ — Aproximación de Dulong-Petit para T >> $θ$ _E.

Symbole	Signification	Unité
`C_V`	capacidad calorífica molar Para aluminio a 300 K: ~24 J/(mol·K).	J/(mol·K)
`N`	número de átomos Para 1 mol: N = 6.022×10^{23}.
`k_B`	constante de Boltzmann Valor constante.	J/K
`\theta_E`	temperatura de Einstein Para cobre: 343 K; para aluminio: 428 K.	K
`T`	temperatura absoluta Temperatura del material.	K

Dimensions : $[M] [L^{2}] [T^{- 2}] [Θ^{- 1}] [N^{- 1}]$

Exemple : El café en un termo de una finca cafetera en Quindío a 350 K tiene $C_{V}$ ≈ 24.9 J/(mol·K) si $θ$ _E=428 K.

Conductividad térmica en sólidos (modelo de Debye simplificado) approximation

κ = \frac{1}{3} C v l

Symbole	Signification	Unité
`\kappa`	conductividad térmica Mismo significado que en la ley de Wiedemann-Franz.	W/(m·K)
`C`	capacidad calorífica por unidad de volumen Para cobre: 3.45×10^6 J/( $m^{3}$ ·K).	J/(m^3·K)
`v`	velocidad del sonido en el sólido En cobre: 3560 m/s; en ladrillo: 3650 m/s.	m/s
`l`	libre camino medio de los fonones En cobre puro a 300 K: ~30 nm.	m

Dimensions : $[M] [L] [T^{- 3}] [Θ^{- 1}]$

Exemple : El ladrillo de una casa en Cartagena tiene $κ$ = 0.72 W/(m·K) con C=1.5×10^6 J/( $m^{3}$ ·K), v=3650 m/s y l=50 nm.

Superconductividad (conceptos básicos)

Fórmulas que describen el fenómeno de superconductividad, donde algunos materiales pierden toda resistencia eléctrica a bajas temperaturas, clave para tecnologías avanzadas.

Ecuaciones de London law

\nabla \times 𝐉_{s} = - \frac{n_{s} e^{2}}{m} 𝐁

Formes alternatives

$𝐉_{s} = - \frac{n_{s} e^{2}}{m} 𝐀$ — Forma en términos del potencial vector A.

Symbole	Signification	Unité
`\mathbf{J}_s`	densidad de corriente superconductora Corriente que fluye sin resistencia en un superconductor.	A/m^2
`n_s`	densidad de electrones superconductores Para NbTi: ~10^{28} $m^{- 3}$ .	m^{-3}
`e`	carga del electrón Valor constante.	C
`m`	masa del electrón Valor constante.	kg
`\mathbf{B}`	campo magnético Campo magnético dentro del superconductor.	T

Dimensions : $[I] [L^{- 2}]$

Exemple : En un imán superconductor de un equipo médico en el Hospital Universitario de Santander, $n_{s}$ = 5×10^{27} $m^{- 3}$ produce corrientes persistentemente altas.

Profundidad de penetración de London definition

λ_{L} = \sqrt{\frac{m}{μ_{0} n_{s} e^{2}}}

Symbole	Signification	Unité
`\lambda_L`	profundidad de penetración Distancia que penetra el campo magnético en el superconductor. Para Nb: 39 nm.	m
`m`	masa del electrón Valor constante.	kg
`\mu_0`	permeabilidad del vacío Valor constante: 4π×10^{-7} N/ $A^{2}$ .	N/A^2
`n_s`	densidad de electrones superconductores Depende del material superconductor.	m^{-3}
`e`	carga del electrón Valor constante.	C

Dimensions : $[L]$

Exemple : El YBCO en un prototipo de tren magnético en Medellín tiene $λ$ _L = 150 nm con $n_{s}$ = 2×10^{27} $m^{- 3}$ .

Temperatura crítica de superconductores (aproximación empírica) approximation

T_{c} \approx 1.14 θ_{D} e^{- 1 / N (0) V}

Symbole	Signification	Unité
`T_c`	temperatura crítica Temperatura por debajo de la cual el material es superconductor. Para Nb: 9.2 K; para YBCO: 92 K.	K
`\theta_D`	temperatura de Debye Para Nb: 275 K; para Pb: 105 K.	K
`N(0)`	densidad de estados en el nivel de Fermi Depende del material.	J^{-1}·m^{-3}
`V`	potencial de interacción electrón-fonón Parámetro de acoplamiento en la teoría BCS.	J·m^3

Dimensions : $[Θ]$

Exemple : El NbTi usado en imanes de resonancia magnética en Bogotá tiene $T_{c}$ ≈ 9.5 K con $θ$ _D = 250 K.

Fuentes

en.wikipedia.org