¿Cuántos datos necesitas? Guía de potencia y tamaño de muestra -E

Pregunta 1 (3 pts) — Define qué es la potencia estadística potencia estadística y explica su relación con el error tipo II

1. Definición conceptual — La potencia estadística es la probabilidad de no cometer un error tipo II. Si $\beta$ es la probabilidad de no rechazar $H_0$ cuando $H_1$ es verdadera, entonces la potencia es $1-\beta$. En este contexto, sería la probabilidad de detectar que la nueva variedad de cacao realmente rinde más que la tradicional.

$$1-\beta$$

→ La potencia estadística es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis alternativa es correcta. Se relaciona con el error tipo II (beta ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲beta) mediante la fórmula: potencia = 1 - beta. En este estudio, sería la probabilidad de concluir que la variedad nueva de cacao tiene mayor rendimiento cuando realmente lo tiene.

Pregunta 2 (4 pts) — Calcula el tamaño del efecto estandarizado $d$ para este estudio

1. Datos — Tenemos: ${\mu }_1=3000$, ${\mu }_2=3200$, $\sigma =500$.
   $${\mu }_1=3000\text{kg/ha},{\mu }_2=3200\text{kg/ha},\sigma =500\text{kg/ha}$$
2. Aplicación de fórmula — Aplicamos la fórmula del tamaño del efecto para dos muestras independientes:
   $$d=\frac{|{\mu }_2-{\mu }_1|}{\sigma }=\frac{|3200-3000|}{500}=\frac{200}{500}=0.4$$

$$d=0.4$$

→ El tamaño del efecto estandarizado es 0.4, lo que indica un efecto mediano según los criterios de Cohen (0.2 pequeño, 0.5 mediano, 0.8 grande).

Pregunta 3 (3 pts) — Si el investigador aumenta el tamaño de muestra a $100$ parcelas por variedad, ¿cómo afecta esto a la potencia estadística? Explica tu respuesta

1. Explicación teórica — Al aumentar el tamaño de muestra de 30 a 100 parcelas por variedad, la potencia estadística aumenta porque el error estándar de la media disminuye. Matemáticamente, el error estándar es $\sigma /\sqrt{n}$, así que al aumentar $n$, el error estándar se hace más pequeño y la distribución muestral se vuelve más estrecha.
   $$SE=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\text{con }n=100<30$$
2. Consecuencia práctica — Con una muestra mayor, el estudio tendrá mayor potencia para detectar la diferencia de 200 kg/ha entre las variedades, reduciendo la probabilidad de cometer un error tipo II.

$$Potencia\uparrow$$

→ Aumentar el tamaño de muestra a 100 parcelas por variedad incrementa la potencia estadística, haciendo más probable detectar la diferencia real de rendimiento entre las variedades de cacao.

Pregunta 1 (3 pts) — Plantea las hipótesis nula y alternativa para este estudio

1. Hipótesis nula — La hipótesis nula establece que la proporción de usuarios de bicicleta no cambió después de la campaña.
   $$H_0:p=0.50$$
2. Hipótesis alternativa — La hipótesis alternativa establece que la proporción cambió (aumentó o disminuyó).
   $$H_1:p\ne 0.50$$

$$H_0:p=0.50H_1:p\ne 0.50$$

→ Hipótesis nula: La proporción de usuarios de bicicleta en Quito sigue siendo 50% después de la campaña. Hipótesis alternativa: La proporción cambió (ya sea aumentó o disminuyó).

Pregunta 2 (8 pts) — Calcula la potencia estadística de detectar esta diferencia con los datos proporcionados

1. Cálculo del valor crítico — Para $\alpha =0.01$ en una prueba de dos colas, el valor crítico de z es $\pm 2.576$.
   $$z_{\alpha /2}=2.576$$
2. Cálculo de la potencia — La potencia es la probabilidad de que el estadístico z caiga en la región de rechazo cuando $p=0.65$ es la proporción verdadera. Calculamos el valor de z bajo $H_1$ y comparamos con el valor crítico.
   $$z_{observado}=\frac{0.65-0.50}{\sqrt{0.50\times 0.50/200}}=4.24$$
3. Interpretación — Como 4.24 > 2.576, rechazamos $H_0$. La potencia es la probabilidad de obtener un resultado en la región de rechazo cuando $H_1$ es verdadera, que en este caso es muy alta porque el efecto observado es grande.
   $$P(|Z|>2.576|p=0.65)\approx 0.85$$

$$Potencia\approx 0.85$$

→ La potencia estadística de este estudio es aproximadamente 0.85 o 85%. Esto significa que hay un 85% de probabilidad de detectar un cambio real en la proporción de usuarios de bicicleta si realmente existe.

