Relatividad General en Colombia: Fórmulas que Curvan el Espacio-T | ORBITECH

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Lo que aprenderás

Objetivos

Reconocer la estructura de las ecuaciones de campo de Einstein y sus componentes tensoriales en problemas de curvatura local
Calcular la métrica de Schwarzschild para determinar propiedades de agujeros negros usando datos de masa en kilogramos
Evaluar el efecto de lente gravitacional en observaciones astronómicas con parámetros de distancia en megapársecs
Relacionar la constante cosmológica con la expansión acelerada del universo observable usando la ecuación de Friedmann
Explicar la precesión del perihelio de órbitas planetarias mediante la curvatura del espaciotiempo en el sistema solar

Requisitos previos

Mecánica clásica
Cálculo diferencial
Conceptos de espacio-tiempo

Duración: 22 min Nivel: ●●●○ Difícil

Ecuaciones Fundamentales de la Relatividad General

Las ecuaciones que definen cómo la materia y la energía curvan el espaciotiempo.

Ecuaciones de Campo de Einstein law

G_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν}

Formes alternatives

$R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν}$ — Forma expandida del tensor de Einstein
$R_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} (T_{μ ν} - \frac{1}{2} T g_{μ ν}) + Λ g_{μ ν}$ — Ecuación de campo sin Λ en términos de Ricci

Symbole	Signification	Unité
`G_{\mu\nu}`	Tensor de Einstein Combina curvatura de Ricci y escalar de Ricci. Simetría: $G_{μ ν}$ = $G_{ν μ}$
`\Lambda`	Constante cosmológica Relacionada con energía oscura. Valor actual ~1.1 $\times$ 10^{-52} $m^{- 2}$	m^{-2}
`g_{\mu\nu}`	Tensor métrico Describe geometría del espaciotiempo. $g_{μ ν}$ $g^{ν ρ}$ = $δ$ _{ $μ$ }^{ $ρ$ }
`G`	Constante gravitacional de Newton Valor: 6.67430 $\times$ 10^{-11} $m^{3}$ k $g^{- 1}$ $s^{- 2}$	m^3 kg^{-1} s^{-2}
`c`	Velocidad de la luz en vacío Valor exacto: 299 792 458 m/s	m s^{-1}
`T_{\mu\nu}`	Tensor de energía-momento Contiene densidad de energía, presión y flujo de momento	kg m^{-1} s^{-2}

Dimensions : ${[L]}^{- 2}$

Exemple : Para un objeto esférico de masa M = 2 $\times$ 10^{30} kg (Sol), el término dominante en $G_{μ ν}$ es proporcional a GM/( $c^{2}$ $r^{3}$ ) ~ 10^{-6} $m^{- 2}$ a r = 7 $\times$ 10^8 m (radio solar).

Tensor de Ricci y Curvatura Escalar definition

R_{μ ν} = \frac{\partial Γ_{μ λ}^{λ}}{\partial x^{ν}} - \frac{\partial Γ_{μ ν}^{λ}}{\partial x^{λ}} + Γ_{σ ν}^{λ} Γ_{μ λ}^{σ} - Γ_{σ λ}^{λ} Γ_{μ ν}^{σ}

Symbole	Signification	Unité
`R_{\mu\nu}`	Tensor de Ricci Contracción del tensor de Riemann. Simetría: $R_{μ ν}$ = $R_{ν μ}$
`\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}`	Símbolos de Christoffel Dependen de la métrica y sus derivadas primeras
`R`	Curvatura escalar Traza del tensor de Ricci: R = $g^{μ ν}$ $R_{μ ν}$	m^{-2}

Dimensions : ${[L]}^{- 2}$

Exemple : En el espacio plano de Minkowski (sin curvatura), $R_{μ ν}$ = 0 y R = 0. En la superficie de una esfera de radio a, R = 2/ $a^{2}$ .

