Dinámica no lineal en Colombia: Fórmulas clave del caos explicado | ORBITECH

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Efecto mariposa y sensibilidad a condiciones iniciales

Fórmulas que cuantifican cómo pequeños cambios en condiciones iniciales generan grandes diferencias en sistemas no lineales.

Ecuación de Lorenz law

\frac{d x}{d t} = σ (y - x) \frac{d y}{d t} = x (ρ - z) - y \frac{d z}{d t} = x y - β z

Formes alternatives

$d x = σ (y - x) d t$ — Forma diferencial para integración numérica
$\dot{x} = σ (y - x), \dot{y} = x (ρ - z) - y, \dot{z} = x y - β z$ — Notación de Newton para derivadas temporales

Symbole	Signification	Unité
`x`	variable de estado horizontal Representa la rotación del fluido en el modelo de Lorenz
`y`	variable de estado vertical Representa la diferencia de temperatura entre capas verticales
`z`	variable de estado térmica Representa la desviación de la temperatura lineal
`\sigma`	número de Prandtl Típicamente 10 para fluidos como el aire
`\rho`	número de Rayleigh Parámetro de control del sistema, caótico cuando $ρ$ > 24.74
`\beta`	factor geométrico Típicamente 8/3 para el modelo clásico

Exemple : Para un modelo de café en Bogotá (σ=10, ρ=28, β=8/3), un cambio inicial de 0.001 en x genera diferencias de 5°C en z después de 10 segundos de simulación.

Exponente de Lyapunov (λ) para sistemas unidimensionales definition

λ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} \ln | f^{'} (x_{i}) |

Formes alternatives

$δ (t) \approx δ_{0} e^{λ t}$ — Crecimiento exponencial de la separación entre trayectorias cercanas

Symbole	Signification	Unité
`\lambda`	exponente de Lyapunov λ > 0 indica caos determinista
`f'(x_i)`	derivada de la función iterada Calculada en cada punto de la órbita
`n`	número de iteraciones Debe ser grande para convergencia

Dimensions : ${[T]}^{- 1}$

Exemple : Para el mapa logístico con r=3.8 y x0=0.5, después de 100 iteraciones se obtiene λ ≈ 0.493, confirmando comportamiento caótico.

Sensibilidad a condiciones iniciales (Δx) law

Δ x (t) = Δ x_{0} e^{λ t}

Symbole	Signification	Unité
`\Delta x(t)`	separación entre trayectorias En sistemas espaciales como el péndulo doble	m
`\Delta x_0`	separación inicial Ej: 0.1 mm entre dos gotas de café	m
`t`	tiempo Tiempo de evolución del sistema	s
`\lambda`	exponente de Lyapunov Para el sistema de café en Bogotá, λ ≈ 2.3 $s^{- 1}$	s^{-1}

Dimensions : $[L]$

Exemple : Dos gotas de café separadas inicialmente por 0.1 mm en una taza en Bogotá divergen a 15 cm después de 2 segundos debido al caos en la convección.

Sistemas caóticos clásicos

Modelos matemáticos que exhiben comportamiento caótico determinista, usados en meteorología y dinámica de fluidos.

Mapa logístico law

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - x_{n})

Symbole	Signification	Unité
`x_n`	población normalizada 0 ≤ $x_{n}$ ≤ 1 (ej: concentración de café en una taza)
`r`	parámetro de crecimiento r=3.57... es el inicio del caos
`n`	número de iteración Número de pasos en la evolución temporal

Exemple : Para r=3.8 y x0=0.5 (precio inicial del café en $15000 C O P), d e s p u é s d e 50 i t e r a c i o n e s e l p r e c i o o s c i l a e n t r e$ 5 000 y $12 000 COP.

