Sabías que los sólidos no son tan sólidos como crees: Fórmulas de | ORBITECH

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Esfuerzos y deformaciones

Fórmulas básicas para describir cómo los materiales sólidos responden a fuerzas externas mediante esfuerzos y deformaciones.

Esfuerzo normal definition

σ = \frac{F}{A}

Formes alternatives

$σ = \frac{N}{A}$ — Cuando N es la componente normal de la fuerza.

Symbole	Signification	Unité
`\sigma`	esfuerzo normal Esfuerzo de tracción (positivo) o compresión (negativo).	Pa
`F`	fuerza aplicada Fuerza perpendicular a la sección transversal.	N
`A`	área de la sección transversal Área donde se aplica la fuerza.	m^2

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 1} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Una columna de concreto en Bogotá soporta una fuerza de 50 000 N con un área de 0.1 m². Calcula el esfuerzo normal: σ = 50 000 N / 0.1 m² = 500 000 Pa.

Deformación unitaria definition

ε = \frac{Δ L}{L_{0}}

Symbole	Signification	Unité
`\varepsilon`	deformación unitaria Adimensional. Positiva para alargamiento, negativa para acortamiento.
`\Delta L`	cambio de longitud Variación en la longitud del material.	m
`L_0`	longitud inicial Longitud del material antes de aplicar la fuerza.	m

Exemple : Un cable de acero de 2 m en Medellín se alarga 0.001 m bajo carga. Calcula la deformación unitaria: ε = 0.001 m / 2 m = 0.0005.

Esfuerzo cortante definition

τ = \frac{F}{A}

Symbole	Signification	Unité
`\tau`	esfuerzo cortante Esfuerzo paralelo a la sección transversal.	Pa
`F`	fuerza cortante Fuerza aplicada paralelamente a la sección.	N
`A`	área de la sección Área donde actúa la fuerza cortante.	m^2

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 1} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Un remache en una estructura metálica de Cali soporta una fuerza de 10 000 N en un área de 0.0005 m². Calcula el esfuerzo cortante: τ = 10 000 N / 0.0005 m² = 20 000 000 Pa.

Ley de Hooke y módulo de elasticidad

Relación lineal entre esfuerzo y deformación en materiales elásticos. Clave para entender por qué los sólidos 'ceden' bajo carga.

Ley de Hooke law

σ = E \cdot ε

Formes alternatives

$F = k \cdot Δ L$ — Forma alternativa usando constante de rigidez k = EA/L.

Symbole	Signification	Unité
`\sigma`	esfuerzo normal Esfuerzo aplicado al material.	Pa
`E`	módulo de Young Depende del material: acero ≈ 200 GPa, concreto ≈ 25 GPa.	Pa
`\varepsilon`	deformación unitaria Deformación relativa del material.

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 1} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Un cable de acero (E = 200 GPa) en una construcción de Medellín se deforma 0.0005 bajo un esfuerzo de 100 MPa. Verifica la ley de Hooke: 100 MPa = 200 GPa × 0.0005 → 100 × 10^6 = 100 × 10^6 Pa (correcto).

Módulo de Poisson definition

ν = - \frac{ε_{t r a n s}}{ε_{a x i a l}}

Symbole	Signification	Unité
`\nu`	coeficiente de Poisson Adimensional. Para la mayoría de materiales: 0.25 < ν < 0.35.
`\varepsilon_{trans}`	deformación transversal Deformación en dirección perpendicular a la carga.
`\varepsilon_{axial}`	deformación axial Deformación en dirección de la carga.

Exemple : Un bloque de concreto (ν = 0.2) en una obra de Cali se deforma axialmente 0.0001. Calcula la deformación transversal: ε_trans = -0.2 × 0.0001 = -0.00002.

Energía de deformación definition

U = \frac{1}{2} σ \cdot ε \cdot V

Symbole	Signification	Unité
`U`	energía de deformación Energía almacenada en el material deformado.	J
`\sigma`	esfuerzo normal Esfuerzo aplicado.	Pa
`\varepsilon`	deformación unitaria Deformación relativa.
`V`	volumen del material Volumen sometido a deformación.	m^3

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Una viga de acero (V = 0.02 m³) en Bogotá soporta un esfuerzo de 150 MPa y una deformación de 0.00075. Calcula la energía almacenada: U = 0.5 × 150 × 10^6 Pa × 0.00075 × 0.02 m³ = 112.5 J.

Deformaciones térmicas

Cómo los cambios de temperatura generan esfuerzos y deformaciones en estructuras fijas, especialmente relevantes en climas como el de la Sabana de Bogotá.

