Métodos de Física Computacional: Fórmulas Clave en Colombia | ORBITECH

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Integración Numérica

Fórmulas para aproximar integrales definidas cuando no hay solución analítica.

Regla del rectángulo (punto medio) approximation

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx h \sum_{i = 0}^{n - 1} f (a + i h + \frac{h}{2})

Formes alternatives

$I \approx h \sum_{i = 0}^{n - 1} f (x_{i + 1 / 2})$ — Donde $x_{i + 1 / 2}$ es el punto medio del subintervalo i

Symbole	Signification	Unité
`a`	límite inferior de integración Valor inicial en unidades de x
`b`	límite superior de integración Valor final en unidades de x
`n`	número de subintervalos Entero positivo
`h`	ancho de subintervalo h = (b-a)/n

Exemple : Estimar la distancia recorrida por un bus de Bogotá a Medellín usando velocidades medidas cada 30 minutos durante 8 horas (n=16, h=0.5 h).

Regla del trapecio approximation

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{2} [f (a) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (b)]

Formes alternatives

$\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{2 n} [f (a) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (b)]$ — Forma equivalente con n subintervalos

Symbole	Signification	Unité
`a`	límite inferior
`b`	límite superior
`n`	número de subintervalos Entero positivo
`h`	ancho de subintervalo h = (b-a)/n
`f(x_i)`	valor de la función en $x_{i}$ $x_{i}$ = a + i·h

Exemple : Calcular la distancia total entre Cali y Cartagena usando datos de velocidad promedio cada hora en un viaje de 10 horas (n=10, h=1 h). Velocidades: [60, 65, 70, 75, 80, 75, 70, 65, 60, 55] km/h.

Regla de Simpson approximation

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{3} [f (a) + 4 \sum_{i = 1,3,5}^{n - 1} f (x_{i}) + 2 \sum_{i = 2,4,6}^{n - 2} f (x_{i}) + f (b)]

Symbole	Signification	Unité
`n`	número de subintervalos Debe ser par
`h`	ancho de subintervalo h = (b-a)/n

Exemple : Calcular el consumo total de agua en una finca cafetera en Quindío usando mediciones de flujo cada 2 horas durante 24 horas (n=12).

Resolución de Ecuaciones Diferenciales

Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) con condiciones iniciales.

Método de Euler approximation

y_{n + 1} = y_{n} + h \cdot f (t_{n}, y_{n})

Symbole	Signification	Unité
`y_n`	aproximación en el paso n Depende de la variable dependiente
`h`	tamaño del paso Intervalo de tiempo	s
`f(t_n, y_n)`	función de la EDO dy/dt = f(t,y)
`t_n`	tiempo en el paso n	s

Exemple : Simular la velocidad de caída de un paquete de café desde un dron en la Sabana de Bogotá (g ≈ 9.78 m/s²) usando h = 0.1 s durante 5 segundos.

Método de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4) approximation

y_{n + 1} = y_{n} + \frac{1}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4})

Symbole	Signification	Unité
`k_1`	pendiente inicial $k_{1}$ = h·f( $t_{n}$ , $y_{n}$ )
`k_2`	pendiente media 1 $k_{2}$ = h·f( $t_{n}$ + h/2, $y_{n}$ + $k_{1}$ /2)
`k_3`	pendiente media 2 $k_{3}$ = h·f( $t_{n}$ + h/2, $y_{n}$ + $k_{2}$ /2)
`k_4`	pendiente final $k_{4}$ = h·f( $t_{n}$ + h, $y_{n}$ + $k_{3}$ )

Exemple : Calcular la posición de un drone que asciende en Medellín con aceleración variable debido a cambios de densidad del aire.

Método de Verlet approximation

y_{n + 1} = 2 y_{n} - y_{n - 1} + h^{2} a_{n}

Symbole	Signification	Unité
`a_n`	aceleración en el paso n $a_{n}$ = F( $y_{n}$ )/m	m/s²
`h`	tamaño del paso Intervalo de tiempo constante	s

Dimensions : $[L] = [L] + [L] + [L] {[T]}^{- 2} {[T]}^{2} \to c o n s i s t e n t e$

Exemple : Simular el movimiento de un péndulo en el Parque Explora de Medellín usando datos de gravedad local.

Interpolación y Ajuste de Curvas

Técnicas para estimar valores entre datos conocidos o ajustar modelos a mediciones.

Interpolación lineal theorem

P (x) = y_{0} + \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} (x - x_{0})

Symbole	Signification	Unité
`P(x)`	valor interpolado Estimación entre ( $x_{0}$ , $y_{0}$ ) y ( $x_{1}$ , $y_{1}$ )
`x_0, x_1`	puntos conocidos $x_{0}$ < x < $x_{1}$

Exemple : Estimar el precio del arroz en el mercado de Paloquemao en Bogotá en mayo 2023 usando datos de enero ( $3,500 C O P / k g) y j u l i o ($ 4,200 COP/kg).

Interpolación de Lagrange theorem

P (x) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} \cdot L_{i} (x) donde L_{i} (x) = \prod_{j \neq i} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

Symbole	Signification	Unité
`L_i(x)`	polinomio base de Lagrange $L_{i}$ ( $x_{j}$ ) = δ_{ij}
`n`	grado del polinomio n+1 puntos determinan P(x)

Exemple : Estimar el precio del café en el Eje Cafetero en 2023 usando datos de 2020 ( $8,000), 2021 ($ 12,000) y 2022 ($15,000) COP/libra.

