Métodos Cuantitativos en Ecuador Domina los Números en Tu

Pregunta 1 (3 pts) — Calcula la media aritmética de las exportaciones

1. Media aritmética — Sumamos los valores: 12.5 + 8.3 + 6.7 + 4.2 + 3.8 = 35.5. Dividimos entre 5 provincias.
   $$\bar{x}=\frac{35.5}{5}=7.1\text{ millones USD}$$

7.1

→ La media de las exportaciones es 7.1 millones USD

Pregunta 2 (5 pts) — Determina la desviación estándar muestral

1. Desviación estándar — Calculamos las diferencias al cuadrado: (12.5-7.1)²=29.16, (8.3-7.1)²=1.44, (6.7-7.1)²=0.16, (4.2-7.1)²=8.41, (3.8-7.1)²=10.89. Sumamos: 29.16+1.44+0.16+8.41+10.89=50.06. Dividimos entre 4 (n-1).
   $$s^2=\frac{50.06}{4}=12.515$$
2. Raíz cuadrada — Aplicamos raíz cuadrada a la varianza para obtener la desviación estándar.
   $$s=\sqrt{12.515}\approx 3.54\text{ millones USD}$$

3.54

→ La desviación estándar muestral es aproximadamente 3.54 millones USD

Pregunta 3 (4 pts) — Halla el coeficiente de variación e interprétalo

1. Coeficiente de variación — Dividimos la desviación estándar entre la media y multiplicamos por 100%.
   $$CV=\frac{3.54}{7.1}\times 100\%\approx 49.86\%$$

49.9\%

→ El coeficiente de variación es aproximadamente 49.9%

Pregunta 4 (3 pts) — ¿La afirmación del estudiante sobre la dispersión relativa de Guayas es correcta? Explica

1. Interpretación — El coeficiente de variación mide la dispersión relativa. Un CV > 30% indica alta dispersión. Para comparar provincias, calculamos el CV individual de Guayas: $s_{G}uayas$ = 0 (solo un dato), pero en contexto muestral usamos la desviación estándar global. La afirmación es incorrecta porque Guayas no tiene mayor dispersión relativa; de hecho, al ser un valor puntual en la muestra, su dispersión individual es cero.

→ La afirmación es incorrecta. Guayas no tiene mayor dispersión relativa; su valor puntual no aporta a la variabilidad muestral.

Pregunta 1 (4 pts) — Construye la tabla de probabilidades conjuntas

1. Cálculo de probabilidades conjuntas — Para cada isla calculamos la probabilidad de que un turista esté allí Y use transporte terrestre.
   $$P(SantaCruz\cap Terrestre)=0.60\times 0.75=0.45$$
2. Tabla completa — Completamos la tabla con todos los valores: Santa Cruz (0.45), Isabela (0.12), San Cristóbal (0.09).

→ La tabla de probabilidades conjuntas es: Santa Cruz-Terrestre: 0.45, Isabela-Terrestre: 0.12, San Cristóbal-Terrestre: 0.09

Pregunta 2 (3 pts) — Calcula la probabilidad total de que un turista use transporte terrestre

1. Probabilidad total — Sumamos todas las probabilidades conjuntas donde ocurre el evento 'transporte terrestre'.
   $$P(Terrestre)=0.45+0.12+0.09=0.66$$

0.66

→ La probabilidad de que un turista use transporte terrestre es 0.66 o 66%

Pregunta 3 (5 pts) — Aplica la regla de Bayes para encontrar P(Isabela|Terrestre)

1. Aplicación de Bayes — Sustituimos los valores en la fórmula de Bayes para encontrar la probabilidad condicional.
   $$P(Isabela|Terrestre)=\frac{0.40\times 0.30}{0.66}=\frac{0.12}{0.66}\approx 0.1818$$

0.182

→ La probabilidad de que un turista que usa transporte terrestre esté en Isabela es aproximadamente 0.182 o 18.2%

Pregunta 4 (3 pts) — Interpreta el resultado en contexto de turismo en Galápagos

1. Interpretación — Aunque Isabela recibe el 30% de los turistas, solo el 18.2% de quienes usan transporte terrestre están allí. Esto sugiere que los turistas en Isabela prefieren otros medios de transporte.

→ El resultado indica que, aunque Isabela atrae al 30% de los turistas, su proporción entre quienes usan transporte terrestre es menor (18.2%), reflejando preferencias de movilidad en la isla.

