Fórmulas de astrofísica: Descifrando el universo con matemáticas | ORBITECH

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Gravitación y mecánica celeste

Fórmulas fundamentales que describen el movimiento de cuerpos bajo la influencia de la gravedad en escalas astronómicas

Ley de gravitación universal de Newton law

F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}

Formes alternatives

$g = G \frac{M}{r^{2}}$ — Campo gravitacional generado por una masa M a distancia r

Symbole	Signification	Unité
`F`	fuerza gravitacional Fuerza de atracción entre dos masas. Siempre positiva en módulo	N
`G`	constante de gravitación universal Valor: $6.67430 \times 10^{- 11}$	m³/kg·s²
`m₁, m₂`	masas de los cuerpos Pueden ser estrellas, planetas o galaxias	kg
`r`	distancia entre centros de masa En astronomía, a menudo se usa en km o UA	m

Dimensions : $[M] {[L]}^{3} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcular la fuerza gravitacional entre la Tierra ( $5.97 \times 10^{24}$ kg) y la Luna ( $7.34 \times 10^{22}$ kg) separadas por $3.84 \times 10^{8}$ m

Tercera ley de Kepler law

T^{2} = \frac{4 π^{2}}{G (M + m)} a^{3}

Formes alternatives

$\frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G (M + m)}$ — Forma más común para comparar sistemas
$T^{2} = k a^{3}$ — Donde k es constante para un sistema dado (ej: sistema solar)

Symbole	Signification	Unité
`T`	periodo orbital Tiempo para completar una órbita	s
`a`	semieje mayor de la órbita Distancia promedio entre los cuerpos	m
`M, m`	masas de los cuerpos central y orbitante M >> m en sistemas planetarios	kg
`G`	constante de gravitación universal Mismo valor que en ley de Newton	m³/kg·s²

Dimensions : ${[T]}^{2}$

Exemple : Calcular el periodo orbital de la Tierra alrededor del Sol (a = 1.496×10¹¹ m, M☉ = 1.989×10³⁰ kg)

Velocidad orbital circular law

v = \sqrt{\frac{G M}{r}}

Symbole	Signification	Unité
`v`	velocidad orbital Velocidad tangencial en órbita circular	m/s
`G`	constante de gravitación universal Valor estándar	m³/kg·s²
`M`	masa del cuerpo central Ej: masa del Sol o de un planeta	kg
`r`	radio orbital Distancia desde el centro del cuerpo central	m

Dimensions : $[L] {[T]}^{- 1}$

Exemple : Velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol (r = 1.496×10¹¹ m, M☉ = 1.989×10³⁰ kg)

Radiación y propiedades estelares

Fórmulas que relacionan la energía emitida por estrellas con su temperatura, tamaño y composición

Ley de Stefan-Boltzmann law

L = 4 π R^{2} σ T_{eff}^{4}

Formes alternatives

$L = σ A T_{eff}^{4}$ — Donde A es el área superficial (4πR²)

Symbole	Signification	Unité
`L`	luminosidad estelar Energía total emitida por segundo	W
`R`	radio de la estrella Radio medido en metros	m
`σ`	constante de Stefan-Boltzmann Valor: $5.670374419 \times 10^{- 8}$	W/m²K⁴
`T_eff`	temperatura efectiva Temperatura superficial de la estrella	K

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 3}$

Exemple : Calcular la luminosidad del Sol (R☉ = 6.957×10⁸ m, $T_{e} f f$ = 5778 K)

Ley de desplazamiento de Wien law

λ_{max} = \frac{b}{T}

Symbole	Signification	Unité
`λ_max`	longitud de onda del pico de emisión Donde la estrella emite más energía	m
`b`	constante de desplazamiento de Wien Valor: $2.897771955... \times 10^{- 3}$ m·K	m·K
`T`	temperatura superficial En kelvin	K

Dimensions : $[L]$

Exemple : Calcular λ_max para el Sol (T = 5778 K) y comparar con luz visible (400-700 nm)

Fórmula de masa-luminosidad (aproximación para estrellas de secuencia principal) approximation

L \propto M^{3.5}

Formes alternatives

$L = L_{⊙} {(\frac{M}{M_{⊙}})}^{3.5}$ — Expresión explícita con valores solares

Symbole	Signification	Unité
`L`	luminosidad estelar En unidades solares (L☉ = 3.828×10²⁶ W)	L☉
`M`	masa estelar En unidades solares (M☉ = 1.989×10³⁰ kg)	M☉

