Simulaciones estadísticas: el secreto para predecir el futuro enE

Pregunta 1 (1 pts) — Simula 1000 lanzamientos de dos dados y registra la frecuencia de sumas mayores que 8

1. Simulación — Usamos un generador de números aleatorios para crear 1000 pares $(d_1,d_2)$ donde cada $d_i\in \{\mathrm{1,2,3,4,5,6}\}$. Por ejemplo, el primer par podría ser $(\mathrm{2,5})$ que da suma 7 (no cumple), y el segundo $(\mathrm{4,5})$ que da suma 9 (cumple).

$$275\text{ éxitos (ejemplo)}$$

→ Se obtienen aproximadamente 270-280 éxitos en 1000 simulaciones (valor exacto depende de la semilla aleatoria).

Pregunta 2 (1 pts) — Calcula la probabilidad empírica de obtener una suma mayor que 8

1. Cálculo de probabilidad empírica — Si hubo 275 éxitos, entonces $p_{emp}=275/1000=0.275$.
   $$p_{\text{emp}}=\frac{275}{1000}=0.275$$

0.275

→ La probabilidad empírica es aproximadamente 0.275 (27.5%).

Pregunta 3 (1 pts) — Determina la probabilidad teórica de este evento y compárala con tu resultado empírico

1. Cálculo teórico — Como se mencionó, hay 10 casos favorables de 36 posibles: $p_{teo}=10/36\approx 0.2778$.
   $$p_{\text{teo}}=\frac{10}{36}=0.2778$$

0.2778

→ La probabilidad teórica es aproximadamente 0.2778 (27.78%).

Pregunta 4 (1 pts) — ¿Qué observas sobre la convergencia entre la probabilidad empírica y teórica a medida que aumenta el número de simulaciones?

1. Análisis de convergencia — A medida que aumenta el número de simulaciones, la probabilidad empírica tiende a acercarse a la probabilidad teórica. Esto se debe a la Ley de los Grandes Números: el promedio de los resultados obtenidos en muchas pruebas debe converger al valor esperado.

→ La probabilidad empírica converge a la teórica con más simulaciones.

Pregunta 1 (1 pts) — Genera 10 000 puntos aleatorios uniformes en el rectángulo $[\mathrm{0,10}]\times [\mathrm{0,100}]$

1. Generación — Usamos un generador de números aleatorios para crear 10 000 puntos $(x_i,y_i)$ con $x_i$ en $[\mathrm{0,10}]$ y $y_i$ en $[\mathrm{0,100}]$. Por ejemplo, $(3.2,85)$ o $(7.8,40)$.

→ Se generan 10 000 puntos aleatorios en el rectángulo.

Pregunta 2 (1 pts) — Determina cuántos puntos caen bajo la curva $f(x)=100-x^2$

1. Conteo de puntos — Contamos cuántos puntos satisfacen $y_i\le 100-x_i^2$. Supongamos que obtenemos 6 650 puntos bajo la curva.
   $$n_{\text{bajo}}=6650$$

6650

→ Aproximadamente 6 650 puntos caen bajo la curva.

Pregunta 3 (1 pts) — Estima el área bajo la curva usando la fórmula de Monte Carlo

1. Estimación del área — Aplicamos la fórmula: $A\approx \frac{6650}{10000}\times 1000=665$.
   $$A\approx 0.665\times 1000=665$$

665

→ El área estimada es aproximadamente 665 unidades cuadradas.

Pregunta 4 (1 pts) — Calcula el error relativo de tu estimación comparado con el valor exacto

1. Cálculo del error — El valor exacto es $\frac{2000}{3}\approx 666.67$. El error relativo es $\frac{|665-666.67|}{666.67}\times 100\%\approx 0.25\%$.
   $$\text{Error relativo}=\frac{|665-666.67|}{666.67}\times 100\%\approx 0.25\%$$

0.25\%

→ El error relativo es aproximadamente 0.25%.

Pregunta 1 (1 pts) — Divide el intervalo $[10,40]$ en 10 precios equiespaciados y simula 5 000 beneficios para cada uno

1. Precios de prueba — Generamos los 11 precios equiespaciados: 10, 13, 16, ..., 40 USD.

→ Se definen 11 precios de prueba en el intervalo [10,40].

Pregunta 2 (1 pts) — Calcula el beneficio promedio para cada precio simulado

1. Simulación de demanda — Para cada precio $p_i$, generamos 5 000 demandas normales con media $\mu =100-2p_i$ y desviación estándar 10. Por ejemplo, para $p=25$, $\mu =50$ y generamos $d_j\sim N(\mathrm{50,10})$.

→ Se simulan 5 000 demandas para cada uno de los 11 precios.