Deformación térmica law

Δ L = α \cdot L_{0} \cdot Δ T

Symbole	Signification	Unité
`\Delta L`	cambio de longitud Variación en la longitud por cambios térmicos.	m
`\alpha`	coeficiente de dilatación lineal Para acero: 12×10⁻⁶ /°C, concreto: 10×10⁻⁶ /°C.	/°C
`L_0`	longitud inicial Longitud del material a temperatura inicial.	m
`\Delta T`	cambio de temperatura Diferencia entre temperatura final e inicial.	°C

Dimensions : $[L]$

Exemple : Un riel de tren en la Sabana de Bogotá (L₀ = 15 m) pasa de 10°C a 25°C. Calcula ΔL: ΔL = 12×10⁻⁶ /°C × 15 m × 15°C = 0.0027 m.

Esfuerzo térmico law

σ_{t \overset{´}{e} r m i c o} = E \cdot α \cdot Δ T

Symbole	Signification	Unité
`\sigma_{térmico}`	esfuerzo térmico Esfuerzo generado por restricción a la deformación térmica.	Pa
`E`	módulo de Young Módulo del material.	Pa
`\alpha`	coeficiente de dilatación Coeficiente del material.	/°C
`\Delta T`	cambio de temperatura Variación térmica.	°C

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 1} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Un puente de concreto en Cali (E = 25 GPa, α = 10×10⁻⁶ /°C) experimenta un ΔT = 20°C. Calcula el esfuerzo térmico: σ = 25×10⁹ Pa × 10×10⁻⁶ /°C × 20°C = 5 000 000 Pa.

Tensión térmica en vigas law

M_{t \overset{´}{e} r m i c o} = \frac{E \cdot I \cdot α \cdot Δ T}{h}

Symbole	Signification	Unité
`M_{térmico}`	momento térmico Momento generado por gradiente térmico en vigas.	N·m
`E`	módulo de Young Módulo del material de la viga.	Pa
`I`	momento de inercia Depende de la geometría de la sección transversal.	m^4
`\alpha`	coeficiente de dilatación Coeficiente del material.	/°C
`\Delta T`	cambio de temperatura Variación térmica entre fibras.	°C
`h`	altura de la viga Distancia entre fibras extremas.	m

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Una viga de acero (E = 200 GPa, I = 8×10⁻⁶ m⁴, h = 0.3 m) en Bogotá con ΔT = 15°C entre fibras. Calcula M: M = (200×10⁹ × 8×10⁻⁶ × 12×10⁻⁶ × 15) / 0.3 = 960 N·m.

Flexión de vigas (Euler-Bernoulli)

Fórmulas esenciales para analizar vigas bajo cargas transversales, clave en puentes, edificios y estructuras colombianas.

Ecuación de la elástica law

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{M (x)}{E \cdot I}

Symbole	Signification	Unité
`y`	flecha de la viga Desplazamiento vertical de la viga.	m
`x`	posición a lo largo de la viga Coordenada longitudinal.	m
`M(x)`	momento flector Momento interno en la posición x.	N·m
`E`	módulo de Young Módulo del material de la viga.	Pa
`I`	momento de inercia Depende de la sección transversal.	m^4

Dimensions : ${[L]}^{- 1}$

Exemple : Una viga de concreto (E = 25 GPa, I = 5×10⁻⁵ m⁴) en Medellín soporta un momento M = 10 000 N·m en x = 2 m. Calcula d²y/dx²: d²y/dx² = 10 000 / (25×10⁹ × 5×10⁻⁵) = 8×10⁻⁶ m⁻¹.

Flecha máxima en viga simplemente apoyada theorem

δ_{m \overset{´}{a} x} = \frac{5 \cdot q \cdot L^{4}}{384 \cdot E \cdot I}

Symbole	Signification	Unité
`\delta_{máx}`	flecha máxima Desplazamiento vertical máximo.	m
`q`	carga distribuida Carga por unidad de longitud.	N/m
`L`	longitud de la viga Distancia entre apoyos.	m
`E`	módulo de Young Módulo del material.	Pa
`I`	momento de inercia Momento de inercia de la sección.	m^4

Dimensions : $[L]$

Exemple : Una viga de acero (E = 200 GPa, I = 2×10⁻⁵ m⁴) en Cali soporta q = 5 000 N/m y L = 6 m. Calcula δ_máx: δ = (5 × 5 000 × 6⁴) / (384 × 200×10⁹ × 2×10⁻⁵) = 0.013 m.

Momento flector máximo en viga en voladizo law

M_{m \overset{´}{a} x} = F \cdot L

Symbole	Signification	Unité
`M_{máx}`	momento flector máximo Momento en el empotramiento.	N·m
`F`	fuerza concentrada Fuerza aplicada en el extremo libre.	N
`L`	longitud del voladizo Distancia desde el empotramiento al punto de aplicación.	m

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Un voladizo en una casa de Cartagena (L = 3 m) soporta una fuerza F = 2 000 N en su extremo. Calcula $M_{m}$ áx: M = 2 000 N × 3 m = 6 000 N·m.

Pandeo y estabilidad

Fórmulas para analizar la estabilidad de columnas y estructuras esbeltas, crucial en edificios altos y torres en ciudades colombianas.