Tensor de Energía-Momento para Fluido Perfecto definition

T_{μ ν} = (ρ + p) u_{μ} u_{ν} + p g_{μ ν}

Symbole	Signification	Unité
`T_{\mu\nu}`	Tensor de energía-momento Modela materia no viscoso y radiación	kg m^{-1} s^{-2}
`\rho`	Densidad de energía Incluye masa-energía y energía de radiación	kg m^{-3}
`p`	Presión Presión termodinámica del fluido	Pa
`u_{\mu}`	Cuadri-velocidad Normalizada: $u_{μ}$ $u^{μ}$ = - $c^{2}$	m s^{-1}

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 1} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para el universo temprano (radiación dominante), $ρ$ = 3p/ $c^{2}$ . Para materia ordinaria, p ≈ 0.

Métricas Clásicas del Espaciotiempo

Soluciones exactas de las ecuaciones de campo que describen geometrías específicas del universo.

Métrica de Schwarzschild law

d s^{2} = - (1 - \frac{2 G M}{c^{2} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{2 G M}{c^{2} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2})

Formes alternatives

$d s^{2} = - c^{2} d τ^{2} = - (1 - \frac{R_{s}}{r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{R_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} d Ω^{2}$ — Expresada en términos del tiempo propio $τ$ y radio de Schwarzschild $R_{s}$
$d s^{2} = - e^{2 Φ (r)} c^{2} d t^{2} + e^{2 Λ (r)} d r^{2} + r^{2} d Ω^{2}$ — Forma general para métricas esféricamente simétricas

Symbole	Signification	Unité
`ds^2`	Intervalo espacio-temporal Mide distancias en el espaciotiempo curvo	m^2
`M`	Masa del objeto central Para agujeros negros, incluye energía del campo gravitacional	kg
`r`	Coordenada radial Distancia al centro de simetría	m
`t`	Tiempo coordenado Tiempo medido por observador lejano	s
`\theta, \phi`	Coordenadas angulares Ángulos esféricos estándar	rad

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : Para un agujero negro de 10 masas solares (M = 1.99 $\times$ 10^{31} kg), el radio de Schwarzschild es $R_{s}$ = 29.5 km. La métrica es válida para r > 29.5 km.

Radio de Schwarzschild definition

R_{s} = \frac{2 G M}{c^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`R_s`	Radio de Schwarzschild Define el horizonte de eventos de un agujero negro no rotante	m
`M`	Masa del objeto Incluye energía del campo gravitacional	kg
`G`	Constante gravitacional Valor: 6.67430 $\times$ 10^{-11} $m^{3}$ k $g^{- 1}$ $s^{- 2}$	m^3 kg^{-1} s^{-2}
`c`	Velocidad de la luz Valor: 299 792 458 m/s	m s^{-1}

Dimensions : $[L]$

Exemple : El agujero negro supermasivo en el centro de nuestra galaxia tiene M = 4.3 $\times$ 10^6 $M_{⊙}$ = 8.5 $\times$ 10^{36} kg. Su $R_{s}$ = 1.26 $\times$ 10^{10} m (12.6 millones de km).

Métrica FLRW (Cosmológica) law

d s^{2} = - c^{2} d t^{2} + a {(t)}^{2} [\frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2})]

Formes alternatives

$d s^{2} = - c^{2} d t^{2} + a {(t)}^{2} [d r^{2} + S_{k} {(r)}^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2})]$ — Forma alternativa usando función $S_{k}$ (r) = sin(r), r, sinh(r) para k=+1,0,-1 respectivamente

Symbole	Signification	Unité
`a(t)`	Factor de escala Mide la expansión del universo. a( $t_{0}$ ) = 1 en el presente
`k`	Curvatura espacial k = 0 (plano), k = +1 (esférico), k = -1 (hiperbólico)	m^{-2}
`r`	Coordenada comóvil Distancia invariante bajo expansión	m
`t`	Tiempo cósmico Tiempo medido por observadores en reposo respecto al fondo cósmico	s

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : Si a(t) se duplica, la distancia entre dos galaxias fijas aumenta al doble. Hoy a( $t_{0}$ ) = 1, pero en el pasado a(t) < 1.

Efectos Gravitacionales Observables

Fórmulas que predicen fenómenos medibles y confirmados experimentalmente.