Ecuación de Duffing (oscilador no lineal) law

m \ddot{x} + d \dot{x} + k x + α x^{3} = F_{0} \cos (ω t)

Formes alternatives

$\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x + β x^{3} = f_{0} \cos (ω t)$ — Forma normalizada con ζ=amortiguamiento, ω0=frecuencia natural

Symbole	Signification	Unité
`m`	masa Ej: masa de una cuchara de café (150 g)	kg
`x`	desplazamiento Movimiento de la cuchara al revolver	m
`d`	coeficiente de amortiguamiento Para café, d ≈ 0.02 kg/s	kg/s
`k`	constante de rigidez k ≈ 5 N/m para una cuchara flexible	N/m
`\alpha`	no linealidad cúbica α > 0 para rigidez creciente	N/m^3
`F_0`	amplitud de fuerza externa Fuerza al revolver el café	N
`\omega`	frecuencia angular Frecuencia de revolución de la cuchara	rad/s

Dimensions : $[L] {[T]}^{- 2}$

Exemple : Al revolver café en Medellín con una cuchara de 150 g, k=5 N/m, d=0.02 kg/s y F0=0.1 N a ω=10 rad/s, el sistema exhibe caos para α > 2 N/m³.

Ecuación de Van der Pol law

\ddot{x} - μ (1 - x^{2}) \dot{x} + x = 0

Symbole	Signification	Unité
`x`	variable de estado Ej: corriente eléctrica en un circuito
`\mu`	parámetro de no linealidad μ > 0 para auto-oscilaciones
`t`	tiempo Tiempo en segundos	s

Dimensions : ${[T]}^{- 2}$

Exemple : Para μ=2 en un circuito que modela la convección del café, el sistema genera oscilaciones caóticas con período aproximado de 1.5 s.

Medidas de caos determinista

Herramientas cuantitativas para caracterizar la complejidad y el caos en sistemas dinámicos.

Dimensión de correlación (D2) definition

D_{2} = \lim_{r \to 0} \frac{\ln C (r)}{\ln r}

Formes alternatives

$C (r) = \frac{2}{N (N - 1)} \sum_{i < j} Θ (r - | x_{i} - x_{j} |)$ — Definición de la función de correlación para N puntos

Symbole	Signification	Unité
`D2`	dimensión de correlación D2=0 para puntos, D2=1 para líneas, D2=2 para planos
`C(r)`	función de correlación Número de pares de puntos separados por distancia ≤ r
`r`	radio de vecindad Distancia en el espacio de fases	m

Exemple : Para datos de temperatura de café en Cali (N=1000 puntos), D2 ≈ 2.14, indicando un atractor de dimensión fraccionaria típica de sistemas caóticos.

Entropía de Kolmogorov-Sinai (KS) definition

h_{K S} = \lim_{ϵ \to 0} \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} I (ϵ, t)

Formes alternatives

$h_{K S} = λ_{+}$ — Para sistemas unidimensionales, $h_{K S}$ es igual al mayor exponente de Lyapunov positivo

Symbole	Signification	Unité
`h_{KS}`	entropía de Kolmogorov-Sinai $h_{K S}$ > 0 indica caos determinista	bit/s
`\epsilon`	precisión de medición Error en la medición de la variable	m
`I(\epsilon, t)`	información de Shannon Cantidad de información necesaria para especificar el estado con precisión ε en tiempo t	bit

Dimensions : ${[T]}^{- 1}$

Exemple : Para el sistema de Lorenz con parámetros estándar, $h_{K S}$ ≈ 2.16 bits/s, indicando alta complejidad en la convección del café.

Número de Feigenbaum (δ) definition

δ = \lim_{n \to \infty} \frac{r_{n} - r_{n - 1}}{r_{n + 1} - r_{n}}

Symbole	Signification	Unité
`\delta`	constante de Feigenbaum δ ≈ 4.669201... es universal para sistemas unimodales
`r_n`	valor del parámetro en la n-ésima bifurcación Ej: valores de r donde ocurre duplicación de período

Exemple : Para el mapa logístico, los valores de r en las bifurcaciones son r1=3, r2≈3.45, r3≈3.54, r4≈3.564, dando δ ≈ 4.67 al calcular el límite.

Efecto mariposa y sensibilidad a condiciones iniciales

Sistemas caóticos clásicos

Medidas de caos determinista

Fuentes