Pregunta 3 (4 pts) — Interpreta el resultado: ¿qué significa tener una potencia de 0.85 en este contexto?

1. Interpretación práctica — Una potencia de 0.85 significa que el estudio tiene una alta probabilidad de detectar el efecto real de la campaña de promoción de la bicicleta. Si la campaña realmente cambió el comportamiento de los quiteños, este estudio tiene un 85% de probabilidad de mostrar ese cambio de manera estadísticamente significativa.

$$85$$

→ Una potencia de 0.85 indica que el estudio tiene una alta probabilidad (85%) de detectar el efecto real de la campaña de promoción de la bicicleta en Quito. Esto sugiere que el tamaño de muestra de 200 personas es adecuado para detectar cambios significativos en el uso de la bicicleta.

Pregunta 1 (10 pts) — Calcula el tamaño de muestra necesario por grupo para este estudio

1. Sustitución de valores — Sustituimos los valores en la fórmula: $\mathrm{\Delta }=500$, $\sigma =800$, $Z_{0.975}=1.96$, $Z_{0.80}=0.84$.
   $$n=\frac{2{(1.96+0.84)}^2{(800)}^2}{{(500)}^2}$$
2. Cálculo paso a paso — Primero calculamos la suma de los valores z: $1.96+0.84=2.80$. Luego elevamos al cuadrado: ${2.80}^2=7.84$. Multiplicamos por $2\times {800}^2=2\times 640000=1280000$. Dividimos por ${500}^2=250000$.
   $$n=\frac{2\times 7.84\times 640000}{250000}=\frac{10035200}{250000}=40.14$$
3. Redondeo — Como no podemos tener una fracción de parcela, redondeamos al entero superior: $n=41$ parcelas por grupo.
   $$n=41\text{ parcelas por fertilizante}$$

$$n=41\text{ parcelas por grupo}$$

→ Se necesitan 41 parcelas por grupo (fertilizante orgánico A y B) para detectar una diferencia de 500 kg/ha con una potencia de 0.80 y nivel de significancia de 0.05.

Pregunta 2 (6 pts) — Si la cooperativa solo puede muestrear 20 parcelas por fertilizante, ¿qué potencia tendría el estudio?

1. Cálculo de potencia con n=20 — Si $n=20$, calculamos la potencia usando la fórmula inversa. Primero calculamos el error estándar: $SE=\sigma \sqrt{2/n}=800\times \sqrt{2/20}=800\times 0.316=252.8$.
   $$SE=800\times \sqrt{\frac{2}{20}}=252.8\text{ kg/ha}$$
2. Valor de z bajo H1 — El valor de z para detectar la diferencia de 500 kg/ha es: $z=\mathrm{\Delta }/SE=500/252.8=1.98$.
   $$z=\frac{500}{252.8}=1.98$$
3. Potencia resultante — Buscamos en la tabla de distribución normal la probabilidad de que $Z>1.96$ (valor crítico para $\alpha =0.05$ de dos colas). Como $1.98>1.96$, la potencia es mayor que 0.95.
   $$P(Z>1.96|\mathrm{\Delta }=500)\approx 0.95$$

$$Potencia\approx 0.95$$

→ Con 20 parcelas por grupo, la potencia del estudio sería aproximadamente 0.95 o 95%, lo cual es mayor que la potencia deseada de 0.80.

Pregunta 3 (4 pts) — Explica cómo cambiaría el tamaño de muestra si se desea una potencia de 0.90 en lugar de 0.80

1. Aumento de potencia a 0.90 — Para una potencia de 0.90, $Z_{1-\beta }=Z_{0.90}=1.28$. Sustituimos en la fórmula:
   $$n=\frac{2{(1.96+1.28)}^2{(800)}^2}{{(500)}^2}=\frac{2{(3.24)}^2(640000)}{250000}$$
2. Cálculo — Calculamos: ${3.24}^2=10.50$, $2\times 10.50\times 640000=13440000$, dividido por 250000 da $n=53.76$, redondeando a 54 parcelas por grupo.
   $$n=54\text{ parcelas por grupo}$$

$$n=54\text{ parcelas por grupo}$$

→ Para alcanzar una potencia de 0.90, se necesitarían 54 parcelas por grupo, lo que representa un aumento de 13 parcelas adicionales por fertilizante comparado con el tamaño de muestra original.

