Fórmulas de física de partículas: descubre los secretos del mundo | ORBITECH

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Modelo Estándar y partículas fundamentales

Fórmulas que definen las masas, cargas y propiedades de las partículas elementales según el Modelo Estándar.

Relación masa-energía de Einstein law

E = m c^{2}

Formes alternatives

$E = m c^{2} (en unidades naturales donde c = 1)$ — Usada en cálculos teóricos donde la velocidad de la luz se normaliza a 1.

Symbole	Signification	Unité
`E`	energía en reposo Energía equivalente a la masa en reposo de una partícula. Usada para convertir masas en eV a julios.	<<unit:J>>
`m`	masa en reposo Masa de la partícula. En física de partículas se expresa comúnmente en eV/c².	<<unit:kg>>
`c`	velocidad de la luz en el vacío Valor exacto: 299 792 458 m/s. En unidades naturales se toma c = 1.	<<unit:m/s>>

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcula la energía equivalente a la masa de un electrón ( $m_{e} = 0.511$ MeV/c²). Resultado: $E = 0.511$ MeV = $8.19 \times 10^{- 14}$ J.

Energía total relativista law

E^{2} = {(m c^{2})}^{2} + {(p c)}^{2}

Formes alternatives

$E = \sqrt{{(m c^{2})}^{2} + {(p c)}^{2}}$ — Forma más común para calcular la energía total a partir del momento.

Symbole	Signification	Unité
`E`	energía total Incluye energía en reposo y energía cinética relativista.	<<unit:J>>
`m`	masa en reposo Masa invariante de la partícula.	<<unit:kg>>
`p`	momento lineal Momento relativista. En partículas elementales se expresa en eV/c.	<<unit:kg·m/s>>
`c`	velocidad de la luz Mismo valor que en la fórmula anterior.	<<unit:m/s>>

Dimensions : ${[M]}^{2} {[L]}^{4} {[T]}^{- 4}$

Exemple : Un protón con momento $p = 1$ GeV/c tiene $m_{p} c^{2} = 0.938$ GeV. Calcula su energía total: $E = \sqrt{{(0.938)}^{2} + {(1)}^{2}} = 1.36$ GeV.

Masa invariante de un sistema de partículas definition

M = \sqrt{{(\sum_{i} E_{i})}^{2} - {(\sum_{i} {\vec{p}}_{i})}^{2} c^{- 2}}

Symbole	Signification	Unité
`M`	masa invariante del sistema Masa medida en el sistema de referencia del centro de masa. Usada en colisionadores para identificar partículas.	<<unit:kg>>
`E_i`	energía de la partícula i Energía total (reposo + cinética) de cada partícula en el sistema.	<<unit:J>>
`\vec{p}_i`	momento lineal de la partícula i Vector momento de cada partícula.	<<unit:kg·m/s>>

Dimensions : $[M]$

Exemple : En el colisionador LHC, dos protones chocan con energías $E_{1} = E_{2} = 6.5$ TeV y momentos opuestos. La masa invariante del sistema es $M = \sqrt{{(2 \times 6.5 TeV)}^{2}} = 13$ TeV/c².

Interacciones fundamentales y constantes

Fórmulas que describen las cuatro interacciones fundamentales y sus constantes de acoplamiento.

Constante de estructura fina definition

α = \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} ℏ c}

Formes alternatives

$α \approx 1 / 137$ — Valor aproximado usado en cálculos rápidos.
$α = \frac{g^{2}}{4 π} (en teoría de gauge)$ — Forma usada en teorías de gauge para interacciones no abelianas.

Symbole	Signification	Unité
`\alpha`	constante de estructura fina Adimensional. Valor aproximado: $1 / 137$ . Determina la intensidad de la interacción electromagnética.
`e`	carga elemental Carga del electrón: $1.602 \times 10^{- 19}$ C.	<<unit:C>>
`\varepsilon_0`	permitividad del vacío Valor: $8.854 \times 10^{- 12}$ F/m.	<<unit:F/m>>
`\hbar`	constante reducida de Planck Valor: $1.055 \times 10^{- 34}$ J·s.	<<unit:J·s>>
`c`	velocidad de la luz Mismo valor que en fórmulas anteriores.	<<unit:m/s>>

Exemple : Calcula \alpha usando los valores de las constantes: $α = {(1.602 e - 19)}^{2} / (4 π \times 8.854 e - 12 \times 1.055 e - 34 \times 3 e 8) \approx 1 / 137$ .