Pregunta 1 (2 pts) — Establece las hipótesis nula y alternativa

1. Planteamiento de hipótesis — La hipótesis nula establece que los ingresos en Quito no son mayores que en Guayaquil. La alternativa es que Quito tiene mayores ingresos.

→ H₀: μ₁ ≤ μ₂ vs H₁: μ₁ > μ₂ (prueba de cola derecha)

Pregunta 2 (6 pts) — Calcula el estadístico de prueba t

1. Cálculo de varianza pooled — Sustituimos los valores en la fórmula de varianza combinada.
   $$s_p^2=\frac{(19\times {150}^2)+(24\times {180}^2)}{20+25-2}=\frac{427500+777600}{43}=\frac{1205100}{43}\approx 28025.58$$
2. Estadístico t — Calculamos el estadístico t usando la diferencia de medias y la varianza pooled.
   $$t=\frac{1200-1100}{\sqrt{28025.58(\frac{1}{20}+\frac{1}{25})}}=\frac{100}{\sqrt{28025.58\times 0.09}}=\frac{100}{50.23}\approx 1.99$$

1.99

→ El estadístico de prueba t es aproximadamente 1.99

Pregunta 3 (3 pts) — Determina el valor crítico para α=0.05

1. Valor crítico — Para α=0.05 y gl=43, el valor crítico de la tabla t-Student es aproximadamente 1.68.
   $$t_{cr\acute{ı}tico}\approx 1.68$$

1.68

→ El valor crítico para α=0.05 es aproximadamente 1.68

Pregunta 4 (5 pts) — Calcula el valor p y toma la decisión

1. Valor p — Usando tablas o software, encontramos que para t=1.99 con 43 gl, el valor p está entre 0.025 y 0.05 (aproximadamente 0.027).
   $$p\text{-valor}\approx 0.027$$
2. Decisión — Como p-valor (0.027) < α (0.05), rechazamos H₀.

0.027

→ El valor p es aproximadamente 0.027. Como 0.027 < 0.05, rechazamos H₀.

Pregunta 5 (4 pts) — Interpreta el resultado en contexto económico de las ciudades

1. Interpretación — Rechazar H₀ significa que hay evidencia estadística para afirmar que los ingresos en Quito son mayores que en Guayaquil al 5% de significancia.

→ Existe evidencia estadística (p=0.027 < 0.05) para afirmar que los ingresos mensuales en Quito son significativamente mayores que en Guayaquil.

Pregunta 1 (3 pts) — Calcula la media de x y y

1. Cálculo de medias — Sumamos los valores de turistas (112) y ventas (403), y dividimos entre 6 observaciones.
   $$\bar{x}=\frac{112}{6}\approx 18.67,\bar{y}=\frac{403}{6}\approx 67.17$$

18.67, 67.17

→ La media de turistas es aproximadamente 18.67 mil y la media de ventas es 67.17 mil USD

Pregunta 2 (7 pts) — Determina los coeficientes de la recta de regresión y = a + bx

1. Covarianza y varianza — Calculamos las diferencias, productos y sumas necesarias para la covarianza y varianza.
   $$s_{xy}=\frac{1087.33}{5}=217.47,s_x^2=\frac{174.67}{5}=34.93$$
2. Pendiente b — Dividimos la covarianza entre la varianza de x para obtener la pendiente.
   $$b=\frac{217.47}{34.93}\approx 6.23$$
3. Intercepto a — Usamos la media de y menos b por la media de x.
   $$a=67.17-6.23\times 18.67\approx 67.17-116.21=-49.04$$

$$y=-49.04+6.23x$$

→ La recta de regresión es y = -49.04 + 6.23x

Pregunta 3 (4 pts) — Calcula el coeficiente de correlación r y su interpretación

1. Coeficiente de correlación — Calculamos la desviación estándar de y y luego r.
   $$s_y=\sqrt{\frac{1817.33}{5}}\approx 19.05,r=\frac{217.47}{34.93\times 19.05}\approx 0.998$$

0.998

→ El coeficiente de correlación es aproximadamente 0.998, indicando una relación lineal casi perfecta

Pregunta 4 (3 pts) — Predice las ventas para 30 mil turistas

1. Predicción — Sustituimos x=30 en la ecuación de regresión para predecir y.
   $$y=-49.04+6.23\times 30=-49.04+186.9=137.86$$

