¿Sabías que una muestra pequeña puede costarte miles? Guía de Anà

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula el tamaño de muestra necesario para cumplir con los requisitos del cliente usando la fórmula $n=\frac{Z^2\cdot p(1-p)}{E^2}$

1. Aplicación de fórmula — Aplicamos la fórmula con los valores dados:
   $$n=\frac{{1.96}^2\cdot 0.45(1-0.45)}{{0.03}^2}$$
2. Cálculo paso a paso — Calculamos primero 1.96² = 3.8416, luego 0.45 × 0.55 = 0.2475, y finalmente dividimos por 0.03² = 0.0009
   $$n=\frac{3.8416\times 0.2475}{0.0009}=1056$$

1056

→ El tamaño de muestra necesario es 1056 personas

Pregunta 2 (1 pts) — Determina si tu muestra piloto de 200 personas es suficiente. Si no, calcula cuántas personas adicionales debes encuestar

1. Comparación con muestra piloto — Tu muestra piloto tiene 200 personas, pero necesitas 1056 personas
   $$1056-200=856$$

856

→ No es suficiente. Necesitas 856 personas adicionales

Pregunta 3 (1 pts) — Si decides usar la muestra recomendada, ¿cuál sería el costo aproximado de la encuesta si cada encuesta cuesta 0.50 USD?

1. Costo de la encuesta — Si cada encuesta cuesta 0.50 USD y necesitas 1056 encuestas:
   $$1056\times 0.50=528$$

$$528\text{ USD}$$

→ El costo sería 528 USD

Pregunta 4 (1 pts) — Explica por qué una muestra pequeña podría costarte miles de dólares en este contexto

1. Explicación conceptual — Una muestra pequeña puede llevar a estimaciones poco precisas. Si hubieras usado solo 200 personas, el margen de error sería mucho mayor (aproximadamente 6.9%), lo que podría llevar a decisiones equivocadas sobre la demanda real de ceviche. Esto podría resultar en sobreproducción (costos de 80 000 USD en ingredientes) o subproducción (pérdida de 100 000 USD en ventas potenciales).

→ Una muestra pequeña aumenta el margen de error, llevando a decisiones comerciales incorrectas que pueden costar miles de dólares en pérdidas o ganancias no realizadas

Pregunta 1 (1 pts) — Plantea las hipótesis nula y alternativa para este problema

1. Hipótesis — Como queremos saber si la ruta Santo Domingo es más rápida, planteamos un test unilateral izquierdo:
   $$H_0:{\mu }_{SD}={\mu }_{Lat}\text{vs}{H}_1:{\mu }_{SD}<{\mu }_{Lat}$$

→ H₀: μ₁ = μ₂ vs H₁: μ₁ < μ₂ (donde μ₁ es la media de la ruta Santo Domingo)

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula el estadístico de prueba t y determina si se rechaza la hipótesis nula

1. Estadístico de prueba — Aplicamos la fórmula para diferencia de medias con σ conocida:
   $$t=\frac{4.8-5.3}{\sqrt{\frac{{1.2}^2}{30}+\frac{{1.2}^2}{30}}}=\frac{-0.5}{0.31}=-1.61$$
2. Valor crítico — Para α = 0.05 y gl = 58, el valor crítico de t es -1.67 (test unilateral izquierdo). Como -1.61 > -1.67, no rechazamos H₀

$$-1.61$$

→ t = -1.61. No se rechaza H₀ al nivel 5%

Pregunta 3 (1 pts) — Calcula la potencia del test para detectar una diferencia de 0.5 horas con los datos actuales

1. Parámetro de no centralidad — Para calcular la potencia, primero encontramos δ:
   $$\delta =\frac{0.5}{1.2\sqrt{\frac{2}{30}}}=1.61$$
2. Cálculo de potencia — La potencia es P(Z < -1.67 - 1.61) = P(Z < -3.28) ≈ 0.0005 (muy baja)
   1 - \beta = P\left(Z < -z_{1-\alpha} - \delta\right) = P(Z < -3.28) \approx 0.0005 ParseError: Unexpected character: '' at position 30: …left(Z < -z_{1-̲\alpha} - \delt…

0.0005

→ La potencia es aproximadamente 0.05% (muy baja)

Pregunta 4 (1 pts) — Interpreta el resultado de la potencia en el contexto del problema

1. Interpretación — Una potencia de 0.05% significa que hay solo un 0.05% de probabilidad de detectrar una diferencia real de 0.5 horas con los datos actuales. Esto explica por qué no encontramos evidencia significativa: el test no tiene suficiente poder para detectar diferencias pequeñas.