Pregunta 1 (3 pts) — Interpreta el valor p de 0.12 en el contexto de este estudio

1. Definición de valor p — El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera.

$$p=0.12>0.05\Rightarrow \text{No hay evidencia suficiente}$$

→ El valor p de 0.12 indica que no hay suficiente evidencia estadística para concluir que existe una diferencia en la incidencia de fiebre aftosa entre las fincas vacunadas y no vacunadas. Sin embargo, no prueba que no exista diferencia, solo que no se detectó una diferencia significativa con el tamaño de muestra utilizado.

Pregunta 2 (4 pts) — ¿Qué significa tener una potencia de 0.65 para detectar una diferencia del 15%?

1. Significado de potencia 0.65 — La potencia de 0.65 significa que si el programa de vacunación realmente reduce la incidencia de la enfermedad en un 15%, el estudio solo tiene un 65% de probabilidad de detectar esta reducción como estadísticamente significativa.

$$65$$

→ Una potencia de 0.65 indica que el estudio tiene una probabilidad moderada (65%) de detectar el efecto real del programa de vacunación si este realmente reduce la incidencia en un 15%. Esto sugiere que el tamaño de muestra de 50 fincas por grupo puede ser insuficiente para detectar diferencias reales.

Pregunta 3 (3 pts) — Basado en estos resultados, ¿puede el Ministerio concluir que el programa de vacunación no tuvo efecto? Explica tu respuesta

1. Conclusión basada en potencia — No se puede concluir que el programa no tuvo efecto. La falta de significancia estadística puede deberse a dos razones: 1) El programa realmente no tuvo efecto, o 2) El estudio no tuvo suficiente potencia para detectar un efecto real. Dado que la potencia es solo 0.65, es posible que exista un efecto que no se pudo detectar.

$$\text{No se puede concluir que no hubo efecto}$$

→ No, el Ministerio no puede concluir que el programa no tuvo efecto. La potencia insuficiente (0.65) significa que existe una alta probabilidad (35%) de cometer un error tipo II, es decir, de no detectar un efecto real que sí existe. Se necesitaría un estudio con mayor tamaño de muestra para tomar una decisión concluyente.

Pregunta 1 (3 pts) — Plantea las hipótesis nula y alternativa para este estudio

1. Hipótesis nula — La hipótesis nula establece que no hay diferencia en el rendimiento promedio de matemáticas entre los estudiantes de Quito y Guayaquil.
   $$H_0:{\mu }_{Quito}={\mu }_{Guayaquil}$$
2. Hipótesis alternativa — La hipótesis alternativa establece que existe una diferencia en el rendimiento promedio entre las dos ciudades.
   $$H_1:{\mu }_{Quito}\ne {\mu }_{Guayaquil}$$

$$H_0:{\mu }_{Quito}={\mu }_{Guayaquil}{H}_1:{\mu }_{Quito}\ne {\mu }_{Guayaquil}$$

→ Hipótesis nula: No hay diferencia en el rendimiento promedio de matemáticas entre Quito y Guayaquil. Hipótesis alternativa: Existe una diferencia en el rendimiento promedio entre las dos ciudades.

Pregunta 2 (6 pts) — Calcula la potencia estadística de este estudio para detectar una diferencia de 3 puntos

1. Cálculo del estadístico z — El valor de z para detectar la diferencia de 3 puntos es: $z=\mathrm{\Delta }/SE=3/2=1.5$.
   $$z=\frac{3}{2}=1.5$$
2. Cálculo de la potencia — Para $\alpha =0.05$ de dos colas, el valor crítico es $Z_{0.975}=1.96$. La potencia es la probabilidad de que $|Z|>1.96$ cuando la diferencia real es de 3 puntos. Como $1.5<1.96$, la potencia es menor que 0.5.
   $$P(|Z|>1.96|\mathrm{\Delta }=3)<0.5$$
3. Resultado — La potencia es aproximadamente 0.30 o 30%, lo que es muy bajo para un estudio confiable.
   $$Potencia\approx 0.30$$

$$Potencia\approx 0.30$$

→ La potencia estadística de este estudio es aproximadamente 0.30 o 30%. Esto significa que solo hay un 30% de probabilidad de detectar una diferencia real de 3 puntos en el rendimiento de matemáticas entre los colegios de Quito y Guayaquil.

Pregunta 3 (3 pts) — ¿Es viable este estudio con los recursos disponibles? Justifica tu respuesta

1. Evaluación de viabilidad — Un estudio con potencia del 30% no es viable porque tiene una alta probabilidad (70%) de no detectar un efecto real que sí existe. Esto llevaría a conclusiones erróneas o a no poder tomar decisiones basadas en los resultados.

$$\text{No es viable (Potencia = 0.30)}$$

→ No, este estudio no es viable con los recursos actuales. Una potencia del 30% significa que existe un 70% de probabilidad de cometer un error tipo II, lo que hace que los resultados no sean confiables para tomar decisiones educativas.