137.86

→ Para 30 mil turistas, se predicen ventas de aproximadamente 137.86 mil USD

Pregunta 5 (3 pts) — Evalúa la bondad de ajuste del modelo

1. Bondad de ajuste — Con r² ≈ 0.996, el 99.6% de la variabilidad en ventas se explica por el número de turistas. El modelo tiene un excelente ajuste.
   $$r^2={(0.998)}^2\approx 0.996$$

99.6\%

→ El modelo explica el 99.6% de la variabilidad en ventas, indicando un excelente ajuste

Pregunta 1 (5 pts) — Calcula el margen de error usando la fórmula para población finita

1. Cálculo del margen de error — Sustituimos los valores en la fórmula. Usamos p=0.65 (población finita).
   $$E=1.96\sqrt{\frac{0.65\times 0.35}{400}\left(\frac{5000-400}{5000-1}\right)}=1.96\sqrt{0.00056875\times 0.9202}\approx 1.96\times 0.0229\approx 0.0449$$

4.49\%

→ El margen de error es aproximadamente 4.49%

Pregunta 2 (4 pts) — Determina el intervalo de confianza para la proporción

1. Intervalo de confianza — Sumamos y restamos el margen de error a la proporción muestral.
   $$IC=0.65\pm 0.0449=[0.6051,0.6949]$$

[0.6051, 0.6949]

→ El intervalo de confianza al 95% es [60.51%, 69.49%]

Pregunta 3 (3 pts) — Interpreta el resultado en contexto universitario

1. Interpretación — Con un 95% de confianza, la proporción real de estudiantes satisfechos está entre 60.5% y 69.5%.

→ Podemos afirmar con un 95% de confianza que entre el 60.5% y 69.5% de los estudiantes están satisfechos con los servicios bibliotecarios.

Pregunta 4 (3 pts) — ¿Qué tamaño de muestra se necesitaría para reducir el margen de error a la mitad?

1. Nuevo tamaño de muestra — Despejamos n de la fórmula del margen de error para E=0.02245 (la mitad de 0.0449).
   $$n_{nuevo}=\frac{{1.96}^2\times 0.65\times 0.35\times 5000}{({1.96}^2\times 0.65\times 0.35)+({0.02245}^2\times 4999)}\approx 1600$$

1600

→ Se necesitaría una muestra de aproximadamente 1600 estudiantes para reducir el margen de error a la mitad (2.25%)

Pregunta 1 (2 pts) — Establece las hipótesis para la prueba de chi-cuadrado

1. Hipótesis — La hipótesis nula establece que el tipo de transporte y la percepción de seguridad son independientes.

→ H₀: Las variables son independientes vs H₁: Las variables están relacionadas

Pregunta 2 (4 pts) — Calcula las frecuencias esperadas bajo independencia

1. Frecuencias esperadas — Calculamos cada celda: (105×115)/200=60.375, (105×85)/200=44.625, (95×115)/200=54.625, (95×85)/200=40.375.
   $$E_{11}=60.375,E_{12}=44.625,E_{21}=54.625,E_{22}=40.375$$

→ Las frecuencias esperadas son: Público-Seguro: 60.38, Público-Inseguro: 54.62, Privado-Seguro: 44.62, Privado-Inseguro: 40.38

Pregunta 3 (5 pts) — Determina el estadístico chi-cuadrado

1. Estadístico chi-cuadrado — Calculamos cada término (O-E)²/E y sumamos.
   $${\chi }^2=\frac{{(60-60.375)}^2}{60.375}+\frac{{(45-44.625)}^2}{44.625}+\frac{{(55-54.625)}^2}{54.625}+\frac{{(40-40.375)}^2}{40.375}\approx 0.0023+0.0031+0.0026+0.0035=0.0115$$

0.0115

→ El estadístico chi-cuadrado es aproximadamente 0.0115

Pregunta 4 (3 pts) — Calcula el valor p y toma la decisión

1. Valor p — Para gl=1 y χ²=0.0115, el valor p es muy grande (aproximadamente 0.914).
   $$p\text{-valor}\approx 0.914$$
2. Decisión — Como p-valor (0.914) > α (0.01), no rechazamos H₀.

0.914

→ El valor p es aproximadamente 0.914. Como 0.914 > 0.01, no rechazamos H₀.

Pregunta 5 (1 pts) — Interpreta el resultado en contexto de movilidad urbana

1. Interpretación — No hay evidencia estadística para afirmar que el tipo de transporte está relacionado con la percepción de seguridad en Quito.

→ No existe evidencia estadística (p=0.914 > 0.01) para afirmar que el tipo de transporte influye en la percepción de seguridad en Quito.