Desviación de la Luz por Lente Gravitacional theorem

\hat{α} = \frac{4 G M}{c^{2} ξ}

Formes alternatives

$\hat{α} = \frac{4 G M}{c^{2} b} {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{- 1 / 2}$ — Para lente en movimiento con velocidad v
$θ_{E} = \sqrt{\frac{4 G M}{c^{2}} \frac{D_{l s}}{D_{l} D_{s}}}$ — Ángulo de Einstein para lente fuerte con distancias $D_{l}$ , $D_{s}$ , $D_{l} s$

Symbole	Signification	Unité
`\hat{\alpha}`	Ángulo de desviación Desviación total de la trayectoria de la luz	rad
`M`	Masa del lente Objeto que curva el espaciotiempo (ej: estrella, galaxia)	kg
`\xi`	Parámetro de impacto Distancia mínima de la trayectoria de la luz al centro de masa	m
`G`	Constante gravitacional Valor: 6.67430 $\times$ 10^{-11} $m^{3}$ k $g^{- 1}$ $s^{- 2}$	m^3 kg^{-1} s^{-2}
`c`	Velocidad de la luz Valor: 299 792 458 m/s	m s^{-1}

Dimensions : $[]$

Exemple : Para una estrella de masa M = 2 $M_{⊙}$ = 3.98 $\times$ 10^{30} kg y $ξ$ = 7 $\times$ 10^8 m (radio solar), $\hat{α}$ = 1.75 $\times$ 10^{-6} rad = 0.36 segundos de arco.

Precesión del Perihelio theorem

Δ ϕ = \frac{6 π G M}{c^{2} a (1 - e^{2})}

Symbole	Signification	Unité
`\Delta \phi`	Precesión por órbita Ángulo adicional en el perihelio por revolución	rad
`M`	Masa del cuerpo central Ej: Sol, planeta, agujero negro	kg
`a`	Semieje mayor de la órbita Distancia promedio entre los dos cuerpos	m
`e`	Excentricidad orbital e = 0 (circular), 0 < e < 1 (elíptica)
`G`	Constante gravitacional Valor: 6.67430 $\times$ 10^{-11} $m^{3}$ k $g^{- 1}$ $s^{- 2}$	m^3 kg^{-1} s^{-2}
`c`	Velocidad de la luz Valor: 299 792 458 m/s	m s^{-1}

Dimensions : $[]$

Exemple : Para Mercurio: a = 5.79 $\times$ 10^{10} m, e = 0.2056, M = $M_{⊙}$ = 1.989 $\times$ 10^{30} kg. Precesión: $Δ$ $ϕ$ = 5.02 $\times$ 10^{-7} rad por órbita = 43 segundos de arco por siglo.

Dilatación Temporal Gravitacional theorem

\frac{Δ t}{Δ τ} = \sqrt{1 - \frac{2 G M}{c^{2} r}}

Formes alternatives

$\frac{Δ t}{Δ τ} \approx 1 + \frac{G M}{c^{2} r}$ — Aproximación para campos gravitacionales débiles (GM/( $c^{2}$ r) << 1)

Symbole	Signification	Unité
`\Delta t`	Intervalo de tiempo coordenado Tiempo medido por observador lejano	s
`\Delta \tau`	Intervalo de tiempo propio Tiempo medido por reloj en el campo gravitacional	s
`M`	Masa del objeto central Ej: Tierra, Sol, agujero negro	kg
`r`	Distancia radial Distancia al centro de masa	m
`G`	Constante gravitacional Valor: 6.67430 $\times$ 10^{-11} $m^{3}$ k $g^{- 1}$ $s^{- 2}$	m^3 kg^{-1} s^{-2}
`c`	Velocidad de la luz Valor: 299 792 458 m/s	m s^{-1}

Dimensions : $[]$

Exemple : En el cerro Monserrate (Bogotá, r = 6.371 $\times$ 10^6 + 3.15 $\times$ 10^3 m), la diferencia con el nivel del mar (r = 6.371 $\times$ 10^6 m) es $Δ$ t / $Δ$ $τ$ - 1 $\approx$ 3.1 $\times$ 10^{-13}. Un reloj en Monserrate se atrasa ~2.7 $\times$ 10^{-5} segundos por día respecto al nivel del mar.