Exemple : Estimar la luminosidad de una estrella de 5 masas solares en secuencia principal

Cosmología y distancias astronómicas

Fórmulas clave para entender la expansión del universo y medir distancias a objetos lejanos

Ley de Hubble law

v = H_{0} d

Formes alternatives

$d = \frac{v}{H_{0}}$ — Para calcular distancia a partir de velocidad medida

Symbole	Signification	Unité
`v`	velocidad de recesión Velocidad a la que una galaxia se aleja de nosotros	km/s
`H₀`	constante de Hubble Valor actual: ~70 km/s/Mpc (varía con mediciones)	km/s/Mpc
`d`	distancia a la galaxia 1 Mpc = 3.086×10²² m	Mpc

Dimensions : ${[T]}^{- 1}$

Exemple : Calcular la distancia a una galaxia que se aleja a 21000 km/s con H₀ = 70 km/s/Mpc

Módulo de distancia definition

m - M = 5 \log_{10} (\frac{d}{10 pc})

Formes alternatives

$d = 10^{(m - M + 5) / 5} pc$ — Expresión para calcular distancia

Symbole	Signification	Unité
`m`	magnitud aparente Brillo observado del objeto (adimensional)
`M`	magnitud absoluta Brillo intrínseco del objeto (adimensional)
`d`	distancia al objeto 1 pc = 3.086×10¹⁶ m = 3.26 años luz	pc

Exemple : Calcular la distancia a una estrella con m = 12.5 y M = 4.8

Relación distancia-tiempo en cosmología (aproximación lineal) approximation

d \approx c \cdot t

Symbole	Signification	Unité
`d`	distancia comóvil Distancia actual a un objeto cuya luz tardó tiempo t en llegar	m
`c`	velocidad de la luz Valor exacto: 299792458 m/s	m/s
`t`	tiempo de viaje de la luz Tiempo desde que la luz fue emitida	s

Dimensions : $[L]$

Exemple : Calcular la distancia a una galaxia cuya luz tardó 100 millones de años en llegar a la Tierra

Espectroscopia y análisis de luz

Fórmulas que relacionan la luz emitida por objetos astronómicos con su composición química y velocidad

Efecto Doppler para luz law

\frac{Δ λ}{λ_{0}} = \frac{v}{c}

Formes alternatives

$λ_{obs} = λ_{0} \sqrt{\frac{1 + v / c}{1 - v / c}}$ — Forma relativista exacta (para v cercanos a c)
$z = \frac{Δ λ}{λ_{0}} = \frac{v}{c}$ — Donde z es el redshift

Symbole	Signification	Unité
`Δλ`	desplazamiento de longitud de onda Diferencia entre λ observada y λ emitida	m
`λ₀`	longitud de onda emitida Longitud de onda en el sistema de referencia del objeto	m
`v`	velocidad radial Velocidad a lo largo de la línea de visión (positiva si se aleja)	m/s
`c`	velocidad de la luz Valor exacto: 299792458 m/s	m/s

Exemple : Calcular el redshift de una galaxia cuya línea de hidrógeno Hα (λ₀=656.3 nm) se observa en 660.1 nm

Ley de Bragg (para análisis de espectros) law

2 d \sin θ = n λ

Symbole	Signification	Unité
`d`	distancia entre planos cristalinos En el espectrógrafo	m
`θ`	ángulo de incidencia Ángulo entre el haz incidente y los planos	rad
`n`	orden de difracción Entero positivo (1, 2, 3...)
`λ`	longitud de onda de la luz Longitud de onda analizada	m

Dimensions : $[L]$

Exemple : Calcular la longitud de onda de luz difractada en segundo orden (n=2) con d=1.54×10⁻¹⁰ m y θ=15°

Fórmula de luminosidad en función de flujo definition

L = 4 π d^{2} F

Symbole	Signification	Unité
`L`	luminosidad Energía total emitida por segundo	W
`d`	distancia al objeto Distancia desde el observador	m
`F`	flujo medido Energía por unidad de área y tiempo recibida	W/m²

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 3}$

Exemple : Calcular la luminosidad de una estrella que emite un flujo de 1×10⁻⁸ W/m² a 100 pc de distancia

Gravitación y mecánica celeste

Radiación y propiedades estelares

Cosmología y distancias astronómicas

Espectroscopia y análisis de luz

Fuentes