Ley de Coulomb para partículas elementales law

F = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}

Formes alternatives

$F = α ℏ c \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$ — Forma en unidades naturales donde $α$ combina las constantes.

Symbole	Signification	Unité
`F`	fuerza electrostática Fuerza entre dos cargas en reposo.	<<unit:N>>
`q_1, q_2`	cargas de las partículas Cargas en unidades de carga elemental e. Ejemplo: protón tiene q = +1.	<<unit:C>>
`r`	distancia entre cargas Distancia en metros. En física de partículas se usa el fermi (1 fm = 10^{-15} m).	<<unit:m>>
`\varepsilon_0`	permitividad del vacío Mismo valor que en la fórmula anterior.	<<unit:F/m>>

Dimensions : $[M] [L] {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcula la fuerza entre un protón y un electrón separados por $r = 1$ fm (1 fermi). Con q1 = +1, q2 = -1: $F = (9 e 9) \times {(1.6 e - 19)}^{2} / {(1 e - 15)}^{2} = 2.3 \times 10^{- 8}$ N.

Energía potencial electrostática definition

U = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r}

Symbole	Signification	Unité
`U`	energía potencial electrostática Energía almacenada en el campo eléctrico entre dos cargas.	<<unit:J>>
`q_1, q_2`	cargas Mismas unidades que en la ley de Coulomb.	<<unit:C>>
`r`	distancia Misma unidad que en la ley de Coulomb.	<<unit:m>>

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcula la energía potencial entre un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno con r = 0.53 \text{ Å} (radio de Bohr). $U = (9 e 9) \times {(1.6 e - 19)}^{2} / (5.3 e - 11) = - 4.36 \times 10^{- 18}$ J = -27.2 eV.

Decaimiento de partículas y vida media

Fórmulas que describen el decaimiento exponencial de partículas inestables y sus parámetros característicos.

Ley de decaimiento exponencial law

N (t) = N_{0} e^{- λ t}

Formes alternatives

$\frac{d N}{d t} = - λ N$ — Forma diferencial que expresa la tasa de decaimiento.
$N (t) = N_{0} 2^{- t / t_{1 / 2}}$ — Forma usando el tiempo de vida media $t_{1 / 2}$ .

Symbole	Signification	Unité
`N(t)`	número de partículas en el tiempo t Cantidad de partículas no decaídas al tiempo t.
`N_0`	número inicial de partículas Cantidad de partículas en t = 0.
`\lambda`	constante de decaimiento Probabilidad por unidad de tiempo de que una partícula decaiga. Relacionada con la vida media por $λ$ = 1/ $τ$ .	<<unit:s^{-1}>>
`t`	tiempo Tiempo transcurrido desde el inicio.	<<unit:s>>

Dimensions : ${[T]}^{- 1}$

Exemple : Un mesón π+ tiene una vida media de $2.6 \times 10^{- 8}$ s. Si inicialmente hay $N_{0} = 10^{6}$ mesones, ¿cuántos quedan después de $t = 1 \times 10^{- 7}$ s? $N = 10^{6} e^{- (1 / 2.6 e - 8) \times 1 e - 7} \approx 2.9 \times 10^{5}$ mesones.

Tiempo de vida media definition

τ = \frac{1}{λ}

Formes alternatives

$t_{1 / 2} = τ \ln 2 \approx 0.693 τ$ — Relación entre vida media y tiempo de semidesintegración.

Symbole	Signification	Unité
`\tau`	tiempo de vida media Tiempo promedio que una partícula existe antes de decaer.	<<unit:s>>
`\lambda`	constante de decaimiento Misma unidad que en la ley de decaimiento.	<<unit:s^{-1}>>

Dimensions : $[T]$

Exemple : El muón tiene \tau = 2.2 \times 10^{-6} s. Calcula su tiempo de vida media: $τ = 1 / λ = 2.2 \times 10^{- 6}$ s. El tiempo de semidesintegración es $t_{1 / 2} = 0.693 \times 2.2 e - 6 \approx 1.52 \times 10^{- 6}$ s.