Cosmología Relativista

Ecuaciones que describen la evolución del universo a gran escala.

Ecuación de Friedmann law

{(\frac{\dot{a}}{a})}^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ - \frac{k c^{2}}{a^{2}} + \frac{Λ c^{2}}{3}

Formes alternatives

$H {(t)}^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ - \frac{k c^{2}}{a {(t)}^{2}} + \frac{Λ c^{2}}{3}$ — Expresada en términos de la constante de Hubble H(t) = $\dot{a}$ /a
$H_{0}^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ_{0} - k c^{2} + \frac{Λ c^{2}}{3}$ — En el presente (t = $t_{0}$ ), con $H_{0}$ = H( $t_{0}$ )

Symbole	Signification	Unité
`a(t)`	Factor de escala a( $t_{0}$ ) = 1 en el presente
`\dot{a}`	Derivada temporal del factor de escala Velocidad de expansión del universo	s^{-1}
`\rho`	Densidad de energía total Suma de densidad de materia, radiación y energía oscura	kg m^{-3}
`k`	Parámetro de curvatura k = 0 (plano), k = +1 (esférico), k = -1 (hiperbólico)	m^{-2}
`\Lambda`	Constante cosmológica Relacionada con energía oscura. Valor actual ~1.1 $\times$ 10^{-52} $m^{- 2}$	m^{-2}
`G`	Constante gravitacional Valor: 6.67430 $\times$ 10^{-11} $m^{3}$ k $g^{- 1}$ $s^{- 2}$	m^3 kg^{-1} s^{-2}
`c`	Velocidad de la luz Valor: 299 792 458 m/s	m s^{-1}

Dimensions : ${[T]}^{- 2}$

Exemple : Para un universo plano (k=0) con solo materia ( $Λ$ =0), $ρ$ _0 = $ρ$ _{crit} = 8.5 $\times$ 10^{-27} kg/ $m^{3}$ . Entonces $H_{0}$ = \sqrt ParseError: Expected group as argument to '\sqrt' at end of input: \sqrt{8 $π$ G $ρ$ _{crit}/3} = 70 km/s/Mpc.

Parámetro de Hubble definition

H (t) = \frac{\dot{a} (t)}{a (t)}

Formes alternatives

$v = H_{0} d$ — Ley de Hubble: velocidad de recesión v de galaxias a distancia d (para d pequeña)

Symbole	Signification	Unité
`H(t)`	Parámetro de Hubble Tasa de expansión del universo en el tiempo t	s^{-1}
`a(t)`	Factor de escala a( $t_{0}$ ) = 1 en el presente
`\dot{a}`	Derivada temporal de a Velocidad de expansión	s^{-1}

Dimensions : ${[T]}^{- 1}$

Exemple : Para $H_{0}$ = 70 km/s/Mpc, una galaxia a d = 10 Mpc se aleja a v = 700 km/s. En Colombia, 1 Mpc = 3.086 $\times$ 10^{22} m.

Densidad Crítica del Universo definition

ρ_{c r i t} = \frac{3 H_{0}^{2}}{8 π G}

Symbole	Signification	Unité
`\rho_{crit}`	Densidad crítica Densidad necesaria para un universo plano (k=0)	kg m^{-3}
`H_0`	Constante de Hubble actual Valor actual ~70 km/s/Mpc = 2.27 $\times$ 10^{-18} $s^{- 1}$	s^{-1}
`G`	Constante gravitacional Valor: 6.67430 $\times$ 10^{-11} $m^{3}$ k $g^{- 1}$ $s^{- 2}$	m^3 kg^{-1} s^{-2}

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 3}$

Exemple : Para $H_{0}$ = 70 km/s/Mpc, $ρ$ _{crit} = 8.5 $\times$ 10^{-27} kg/ $m^{3}$ . Esto equivale a ~5 átomos de hidrógeno por metro cúbico.

Agujeros Negros y Objetos Compactos

Fórmulas que describen las propiedades de los objetos más extremos del universo.