Pregunta 4 (3 pts) — Si el investigador quiere aumentar la potencia a 0.90, ¿cuántos estudiantes adicionales por ciudad necesitaría muestrear?

1. Cálculo para potencia 0.90 — Para alcanzar una potencia de 0.90, necesitamos encontrar el nuevo tamaño de muestra usando la fórmula: $n=2{(Z_{1-\alpha /2}+Z_{1-\beta })}^2({\sigma }^2/{\mathrm{\Delta }}^2)$. Con $Z_{0.975}=1.96$ y $Z_{0.90}=1.28$, calculamos:
   $$n=2{(1.96+1.28)}^2({10}^2/3^2)=2{(3.24)}^2(100/9)=2\times 10.50\times 11.11=233.32$$
2. Redondeo y cálculo de adicionales — Redondeando a 234 estudiantes por ciudad, el investigador necesitaría muestrear $234-50=184$ estudiantes adicionales por ciudad para alcanzar una potencia de 0.90.
   $$184\text{ estudiantes adicionales por ciudad}$$

$$184\text{ adicionales por ciudad}$$

→ Para aumentar la potencia a 0.90, el investigador necesitaría muestrear 184 estudiantes adicionales por ciudad, es decir, un total de 234 estudiantes por ciudad en lugar de los 50 planeados inicialmente.

Pregunta 1 (3 pts) — Afirmación 1: 'Como el valor p fue 0.03, que es menor que 0.05, podemos estar seguros al 95% de que el nuevo método es mejor que el tradicional'. Identifica el error en esta afirmación y corrígelo.

1. Error en afirmación 1 — El error es confundir el nivel de significancia (alpha ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲alpha) con la probabilidad de que la hipótesis alternativa sea verdadera.
2. Corrección — El valor p de 0.03 indica que, si no hubiera diferencia real entre los métodos, la probabilidad de observar una diferencia tan grande o mayor por azar es del 3%. No nos dice la probabilidad de que el nuevo método sea mejor.

→ Error: Confundir el nivel de significancia con la probabilidad de que el método sea efectivo. Corrección: El valor p de 0.03 significa que hay un 3% de probabilidad de observar estos resultados si no hay diferencia real entre los métodos. No nos dice la probabilidad de que el nuevo método sea mejor.

Pregunta 2 (3 pts) — Afirmación 2: 'La potencia de nuestro estudio fue 0.75, así que solo hay un 25% de probabilidad de que el nuevo método no funcione'. Identifica el error en esta afirmación y corrígelo.

1. Error en afirmación 2 — El error es interpretar incorrectamente qué significa la potencia estadística.
2. Corrección — La potencia de 0.75 significa que hay un 75% de probabilidad de detectar un efecto real si existe, no que hay un 25% de probabilidad de que el método no funcione. La potencia no evalúa la efectividad del método, sino la capacidad del estudio para detectar un efecto.

→ Error: Interpretar la potencia como la probabilidad de que el método no funcione. Corrección: La potencia de 0.75 significa que hay un 75% de probabilidad de detectar un efecto real si existe. No nos dice nada sobre la efectividad real del nuevo método de enseñanza.

Pregunta 3 (4 pts) — Afirmación 3: 'Como nuestra muestra fue grande (n=200), no necesitamos preocuparnos por la potencia'. Identifica el error en esta afirmación y corrígelo.

1. Error en afirmación 3 — El error es asumir que una muestra grande siempre garantiza alta potencia.
2. Corrección — Una muestra grande aumenta la potencia solo si el tamaño del efecto esperado es razonable. Si el efecto esperado es muy pequeño (por ejemplo, una diferencia de 0.1 puntos en una escala de 100), incluso con muestra grande, la potencia puede ser baja. La potencia depende del tamaño del efecto, no solo del tamaño de muestra.

→ Error: Asumir que muestra grande garantiza alta potencia. Corrección: La potencia depende del tamaño de muestra, el tamaño del efecto y el nivel de significancia. Una muestra de 200 no garantiza alta potencia si el efecto esperado es muy pequeño.

Pregunta 1 (4 pts) — Describe los parámetros que debes ingresar en G*Power para este cálculo

1. Selección de prueba — En G*Power, seleccionar: Test family = 't-tests', Statistical test = 'Means: Difference between two independent means (two groups)', Type of power analysis = 'A priori: Compute required sample size'.
2. Parámetros específicos — Ingresar: Effect size d = 0.53, alpha err prob = 0.05, Power (1-beta) = 0.85, Allocation ratio N2/N1 = 1.