Carga crítica de Euler theorem

P_{c r} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I}{{(k \cdot L)}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`P_{cr}`	carga crítica Carga máxima antes de que la columna pandee.	N
`E`	módulo de Young Módulo del material de la columna.	Pa
`I`	momento de inercia Momento de inercia de la sección transversal.	m^4
`k`	factor de longitud efectiva k = 0.5 (empotrada-empotrada), k = 1 (empotrada-libre), k = 0.7 (empotrada-articulada).
`L`	longitud de la columna Longitud real de la columna.	m

Dimensions : $[M] [L] {[T]}^{- 2}$

Exemple : Una columna de acero (E = 200 GPa, I = 1×10⁻⁵ m⁴) en un edificio de Medellín (L = 4 m, k = 0.7). Calcula $P_{c} r$ : $P_{c} r$ = (π² × 200×10⁹ × 1×10⁻⁵) / (0.7 × 4)² = 1 000 000 N.

Esbeltez de una columna definition

λ = \frac{k \cdot L}{r}

Symbole	Signification	Unité
`\lambda`	esbeltez Adimensional. Valores altos indican mayor riesgo de pandeo.
`k`	factor de longitud efectiva Depende de las condiciones de apoyo.
`L`	longitud de la columna Longitud real.	m
`r`	radio de giro r = √(I/A), donde A es el área de la sección.	m

Exemple : Una columna de acero (L = 5 m, k = 1, r = 0.05 m) en Barranquilla. Calcula λ: λ = (1 × 5) / 0.05 = 100.

Radio de giro definition

r = \sqrt{\frac{I}{A}}

Symbole	Signification	Unité
`r`	radio de giro Indica la distribución de la sección respecto al eje neutro.	m
`I`	momento de inercia Momento de inercia de la sección.	m^4
`A`	área de la sección Área transversal de la columna.	m^2

Dimensions : $[L]$

Exemple : Una columna cuadrada de 0.2 m de lado (A = 0.04 m², I = 2.67×10⁻⁵ m⁴). Calcula r: r = √(2.67×10⁻⁵ / 0.04) = 0.0258 m.

Cizalladura y torsión

Fórmulas para analizar esfuerzos y deformaciones por fuerzas cortantes y momentos torsores, comunes en ejes y conexiones estructurales.

Esfuerzo cortante máximo law

τ_{m \overset{´}{a} x} = \frac{V \cdot Q}{I \cdot t}

Symbole	Signification	Unité
`\tau_{máx}`	esfuerzo cortante máximo Esfuerzo cortante en la sección transversal.	Pa
`V`	fuerza cortante Fuerza transversal en la sección.	N
`Q`	momento estático Q = A'·y', donde A' es el área por encima del punto de interés.	m^3
`I`	momento de inercia Momento de inercia de la sección completa.	m^4
`t`	espesor Espesor de la sección en el punto de interés.	m

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 1} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Una viga I de acero (I = 8×10⁻⁵ m⁴, t = 0.01 m) en Bogotá soporta V = 15 000 N. En el alma (Q = 2×10⁻⁵ m³), calcula τ: τ = (15 000 × 2×10⁻⁵) / (8×10⁻⁵ × 0.01) = 3 750 000 Pa.

Ángulo de torsión law

θ = \frac{T \cdot L}{G \cdot J}

Symbole	Signification	Unité
`\theta`	ángulo de torsión Ángulo de giro entre extremos de la barra.	rad
`T`	momento torsor Momento aplicado alrededor del eje longitudinal.	N·m
`L`	longitud de la barra Longitud de la barra sometida a torsión.	m
`G`	módulo de rigidez G = E / (2(1+ν)), para acero G ≈ 79 GPa.	Pa
`J`	momento polar de inercia Depende de la geometría de la sección.	m^4

Dimensions : $[1]$

Exemple : Un eje de transmisión en una fábrica de Cali (G = 79 GPa, J = 5×10⁻⁷ m⁴) soporta T = 500 N·m y L = 2 m. Calcula θ: θ = (500 × 2) / (79×10⁹ × 5×10⁻⁷) = 0.0253 rad ≈ 1.45°.

Esfuerzo cortante en torsión law

τ = \frac{T \cdot r}{J}

Symbole	Signification	Unité
`\tau`	esfuerzo cortante por torsión Esfuerzo máximo en la superficie externa.	Pa
`T`	momento torsor Momento aplicado.	N·m
`r`	radio externo Distancia desde el centro al punto de interés.	m
`J`	momento polar de inercia Momento polar de inercia de la sección.	m^4

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 1} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Un eje circular de acero (J = 1×10⁻⁶ m⁴, r = 0.02 m) en Medellín soporta T = 300 N·m. Calcula τ: τ = (300 × 0.02) / 1×10⁻⁶ = 6 000 000 Pa.

Esfuerzos y deformaciones

Ley de Hooke y módulo de elasticidad

Deformaciones térmicas

Flexión de vigas (Euler-Bernoulli)

Pandeo y estabilidad

Cizalladura y torsión

Fuentes