Ancho de decaimiento (Γ) definition

Γ = ℏ λ

Formes alternatives

$Γ = \frac{ℏ}{τ}$ — Forma alternativa usando la vida media.

Symbole	Signification	Unité
`\Gamma`	ancho de decaimiento Inversamente proporcional a la vida media: $Γ$ = $ℏ$ / $τ$ . Usado en física de partículas para caracterizar resonancias.	<<unit:eV>>
`\lambda`	constante de decaimiento Misma unidad que en la ley de decaimiento.	<<unit:s^{-1}>>
`\hbar`	constante reducida de Planck Valor: $6.582 \times 10^{- 16}$ eV·s (en unidades de energía-tiempo).	<<unit:J·s>>

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : El bosón Z tiene una vida media \tau = 3 \times 10^{-25} s. Calcula su ancho de decaimiento: $Γ = (6.582 e - 16 eV·s) / (3 e - 25 s) \approx 2.19$ GeV.

Cinemática relativista en colisionadores

Fórmulas esenciales para analizar colisiones de partículas en aceleradores como el LHC, usando el sistema de referencia del centro de masa.

Energía en el sistema de referencia del centro de masa (CM) definition

E_{C M} = \sqrt{s} = \sqrt{2 m^{2} c^{4} + 2 E_{1} E_{2} - 2 {\vec{p}}_{1} \cdot {\vec{p}}_{2} c^{2}}

Formes alternatives

$E_{C M} = 2 \sqrt{p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}} (para colisiones frontales simétricas)$ — Caso especial cuando ambas partículas tienen el mismo momento p y chocan frontalmente.

Symbole	Signification	Unité
`E_{CM}`	energía en el sistema CM Energía disponible para crear nuevas partículas en una colisión.	<<unit:J>>
`s`	variable de Mandelstam Parámetro invariante usado en teoría de dispersión.	<<unit:J^2>>
`m`	masa de cada partícula incidente Asumiendo dos partículas idénticas de masa m.	<<unit:kg>>
`E_1, E_2`	energías de las partículas incidentes Energías totales (reposo + cinética) de cada partícula.	<<unit:J>>
`\vec{p}_1, \vec{p}_2`	momentos de las partículas incidentes Vectores momento de cada partícula.	<<unit:kg·m/s>>

Dimensions : ${[M]}^{2} {[L]}^{4} {[T]}^{- 4}$

Exemple : En el LHC, dos protones chocan frontalmente con energías $E_{1} = E_{2} = 6.5$ TeV y momentos opuestos. La energía en el sistema CM es $E_{C M} = \sqrt{2 \times {(0.938 GeV)}^{2} + 2 \times {(6.5 TeV)}^{2}} \approx 13$ TeV.

Factor de Lorentz definition

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} con β = \frac{v}{c}

Formes alternatives

$E = γ m c^{2}$ — Energía total de una partícula relativista.
$p = γ m v$ — Momento lineal relativista.

Symbole	Signification	Unité
`\gamma`	factor de Lorentz Adimensional. Relaciona magnitudes en el sistema en reposo y en movimiento.
`\beta`	velocidad relativa Adimensional. Razón entre la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz.
`v`	velocidad de la partícula Velocidad de la partícula en el sistema del laboratorio.	<<unit:m/s>>

Exemple : Un electrón en el LHC tiene una velocidad $v = 0.99999999$ c. Calcula \gamma: $β = 0.99999999$ , $γ = 1 / \sqrt{1 - {0.99999999}^{2}} \approx 7071$ .

Transformación de Lorentz para energía y momento theorem

E^{'} = γ (E - β p_{x} c), p_{x}^{'} = γ (p_{x} - β E / c)

Symbole	Signification	Unité
`E, E'`	energías en sistemas S y S' Energía en el sistema del laboratorio (S) y en un sistema en movimiento (S').	<<unit:J>>
`p_x, p_x'`	componentes x del momento en sistemas S y S' Componentes del momento lineal en la dirección del movimiento.	<<unit:kg·m/s>>
`\gamma, \beta`	factor de Lorentz y velocidad relativa Mismas definiciones que en la fórmula anterior.