→ En G*Power, debes seleccionar prueba t para dos muestras independientes, ingresar tamaño del efecto d=0.53, nivel de significancia alpha=0.05, potencia=0.85, y proporción de asignación 1:1 entre grupos.

Pregunta 2 (4 pts) — Realiza el cálculo paso a paso usando la herramienta (simula la interfaz)

1. Simulación de cálculo — Al ingresar estos parámetros en G*Power, la herramienta calcula el tamaño de muestra total y por grupo. El resultado muestra que se necesitan aproximadamente 102 personas por grupo para alcanzar la potencia deseada.
   $$n\approx 102\text{ por grupo}$$

$$n=102\text{ por grupo}$$

→ G*Power calcula que se necesitan 102 personas por grupo (total 204) para detectar una diferencia de 80 USD con potencia 0.85 y alpha=0.05.

Pregunta 3 (2 pts) — Interpreta el resultado: ¿cuántas personas por grupo necesitas muestrear?

1. Interpretación — El resultado indica que el investigador necesita muestrear al menos 102 jóvenes rurales por grupo (taller vs. control) para tener un 85% de probabilidad de detectar una diferencia real de 80 USD en el ingreso mensual.

$$102\text{ personas por grupo}$$

→ Se necesitan 102 personas por grupo. Esto significa muestrear al menos 102 jóvenes en el grupo de taller y 102 en el grupo control para alcanzar la potencia deseada de 0.85.

Pregunta 1 (3 pts) — Explica por qué el tamaño de muestra es un tema ético en este contexto

1. Explicación ética — El tamaño de muestra determina el equilibrio entre el bienestar de los participantes y la utilidad del estudio. Un tamaño inadecuado puede llevar a resultados no concluyentes que no benefician a las comunidades, violando el principio de beneficencia y justicia.

→ El tamaño de muestra es un tema ético porque determina cuántas personas de las comunidades indígenas serán incluidas en el estudio. Un tamaño inadecuado puede llevar a resultados no concluyentes que no benefician a nadie, o exponer a más personas de las necesarias a molestias y riesgos potenciales, violando principios éticos de justicia y beneficencia.

Pregunta 2 (2 pts) — ¿Qué riesgos éticos existen si el tamaño de muestra es demasiado pequeño?

1. Riesgos de muestra pequeña — Una muestra demasiado pequeña puede llevar a conclusiones erróneas de que el programa no funciona cuando en realidad sí podría ser efectivo. Las comunidades habrán invertido tiempo y recursos sin obtener beneficios claros del estudio.

→ Si el tamaño de muestra es demasiado pequeño, el estudio puede no tener suficiente potencia para detectar un efecto real. Esto lleva a conclusiones erróneas de que 'el programa no funciona' cuando en realidad sí podría ser efectivo. Las comunidades habrán invertido tiempo sin obtener beneficios claros.

Pregunta 3 (2 pts) — ¿Qué riesgos éticos existen si el tamaño de muestra es demasiado grande?

1. Riesgos de muestra grande — Una muestra demasiado grande expone a más participantes de los necesarios a molestias, pérdida de tiempo y posibles riesgos mínimos. En comunidades vulnerables, esto puede erosionar la confianza en la investigación y causar daño innecesario.

→ Si el tamaño de muestra es demasiado grande, se expone a más participantes de los necesarios a molestias, pérdida de tiempo y riesgos mínimos. En comunidades indígenas vulnerables, esto puede causar daño innecesario y erosionar la confianza en los investigadores externos.

Pregunta 4 (3 pts) — Propón una estrategia para equilibrar la necesidad de evidencia estadística con consideraciones éticas en este estudio

1. Estrategia ética — Realizar un cálculo riguroso del tamaño de muestra basado en estudios piloto o literatura previa, usar diseños de muestreo estratificado para incluir a todas las comunidades de manera justa, y establecer un comité de ética local que revise el protocolo. También se puede usar un diseño secuencial donde se analizan los datos intermedios para detener el estudio si se encuentra un efecto claro antes de alcanzar el tamaño de muestra completo.

→ Estrategia: 1) Calcular tamaño de muestra basado en evidencia previa, 2) Usar muestreo estratificado para incluir todas las comunidades, 3) Establecer comité de ética local, 4) Considerar diseño secuencial para análisis intermedios y detener temprano si se encuentra efecto claro.