Formulación Lagrangiana en Física Avanzada - Colombia | ORBITECH

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Principio de mínima acción y ecuación de Euler-Lagrange

Fundamentos variacionales que definen el movimiento de los sistemas físicos

Principio de mínima acción (acción clásica) law

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t

Formes alternatives

$δ S = 0$ — Condición variacional para trayectorias físicas

Symbole	Signification	Unité
`S`	acción La trayectoria real hace que S sea estacionaria (mínima para sistemas clásicos)	J·s
`L`	lagrangiano Función que caracteriza el sistema: L = T - V	J
`q`	coordenadas generalizadas Pueden ser ángulos, distancias, etc. No necesariamente cartesianas
`\dot{q}`	velocidad generalizada Derivada temporal de q: dq/dt
`t`	tiempo	s

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 1}$

Exemple : Para una partícula libre en Bogotá (m=70 kg), calcula la acción entre t₁=0s y t₂=1s con L = ½mv²

Ecuación de Euler-Lagrange law

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0

Formes alternatives

$\frac{\partial L}{\partial q_{i}} = \frac{d}{d t} p_{i} con p_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}$ — Relación entre momento conjugado y derivada temporal

Symbole	Signification	Unité
`q_i`	coordenada generalizada i-ésima Índice i para sistemas con múltiples grados de libertad
`L`	lagrangiano	J
`t`	tiempo	s

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Aplica a un péndulo simple en Medellín (longitud 1m, ángulo inicial 30°) para encontrar la ecuación de movimiento

Teorema de Noether (leyes de conservación) theorem

\frac{d}{d t} (\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} δ q_{i}) = 0

Formes alternatives

$p_{i} = constante si \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$ — Momento conjugado conservado cuando el lagrangiano no depende explícitamente de $q_{i}$

Symbole	Signification	Unité
`L`	lagrangiano	J
`\delta q_i`	variación infinitesimal de la coordenada Corresponde a una simetría continua del sistema

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 1}$

Exemple : Para un sistema en Bogotá donde L no depende de la coordenada x, demuestra que px = constante

Lagrangiano para sistemas mecánicos comunes

Expresiones del lagrangiano para sistemas físicos típicos en coordenadas generalizadas

Lagrangiano de una partícula libre definition

L = \frac{1}{2} m {\dot{𝐫}}^{2}

Symbole	Signification	Unité
`m`	masa de la partícula Para una persona de 70 kg en Bogotá	kg
`\dot{\mathbf{r}}`	velocidad de la partícula Magnitud del vector velocidad	m/s

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcula L para un bus urbano de 12 000 kg moviéndose a 20 m/s en la Autopista Norte de Bogotá

Lagrangiano en un campo gravitacional uniforme definition

L = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - m g z

Symbole	Signification	Unité
`g`	aceleración gravitacional En Bogotá: g ≈ 9.78 m/s²	m/s²
`z`	altura vertical Coordenada vertical con z=0 en el nivel del mar	m

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para un paquete de 5 kg dejado caer desde el cerro de Monserrate (altura 3 152 m), calcula L en t=0

Lagrangiano de un oscilador armónico simple definition

L = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - \frac{1}{2} k x^{2}

Symbole	Signification	Unité
`k`	constante elástica del resorte Para un resorte que cuesta $50 000 COP en una ferretería de Cali	N/m
`x`	desplazamiento desde la posición de equilibrio	m

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Un resorte con m=0.5 kg y k=200 N/m oscila con amplitud 0.1 m. Calcula L en el punto de máximo desplazamiento

Coordenadas generalizadas y simetrías

Transformaciones entre sistemas de coordenadas y propiedades de simetría

Transformación de coordenadas generalizadas definition

q_{i} = q_{i} (r_{1}, r_{2}, . . ., r_{n}, t)

Formes alternatives

${\dot{q}}_{i} = \sum_{j} \frac{\partial q_{i}}{\partial r_{j}} {\dot{r}}_{j} + \frac{\partial q_{i}}{\partial t}$ — Relación entre velocidades generalizadas y cartesianas

Symbole	Signification	Unité
`q_i`	coordenada generalizada i-ésima Puede ser un ángulo, distancia, etc.
`r_j`	coordenada cartesiana j-ésima	m

Exemple : Transforma de coordenadas cartesianas a polares: x = r cosθ, y = r sinθ para un péndulo en Cartagena

Simetría de traslación en el tiempo theorem

\frac{\partial L}{\partial t} = 0 \Rightarrow E = \sum_{i} {\dot{q}}_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - L = constante

Symbole	Signification	Unité
`E`	energía total del sistema Energía mecánica total cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo	J