Ajuste lineal por mínimos cuadrados theorem

y = m x + b con m = \frac{N \sum x y - \sum x \sum y}{N \sum x^{2} - {(\sum x)}^{2}}, b = \frac{\sum y - m \sum x}{N}

Symbole	Signification	Unité
`m`	pendiente Variación de y por unidad de x
`b`	intercepto Valor de y cuando x=0
`N`	número de puntos

Exemple : Ajustar una recta al consumo mensual de energía en hogares de Barranquilla usando datos de 2022 para predecir costos en 2023.

Métodos de Monte Carlo

Técnicas estocásticas para estimar valores mediante muestreo aleatorio.

Valor esperado por simulación definition

E [X] = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

Symbole	Signification	Unité
`X_i`	muestras aleatorias Generadas según distribución de probabilidad
`N`	número de muestras Cuanto mayor N, mejor aproximación

Dimensions : $[X] = [X] \to c o n s i s t e n t e$

Exemple : Estimar el precio promedio de un mercado campesino en Boyacá usando 1,000 muestras aleatorias de precios de papa.

Estimación de π por Monte Carlo approximation

π \approx 4 \cdot \frac{N_{c \overset{´}{ı} r c u l o}}{N_{t o t a l}}

Symbole	Signification	Unité
`N_{círculo}`	puntos dentro del círculo x² + y² ≤ 1
`N_{total}`	puntos totales generados En el cuadrado [-1,1]×[-1,1]

Dimensions : $[1] = [1] \to c o n s i s t e n t e$

Exemple : Calcular π usando 10,000 puntos aleatorios generados en Python para simular en un computador de un colegio en Bucaramanga.

Integración de Monte Carlo approximation

I = \int_{a}^{b} f (x) d x \approx (b - a) \cdot \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (x_{i})

Symbole	Signification	Unité
`x_i`	puntos aleatorios en [a,b] Distribución uniforme
`N`	número de muestras Error ~1/√N

Dimensions : $[I] = [f] · [x] = [f] · [L] \to c o n s i s t e n t e$

Exemple : Calcular el área bajo la curva de temperatura promedio diaria en Santa Marta durante enero usando 50,000 muestras aleatorias.

Transformadas de Fourier

Herramientas para analizar señales discretas en el dominio de la frecuencia.

Transformada Discreta de Fourier (DFT) definition

X_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} \cdot e^{- i 2 π k n / N}

Formes alternatives

$x_{n} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X_{k} \cdot e^{i 2 π k n / N}$ — Transformada inversa (IDFT)

Symbole	Signification	Unité
`X_k`	coeficiente de Fourier k Componente de frecuencia k
`x_n`	muestra n-ésima Señal en el tiempo
`N`	número de muestras Potencia de 2 para FFT

Dimensions : $[X_{k}] = [x_{n}] \to c o n s i s t e n t e$

Exemple : Analizar la frecuencia dominante en el ruido de tráfico en la Autopista Norte de Bogotá usando 1024 muestras a 44.1 kHz.

Transformada Rápida de Fourier (FFT) algorithm

X = FFT (x)

Symbole	Signification	Unité
`x`	señal en el tiempo Vector de N muestras
`X`	señal en frecuencia Vector de N coeficientes complejos

Exemple : Procesar una grabación de audio de un concierto en el Teatro Pablo Tobón Uribe para identificar notas musicales usando FFT en Audacity.

Frecuencia fundamental definition

f_{0} = \frac{k_{0}}{N Δ t}

Symbole	Signification	Unité
`k_0`	índice del primer armónico En el espectro de Fourier
`N`	número de muestras
`\Delta t`	intervalo de muestreo 1/frecuencia de muestreo	s

Dimensions : $[f_{0}] = {[T]}^{- 1} \to c o n s i s t e n t e$

Exemple : Determinar la frecuencia fundamental de la voz de un locutor en una emisora de Medellín usando un análisis de FFT en tiempo real.

Álgebra Lineal Numérica

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y descomposiciones matriciales.

Método de Jacobi algorithm

x_{i}^{(k + 1)} = \frac{1}{a_{i i}} (b_{i} - \sum_{j \neq i} a_{i j} x_{j}^{(k)})

Symbole	Signification	Unité
`x_i^{(k)}`	aproximación i en iteración k
`a_{ij}`	elemento de la matriz A Matriz de coeficientes
`b_i`	elemento del vector b Lado derecho

Exemple : Resolver un sistema de ecuaciones que modela el flujo de agua en canales de riego en el Valle del Cauca.

Método de Gauss-Seidel algorithm

x_{i}^{(k + 1)} = \frac{1}{a_{i i}} (b_{i} - \sum_{j < i} a_{i j} x_{j}^{(k + 1)} - \sum_{j > i} a_{i j} x_{j}^{(k)})

Symbole	Signification	Unité
`x_i^{(k+1)}`	aproximación actualizada Usa valores ya calculados en la iteración

Exemple : Calcular la distribución de temperatura en una placa metálica en una industria de Cali usando diferencias finitas.

Descomposición LU theorem

A = L U donde L es triangular inferior, U es triangular superior

Formes alternatives

$A = L D V (D diagonal, V unit triangular superior)$ — Variante para matrices simétricas

Symbole	Signification	Unité
`L`	matriz triangular inferior Diagonal principal con 1s
`U`	matriz triangular superior Factorización de A

Exemple : Resolver eficientemente múltiples sistemas con la misma matriz A en simulaciones de tráfico en Bogotá.

Fuentes

en.wikipedia.org