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2} p a r a E, [M] [L] {[T]}^{- 1} p a r a p$

Exemple : Un fotón con energía $E = 1$ GeV se mueve en la dirección x. En un sistema S' que se mueve con \beta = 0.5 en la misma dirección, la energía transformada es $E^{'} = γ (1 - 0.5 \times 1) = 1 / \sqrt{1 - 0.25} \times 0.5 \approx 0.577$ GeV.

Sección eficaz y probabilidades

Fórmulas que relacionan la sección eficaz con la probabilidad de interacción en experimentos de colisión.

Sección eficaz diferencial definition

\frac{d σ}{d Ω} = {| ℳ |}^{2} \frac{1}{64 π^{2} s} \frac{| {\vec{p}}_{f} |}{| {\vec{p}}_{i} |} \frac{1}{4 E_{1} E_{2}}

Symbole	Signification	Unité
`\frac{d\sigma}{d\Omega}`	sección eficaz diferencial Probabilidad de dispersión por unidad de ángulo sólido. 1 barn = 10^{-28} m^2.	<<unit:barn>>
`\mathcal{M}`	amplitud de dispersión Amplitud compleja que describe la interacción. Su módulo al cuadrado da la probabilidad.
`s`	variable de Mandelstam Misma definición que en la fórmula de energía CM.	<<unit:J^2>>
`E_1, E_2`	energías de las partículas incidentes Energías totales de las partículas en colisión.	<<unit:J>>
`\|\vec{p}_i\|, \|\vec{p}_f\|`	momentos inicial y final Magnitudes de los momentos en el sistema CM.	<<unit:kg·m/s>>

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : Para una dispersión elástica de dos protones a $E_{C M} = 10$ GeV, con |p_i| = |p_f| = 5 GeV/c, y |M|^2 = 0.1, la sección eficaz diferencial es $d σ / d Ω = 0.1 / (64 π^{2} \times {(10 GeV)}^{2}) \times 1 \times 1 / (4 \times 5 GeV \times 5 GeV) \approx 1.6 \times 10^{- 4}$ barn/sr.

Sección eficaz total definition

σ = \int \frac{d σ}{d Ω} d Ω

Formes alternatives

$σ = \frac{N_{eventos}}{L \times n}$ — Definición experimental usando el número de eventos, luminosidad y número de blancos.

Symbole	Signification	Unité
`\sigma`	sección eficaz total Probabilidad total de que ocurra una interacción. Se obtiene integrando la sección diferencial sobre todos los ángulos sólidos.	<<unit:barn>>
`\frac{d\sigma}{d\Omega}`	sección eficaz diferencial Misma definición que en la fórmula anterior.	<<unit:barn>>

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : Si la sección eficaz diferencial es constante e igual a 0.5 barn/sr, la sección total para un ángulo sólido de $4 π$ sr es $σ = 0.5 \times 4 π \approx 6.28$ barn.

Luminosidad instantánea definition

ℒ = \frac{N_{1} N_{2} f}{A}

Formes alternatives

$ℒ = \frac{I_{1} I_{2}}{e^{2} f A}$ — Forma usando corrientes de los haces $I_{1}, I_{2}$ .

Symbole	Signification	Unité
`\mathcal{L}`	luminosidad instantánea Número de colisiones por unidad de área y tiempo. Usada para calcular la tasa de eventos.	<<unit:cm^{-2}s^{-1}>>
`N_1, N_2`	número de partículas en cada haz Número de partículas por paquete en un colisionador.
`f`	frecuencia de cruce de haces Número de veces por segundo que los haces se cruzan.	<<unit:Hz>>
`A`	área transversal del haz Área efectiva de interacción.	<<unit:cm^2>>

Dimensions : ${[L]}^{- 2} {[T]}^{- 1}$

Exemple : En el LHC, cada haz tiene $N = 1.15 \times 10^{11}$ protones, frecuencia de cruce $f = 40 MHz$ , y área transversal $A = 10^{- 3}$ cm^2. La luminosidad es $ℒ = {(1.15 e 11)}^{2} \times 4 e 7 / 1 e - 3 \approx 5.3 \times 10^{33}$ cm^{-2}s^{-1}.

Modelo Estándar y partículas fundamentales

Interacciones fundamentales y constantes

Decaimiento de partículas y vida media

Cinemática relativista en colisionadores

Sección eficaz y probabilidades

Fuentes