→ La baja potencia indica que el test actual no es capaz de detectar diferencias pequeñas pero relevantes, lo que podría llevar a conclusiones erróneas

Pregunta 5 (1 pts) — Si la potencia fuera baja (menos del 80%), ¿qué acción recomendarías para aumentarla?

1. Recomendaciones — Para aumentar la potencia, se recomienda: aumentar el tamaño de muestra (ej: n=100 por ruta), aumentar el nivel de significancia (ej: α=0.10), o buscar una diferencia mínima detectable mayor (ej: 1 hora en lugar de 0.5 horas).

→ Aumentar el tamaño de muestra a 100 por ruta o aumentar α a 0.10

Pregunta 1 (1 pts) — Plantea las hipótesis nula y alternativa

1. Hipótesis — Como queremos detectar un aumento en la proporción de días con aire bueno:
   $$H_0:p=0.65\text{vs}{H}_1:p>0.65$$

→ H₀: p = 0.65 vs H₁: p > 0.65

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula el estadístico Z y determina si se rechaza la hipótesis nula

1. Estadístico Z — Calculamos Z usando la fórmula para proporciones:
   $$Z=\frac{0.733-0.65}{\sqrt{\frac{0.65\times 0.35}{120}}}=\frac{0.083}{0.0438}=1.89$$
2. Decisión — Como 1.89 > 1.645 (valor crítico para α=0.05), rechazamos H₀. Hay suficiente evidencia para afirmar que la proporción ha aumentado

1.89

→ Z = 1.89. Se rechaza H₀ al nivel 5%

Pregunta 3 (1 pts) — Calcula la potencia del test para detectar un aumento del 5%

1. Parámetro de no centralidad — Para p = 0.70, calculamos el denominador:
   $$\sqrt{\frac{0.70\times 0.30}{120}}=0.0418$$
2. Cálculo de potencia — La potencia es: 1 - β = P(Z > 1.645 - (0.70-0.65)/0.0418) = P(Z > 1.645 - 1.20) = P(Z > 0.445) ≈ 0.33
   $$1-\beta =P(Z>1.645-\frac{0.05}{0.0418})=P(Z>0.445)\approx 0.33$$

0.33

→ La potencia es aproximadamente 33%

Pregunta 4 (1 pts) — ¿Qué tipo de error se cometería si concluyes que no hay suficiente evidencia cuando en realidad sí mejoró la calidad del aire?

1. Tipo de error — Si concluyes que no hay suficiente evidencia (no rechazas H₀) cuando en realidad la calidad del aire sí mejoró (H₁ es verdadera), estarías cometiendo un error tipo II (β).

→ Error tipo II (β): no rechazar H₀ cuando H₁ es verdadera

Pregunta 5 (1 pts) — Si la potencia fuera baja, ¿qué tamaño de muestra necesitarías para tener una potencia del 80%?

1. Tamaño de muestra para potencia 80% — Para tener una potencia del 80% (β=0.20) para detectar p=0.70, usamos la fórmula inversa:
   n = \left(\frac{Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta}}{\delta}\right)^2 p(1-p) = \left(\frac{1.645 + 0.84}{0.05}\right)^2 0.70 \times 0.30 = 511 ParseError: Unexpected character: '' at position 22: …eft(\frac{Z_{1-̲\alpha} + Z_{1-…

511

→ Necesitarías una muestra de 511 días

Pregunta 1 (1 pts) — Plantea las hipótesis nula y alternativa para comparar las medias

1. Hipótesis — Como queremos detectar si el programa aumenta los ingresos:
   $$H_0:{\mu }_{trat}\le {\mu }_{cont}\text{vs}{H}_1:{\mu }_{trat}>{\mu }_{cont}$$

→ H₀: μ₁ ≤ μ₂ vs H₁: μ₁ > μ₂

Pregunta 2 (2 pts) — Calcula el estadístico t para muestras independientes (usando varianzas diferentes)

