Dominando la dinámica de fluidos: ejercicios clave para ingenier@

1. Cálculo del área transversal — Primero calculamos el área de la sección transversal de la tubería usando la fórmula del área de un círculo.
   $$A=\frac{\pi D^2}{4}$$
2. Cálculo del caudal volumétrico — Multiplicamos el área por la velocidad del fluido para obtener el caudal volumétrico.
   $$Q=A\cdot v$$

$$Q=1.145{\text{m}}^3/\text{s}$$

→ El caudal volumétrico en la tubería principal es aproximadamente 1.145 m³/s.

1. Aplicación de Bernoulli — Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre la superficie del río (punto 1) y la entrada de la bomba (punto A).
   $$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{z}_1=P_A+\frac{1}{2}\rho v_A^2+\rho g{z}_A$$
2. Simplificación — Como v₁ ≈ 0 y z₁ = 0, la ecuación se simplifica. Calculamos la velocidad en el punto A usando la ecuación de continuidad.
   $$v_A=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}$$
3. Cálculo final — Sustituimos los valores conocidos y resolvemos para $P_A$.
   $$P_A=P_{atm}-\rho gh-\frac{1}{2}\rho v_A^2$$

$$P_A=75800\text{Pa}$$

→ La presión en la entrada de la bomba es aproximadamente 75 800 Pa.

1. Cálculo de la velocidad — Usamos la ecuación de continuidad para encontrar la velocidad del agua en la tubería.
   $$v=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}$$
2. Número de Reynolds — Calculamos el número de Reynolds para determinar el régimen de flujo.
   $$Re=\frac{vD}{\nu }$$
3. Factor de fricción — Aproximamos el factor de fricción usando la ecuación de Swamee-Jain (válida para Re > 4000).
   $$f=\frac{0.25}{{\left[\log (\frac{\epsilon }{3.7D}+\frac{5.74}{R{e}^{0.9}})\right]}^2}$$
4. Pérdida de carga — Finalmente aplicamos la fórmula de Darcy-Weisbach para calcular la pérdida de carga.
   $$h_f=f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$$

$$h_f=12.4\text{m}$$

→ La pérdida de carga por fricción en la tubería es aproximadamente 12.4 metros.

1. Conversión de unidades — Convertimos la intensidad de lluvia de mm/h a m/s.
   $$I=50\text{mm/h}=\frac{50\times {10}^{-3}}{3600}\text{m/s}$$
2. Cálculo del caudal máximo — Aplicamos la fórmula racional para determinar el caudal de diseño.
   $$Q_{max}=C\times I\times A$$
3. Cálculo del diámetro mínimo — Usamos la ecuación de continuidad para encontrar el diámetro requerido.
   $$Q_{max}=\frac{\pi D^2}{4}{v}_{max}$$
4. Despeje de D — Resolvemos para D y calculamos el valor numérico.
   $$D=\sqrt{\frac{4Q_{max}}{\pi v_{max}}}$$

$$Q_{max}=0.0181{\text{m}}^3/\text{s},D_{min}=0.096\text{m}$$

→ El caudal máximo de diseño es 0.0181 m³/s y el diámetro mínimo de la tubería debe ser aproximadamente 0.096 m (9.6 cm). Usa tubería de 10 cm de diámetro.

1. Cálculo del área mojada — Calculamos el área transversal del río considerando la altura del agua.
   $$A=B\times h$$
2. Cálculo del perímetro mojado — Determinamos el perímetro mojado para el cálculo del radio hidráulico.
   $$P=B+2h$$
3. Radio hidráulico — Calculamos el radio hidráulico usando A y P.
   $$R_h=\frac{A}{P}$$
4. Velocidad media — Usamos el caudal para encontrar la velocidad media del agua.
   $$v=\frac{Q}{A}$$
5. Número de Reynolds — Finalmente calculamos el número de Reynolds para determinar el tipo de flujo.
   $$Re=\frac{4v{R}_h}{\nu }$$

$$Re=240000,\text{Flujo turbulento}$$

→ El número de Reynolds es aproximadamente 240 000, lo que indica un flujo turbulento en el río Yaque del Norte.

1. Potencia hidráulica teórica — Calculamos la potencia disponible en el agua antes de considerar eficiencias.
   $$P_{hidr\acute{a}ulica}=\rho gQH$$
2. Potencia eléctrica real — Aplicamos la eficiencia global para obtener la potencia eléctrica generada.
   $$P_{el\acute{e}ctrica}=\eta \times P_{hidr\acute{a}ulica}$$
3. Conversión a megavatios — Convertimos la potencia de vatios a megavatios para expresarla en unidades estándar.
   $$P_{el\acute{e}ctrica}=\frac{P_{el\acute{e}ctrica}}{{10}^6}\text{MW}$$
4. Cálculo del ingreso diario — Calculamos la energía diaria en kWh y multiplicamos por el precio de venta.
   $$E_{diaria}=P_{el\acute{e}ctrica}\times 24\text{h},\text{Ingreso}=E_{diaria}\times \text{precio}$$

$$P_{el\acute{e}ctrica}=94.2\text{MW},\text{Ingreso diario}=9840000\text{DOP}$$

→ La potencia teórica máxima es 94.2 MW y el ingreso diario por venta de energía es aproximadamente 9 840 000 DOP.

1. Número de goteros — Calculamos cuántos goteros se necesitan para cubrir toda el área de la plantación.
   $$N_{gotero}=\frac{A_{plantaci\acute{o}n}}{s_{gotero}\times 1\text{m}}$$
2. Caudal total — Multiplicamos el número de goteros por el caudal individual para obtener el caudal total del sistema.
   $$Q_{total}=N_{gotero}\times q_{gotero}$$
3. Potencia de la bomba — Calculamos la potencia requerida considerando la altura total de bombeo.
   $$P_{bomba}=\frac{\rho g{Q}_{total}{H}_{total}}{{\eta }_{bomba}}$$
4. Altura total — La altura total incluye la succión, la presión de trabajo y pérdidas menores (aproximadas como 5% de la altura total).
   $$H_{total}=h_{bomba}+P_{trabajo}+0.05H_{total}$$

$$N_{gotero}=100000,Q_{total}=400{\text{m}}^3/\text{h},P_{bomba}=2.3\text{kW}$$

→ Se necesitan 100 000 goteros, el caudal total del sistema es 400 000 L/h (400 m³/h) y la potencia mínima requerida para la bomba es aproximadamente 2.3 kW.

1. Velocidad de sedimentación — Aplicamos la ley de Stokes para partículas esféricas en un fluido viscoso.
   $$v_{sed}=\frac{g{d}_p^2({\rho }_p-{\rho }_{agua})}{18\mu }$$
2. Tiempo de retención — Calculamos cuánto tiempo debe permanecer el agua en el sedimentador para que las partículas se depositen.
   $$t_{ret}=\frac{H}{v_{sed}}$$
3. Eficiencia de remoción — Determinamos la eficiencia teórica considerando el porcentaje de partículas que pueden sedimentar.
   $$\text{Eficiencia}=\text{porcentaje\_grande}\times 100$$

$$v_{sed}=0.00021\text{m/s},t_{ret}=3.97\text{h},\text{Eficiencia}=60\%$$

→ La velocidad de sedimentación es 0.00021 m/s, el tiempo mínimo de retención es 3.97 horas y la eficiencia teórica de remoción es 60%.