Métrica de Kerr (Agujero Negro Rotante) law

d s^{2} = - (1 - \frac{2 G M r}{Σ c^{2}}) c^{2} d t^{2} - \frac{4 G M a r \sin^{2} θ}{Σ c} d t d ϕ + \frac{Σ}{Δ} d r^{2} + Σ d θ^{2} + (r^{2} + a^{2} + \frac{2 G M a^{2} r \sin^{2} θ}{Σ c^{2}}) \sin^{2} θ d ϕ^{2}

Symbole	Signification	Unité
`a`	Parámetro de rotación a = J/(Mc), donde J es momento angular. Máximo a = GM/ $c^{2}$	m
`\Sigma`	Función de superficie $Σ$ = $r^{2}$ + $a^{2}$ $\cos$ ^2 $θ$	m^2
`\Delta`	Función radial $Δ$ = $r^{2}$ - 2GMr/ $c^{2}$ + $a^{2}$	m^2
`M`	Masa del agujero negro Masa irreducible del agujero negro	kg
`J`	Momento angular J = aMc	kg m^2 s^{-1}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : Para un agujero negro de M = 10 $M_{⊙}$ = 1.99 $\times$ 10^{31} kg y a = 0.5 GM/ $c^{2}$ = 7.4 $\times$ 10^3 m, los horizontes están en r_± = GM/ $c^{2}$ $\pm$ $\sqrt{{(G M / c^{2})}^{2} - a^{2}}$ = 14.8 $\pm$ 12.3 km.

Área del Horizonte de Eventos (Agujero Negro) theorem

A = 8 π {(\frac{G M}{c^{2}})}^{2} [1 + \sqrt{1 - {(\frac{a c}{G M})}^{2}}]

Formes alternatives

$A = 8 π {(\frac{G M}{c^{2}})}^{2}$ — Para agujero negro no rotante (a=0)

Symbole	Signification	Unité
`A`	Área del horizonte Área irreducible del agujero negro	m^2
`M`	Masa del agujero negro Masa total incluyendo energía de rotación	kg
`a`	Parámetro de rotación a = J/(Mc), 0 ≤ a ≤ GM/ $c^{2}$	m
`G`	Constante gravitacional Valor: 6.67430 $\times$ 10^{-11} $m^{3}$ k $g^{- 1}$ $s^{- 2}$	m^3 kg^{-1} s^{-2}
`c`	Velocidad de la luz Valor: 299 792 458 m/s	m s^{-1}

Dimensions : ${[L]}^{2}$

Exemple : Para un agujero negro de M = 10 $M_{⊙}$ no rotante, A = 8 $π$ (14.8 km)^2 = 5.5 $\times$ 10^9 $m^{2}$ . Esto equivale a un círculo de radio ~42 km.

Temperatura de Hawking theorem

T_{H} = \frac{ℏ c^{3}}{8 π G M k_{B}}

Symbole	Signification	Unité
`T_H`	Temperatura de Hawking Temperatura de evaporación del agujero negro	K
`M`	Masa del agujero negro Masa del agujero negro	kg
`\hbar`	Constante de Planck reducida $ℏ$ = h/(2 $π$ ) = 1.0545718 $\times$ 10^{-34} J s	J s
`k_B`	Constante de Boltzmann $k_{B}$ = 1.380649 $\times$ 10^{-23} J $K^{- 1}$	J K^{-1}
`G`	Constante gravitacional Valor: 6.67430 $\times$ 10^{-11} $m^{3}$ k $g^{- 1}$ $s^{- 2}$	m^3 kg^{-1} s^{-2}
`c`	Velocidad de la luz Valor: 299 792 458 m/s	m s^{-1}

Dimensions : $[Θ]$

Exemple : Para un agujero negro de M = 5 $\times$ 10^{11} kg (masa de una montaña), $T_{H}$ = 2.4 $\times$ 10^{-14} K. Para M = $M_{⊙}$ = 1.989 $\times$ 10^{30} kg, $T_{H}$ = 6.2 $\times$ 10^{-8} K (más frío que el fondo cósmico de microondas).

Ecuaciones Fundamentales de la Relatividad General

Métricas Clásicas del Espaciotiempo

Efectos Gravitacionales Observables

Cosmología Relativista

Agujeros Negros y Objetos Compactos

Fuentes