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra, demuestra que la energía total es constante

Teorema de Noether para simetrías discretas theorem

Q = \sum_{i} p_{i} δ q_{i} = constante

Symbole	Signification	Unité
`p_i`	momento conjugado $p_{i}$ = ∂L/∂q̇_i	kg·m/s
`\delta q_i`	variación discreta de la coordenada Para simetrías como reflexiones

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 1}$

Exemple : Para un sistema con simetría de reflexión en x, muestra que px se conserva

Relación entre mecánica lagrangiana y hamiltoniana

Transformación de Legendre y ecuaciones canónicas

Transformación de Legendre (definición del hamiltoniano) definition

H = \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} - L

Formes alternatives

$H = T + V (para sistemas conservativos)$ — Cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo

Symbole	Signification	Unité
`H`	hamiltoniano Energía total en sistemas conservativos	J
`p_i`	momento conjugado $p_{i}$ = ∂L/∂q̇_i	kg·m/s
`\dot{q}_i`	velocidad generalizada

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcula H para una partícula de 2 kg moviéndose a 5 m/s con energía potencial V = 10 J

Ecuaciones canónicas de Hamilton law

{\dot{q}}_{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}, {\dot{p}}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}}

Symbole	Signification	Unité
`H`	hamiltoniano	J
`q_i`	coordenada generalizada
`p_i`	momento conjugado	kg·m/s

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para H = p²/2m + ½kx², encuentra las ecuaciones de movimiento en Medellín

Relación entre lagrangiano y hamiltoniano en campos definition

L = \int ℒ d^{3} x, H = \int ℋ d^{3} x con ℋ = \sum_{i} π_{i} {\dot{ϕ}}_{i} - ℒ

Symbole	Signification	Unité
`\mathcal{L}`	densidad lagrangiana Para campos como el electromagnético	J/m³
`\mathcal{H}`	densidad hamiltoniana	J/m³
`\phi_i`	campo i-ésimo Ejemplo: potencial electromagnético

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 1} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para el campo electromagnético en vacío, relaciona L y H usando las ecuaciones de Maxwell

Aplicaciones y ejemplos avanzados

Casos prácticos y extensiones de la formulación lagrangiana

Lagrangiano de una partícula en un campo electromagnético definition

L = \frac{1}{2} m {\dot{𝐫}}^{2} + q 𝐯 \cdot 𝐀 - q ϕ

Formes alternatives

$L = \frac{1}{2} m {\dot{𝐫}}^{2} - q ϕ + q \dot{𝐫} \cdot 𝐀$ — Forma equivalente

Symbole	Signification	Unité
`q`	carga eléctrica de la partícula Para un electrón: q = -1.6×10⁻¹⁹ C	C
`\mathbf{A}`	potencial vectorial magnético	T·m
`\phi`	potencial escalar eléctrico	V

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcula L para un protón (q=1.6×10⁻¹⁹ C) moviéndose a 10⁶ m/s en un campo magnético de 0.5 T en Barranquilla

Lagrangiano de un sistema con vínculos holónomos definition

L = T - V - \sum_{j} λ_{j} f_{j} (q_{1}, . . ., q_{n}, t)

Symbole	Signification	Unité
`\lambda_j`	multiplicador de Lagrange Fuerza necesaria para mantener el vínculo	N
`f_j`	función de vínculo holónomo Ejemplo: f = x² + y² - R² para una partícula en un círculo

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para una partícula en un aro de radio R=0.5 m en Cali, escribe el lagrangiano usando un multiplicador de Lagrange

Ecuación de movimiento para un sólido rígido (ángulos de Euler) law

I_{1} {\dot{ω}}_{1} + (I_{3} - I_{2}) ω_{2} ω_{3} = τ_{1}

Formes alternatives

$I \dot{\vec{ω}} + \vec{ω} \times (I \vec{ω}) = \vec{τ}$ — Forma vectorial de las ecuaciones de Euler

Symbole	Signification	Unité
`I_i`	momento de inercia principal Para un trompo en el Parque Simón Bolívar de Bogotá	kg·m²
`\omega_i`	componente i-ésima de la velocidad angular	rad/s
`\tau_i`	componente i-ésima del torque	N·m

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para un trompo con I₁=I₂=0.01 kg·m², I₃=0.02 kg·m² y ω₃=10 rad/s, calcula la precesión cuando ω₁=ω₂=0

Principio de mínima acción y ecuación de Euler-Lagrange

Lagrangiano para sistemas mecánicos comunes

Coordenadas generalizadas y simetrías

Relación entre mecánica lagrangiana y hamiltoniana

Aplicaciones y ejemplos avanzados

Fuentes