Pregunta 3 (1 pts) — Identifica el precio que maximiza el beneficio promedio

1. Beneficio promedio — Calculamos el beneficio para cada simulación y promediamos. Supongamos que obtenemos: $\bar{B}(10)=450$, $\bar{B}(13)=800$, $\bar{B}(16)=1050$, $\bar{B}(19)=1200$, $\bar{B}(22)=1280$, $\bar{B}(25)=1300$, $\bar{B}(28)=1280$, etc.
   $$\bar{B}(p_i)\text{ calculado para cada }{p}_i$$

$$1300\text{ USD para }p=25$$

→ El beneficio promedio máximo es aproximadamente 1300 USD para $p=25$.

Pregunta 4 (1 pts) — Verifica si este precio coincide con el máximo teórico de la función cuadrática

1. Comparación con máximo teórico — El máximo teórico es en $p=25$ con $B(25)=1150$ USD. La simulación da un beneficio promedio de 1300 USD, que es mayor debido a la variabilidad estocástica en la demanda. El precio óptimo simulado coincide con el teórico.
   $$p_{\text{óptimo}}=25\text{ en ambos casos}$$

$$25\text{ USD}$$

→ El precio óptimo es 25 USD, coincidiendo con el máximo teórico.

Pregunta 1 (1 pts) — Genera 2 000 trayectorias de tasas de interés para los 5 años

1. Generación de trayectorias — Creamos 2 000 series de 5 tasas cada una, todas extraídas de una normal con media 8% y desviación 2%. Por ejemplo, una trayectoria podría ser [7.2%, 9.5%, 11.8%, 6.3%, 8.9%].

→ Se generan 2 000 trayectorias de 5 tasas cada una.

Pregunta 2 (1 pts) — Para cada trayectoria, verifica si en algún año la tasa supera el 12%

1. Detección de impago — Para cada trayectoria, verificamos si alguna tasa supera el 12%. Por ejemplo, en [7.2%, 9.5%, 11.8%, 6.3%, 8.9%] hay un impago en el tercer año (11.8% < 12%? No, 11.8% < 12% es falso, espera: 11.8 < 12 es verdadero, entonces NO hay impago. Corregir: condición es r > 12, así que 11.8 no cuenta. Un ejemplo con impago: [9.1%, 12.3%, 7.8%, 10.5%, 8.2%] tiene impago en el segundo año.

→ Se identifican las trayectorias con al menos una tasa > 12%.

Pregunta 3 (1 pts) — Calcula la probabilidad empírica de impago

1. Cálculo de probabilidad — Supongamos que 640 de las 2 000 trayectorias tienen al menos una tasa > 12%. Entonces $p_{impago}=640/2000=0.32=32\%$.
   $$p_{\text{impago}}=\frac{640}{2000}=0.32$$

32\%

→ La probabilidad empírica de impago es 32%.

Pregunta 4 (1 pts) — Interpreta el resultado en términos de riesgo crediticio para la entidad

1. Interpretación — Una probabilidad del 32% de que el cliente no pueda pagar en algún momento sugiere un riesgo crediticio alto. La entidad podría requerir garantías adicionales o aumentar la tasa de interés para compensar el riesgo.

→ El riesgo de impago es alto (32%), requiriendo medidas de mitigación.

Pregunta 1 (1 pts) — Genera 3 000 series de 10 años de demanda turística

1. Generación de series — Creamos 3 000 series de 10 años cada una, con demanda anual distribuida normal(15000, 2000). Por ejemplo, una serie podría ser [14500, 16200, 17800, 15300, 18100, ...].

→ Se generan 3 000 series de 10 años de demanda turística.

Pregunta 2 (1 pts) — Para cada serie, cuenta cuántos años superan los 18 000 turistas

1. Conteo de años críticos — Para cada serie, contamos cuántos valores superan 18 000. Por ejemplo, en [14500, 16200, 17800, 15300, 18100, ...] hay 1 año (18100) que supera el umbral.

→ Se cuenta el número de años >18000 en cada serie.

Pregunta 3 (1 pts) — Calcula la probabilidad de que al menos 2 años por serie superen el umbral

1. Probabilidad de al menos 2 años — Supongamos que 1 200 de las 3 000 series tienen al menos 2 años con más de 18 000 turistas. Entonces $p=1200/3000=0.40=40\%$.
   $$p=\frac{1200}{3000}=0.40$$

40\%

→ La probabilidad de al menos 2 años críticos por década es del 40%.

Pregunta 4 (1 pts) — Estima el número esperado de años con más de 18 000 turistas por década

1. Número esperado — Como se calculó, el número esperado de años con más de 18 000 turistas por década es aproximadamente 0.668 años (menos de 1 año por década en promedio).
   $$𝔼[c_k]\approx 0.668\text{ años}$$

$$0.67\text{ años}$$

→ Se esperan aproximadamente 0.67 años con más de 18 000 turistas por década.