1. Estadístico t — Calculamos t usando la fórmula de Welch:
   $$t=\frac{80}{\sqrt{\frac{{120}^2}{25}+\frac{{150}^2}{25}}}=\frac{80}{\sqrt{576+900}}=\frac{80}{39.2}=2.04$$

2.04

→ t = 2.04

Pregunta 3 (1 pts) — Determina si se rechaza la hipótesis nula

1. Grados de libertad — Calculamos gl usando Welch-Satterthwaite:
   $$gl=\frac{{(576+900)}^2}{\frac{{576}^2}{24}+\frac{{900}^2}{24}}=\frac{2134464}{34560}\approx 62$$
2. Valor crítico — Para α = 0.05 y gl = 62, el valor crítico es aproximadamente 1.67. Como 2.04 > 1.67, rechazamos H₀

→ Se rechaza H₀ (t = 2.04 > 1.67)

Pregunta 4 (1 pts) — Calcula la potencia del test para detectar una diferencia de 60 USD

1. Potencia del test — Para calcular la potencia para δ = 60 USD, usamos la distribución t con gl = 62:
   $$\delta =\frac{60}{135.7\sqrt{\frac{2}{25}}}=1.56$$
2. Cálculo final — La potencia es P(t > 1.67 - 1.56) = P(t > 0.11) ≈ 0.54 (usando tabla t)
   $$1-\beta =P(t_{62}>1.67-1.56)=P(t>0.11)\approx 0.54$$

0.54

→ La potencia es aproximadamente 54%

Pregunta 5 (1 pts) — ¿Qué acción tomarías para aumentar la potencia de este test?

1. Recomendaciones — Para aumentar la potencia, se recomienda: aumentar el tamaño de muestra a 50 por grupo, aumentar α a 0.10, o buscar una diferencia mínima detectable mayor (ej: 100 USD en lugar de 60 USD).

→ Aumentar el tamaño de muestra a 50 por grupo o aumentar α a 0.10

Pregunta 1 (2 pts) — Calcula el tamaño de muestra necesario para un margen de error de 400 turistas

1. Cálculo del tamaño de muestra — Aplicamos la fórmula inversa:
   $$n={\left(\frac{1.96\times 1200}{400}\right)}^2=35$$

35

→ Necesitas una muestra de 35 islas

Pregunta 2 (1 pts) — Si solo puedes encuestar 10 islas, ¿cuál sería el margen de error real?

1. Margen de error con n=10 — Con solo 10 islas, el margen de error sería:
   $$E=\frac{1.96\times 1200}{\sqrt{10}}=744$$

$$744\text{ turistas}$$

→ El margen de error sería 744 turistas (9.3% del promedio)

Pregunta 3 (1 pts) — Explica por qué el margen de error aumenta cuando reduces el tamaño de muestra

1. Explicación conceptual — El margen de error es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de muestra (E ∝ 1/√n). Al reducir n de 35 a 10, el margen de error aumenta porque √10 ≈ 3.16 es mucho menor que √35 ≈ 5.92.

→ El margen de error aumenta porque es proporcional a 1/√n. Con menos datos, la estimación es menos precisa.

Pregunta 4 (1 pts) — ¿Qué tipo de error cometerías si usas una muestra de 10 islas para hacer inferencias sobre todas las islas?

1. Tipo de error — Si usas una muestra de 10 islas para hacer inferencias sobre todas las islas (que son aproximadamente 13 islas grandes + varias pequeñas), estarías cometiendo un error de muestreo. Específicamente, podrías tener un sesgo de selección si las 10 islas seleccionadas no son representativas (ej: todas las islas turísticas y ninguna remota).

→ Error de muestreo o sesgo de selección por no representar todas las islas

Pregunta 5 (1 pts) — Si quisieras reducir el margen de error a 300 turistas sin aumentar el tamaño de muestra, ¿qué podrías hacer?

1. Reducción de margen de error — Para reducir el margen de error a 300 turistas sin aumentar el tamaño de muestra, necesitarías reducir la desviación estándar. Esto se podría lograr estratificando la muestra por tipo de isla (turísticas vs remotas) o por temporada (alta vs baja).

→ Estratificar la muestra por tipo de isla o temporada para reducir la variabilidad