Domina métodos cuantitativos: ejercicios prácticos en Ecuador

1. Cálculo de la media — Suma todos los precios y divide entre 10 para obtener el precio promedio.
   $$\bar{x}=\frac{1.80+2.00+1.90+2.10+1.75+2.20+2.30+2.05+2.15+1.95}{10}$$
2. Cálculo de la varianza — Resta la media a cada precio, eleva al cuadrado, suma todos los resultados y divide entre 9 (n-1).
   $$s^2=\frac{\sum {(x_i-\bar{x})}^2}{n-1}$$
3. Desviación estándar — Saca la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar.
   $$s=\sqrt{s^2}$$

$$\bar{x}=2.02\text{USD},s=0.18\text{USD}$$

→ El precio promedio es $2.02USDyladesviaci\acute{o}nest\acute{a}ndares$0.18 USD.

1. Tabla de frecuencias — Organiza los datos en una tabla con las categorías y sus frecuencias absolutas.
2. Cálculo de frecuencias relativas — Para cada categoría, divide la frecuencia absoluta entre 50 y multiplica por 100 para obtener el porcentaje.
   $$h_i=\frac{f_i}{50}\times 100\%$$

→ Bus: 44%, Metro: 16%, Caminata: 20%, Auto: 10%, Bicicleta: 10%.

1. Cálculo de la proporción muestral — Calcula la proporción de turistas en la muestra que visitaron Galápagos.
   $$\hat{p}=\frac{130}{200}=0.65$$
2. Estadístico de prueba — Aplica la fórmula del estadístico z para proporciones.
   $$z=\frac{0.65-0.70}{\sqrt{\frac{0.70\times 0.30}{200}}}$$
3. Decisión — Si |z| > 1.96, rechaza H₀. De lo contrario, no hay suficiente evidencia.

$$z=-1.46$$

→ No hay suficiente evidencia para rechazar la afirmación. El estadístico z es -1.46, que es menor que 1.96 en valor absoluto.

1. Medias de x y y — Calcula la temperatura promedio y las ventas promedio.
   $$\bar{x}=\frac{25+27+24+26+23+29}{6}=25.67\text{°C},\bar{y}=\frac{12+15+10+14+9+18}{6}=13\text{miles USD}$$
2. Cálculo de la pendiente b — Usa la fórmula de la pendiente con las desviaciones.
   $$b=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum {(x_i-\bar{x})}^2}$$
3. Cálculo del intercepto a — Usa la fórmula del intercepto con los valores de b, x̄ e ȳ.
   $$a=\bar{y}-b\bar{x}$$
4. Predicción para 28 °C — Sustituye x = 28 en la ecuación de la recta.
   $$y=a+b\times 28$$

$$y=-12.5+0.95x,y(28)=14.1\text{miles USD}$$

→ La ecuación de la recta es $y=-12.5+0.95x$. Para 28 °C, las ventas predichas son 14.1 miles de USD.

1. Valor crítico t — Para 95% de confianza y 29 grados de libertad, el valor crítico es aproximadamente 2.045.
   $$t_{0.025,29}\approx 2.045$$
2. Margen de error — Calcula el margen de error usando la fórmula.
   $$E=2.045\times \frac{25}{\sqrt{30}}$$
3. Intervalo de confianza — Suma y resta el margen de error a la media muestral.
   $$IC=320\pm E$$

$$[309.8\text{g},330.2\text{g}]$$

→ El intervalo de confianza del 95% para el peso promedio de las mangas es [309.8 g, 330.2 g].

1. Cálculo del promedio móvil — Calcula el promedio móvil para cada mes posible (de marzo a noviembre).
   $$M{A}_3(t)=\frac{y_{t-1}+y_t+y_{t+1}}{3}$$
2. Identificación de picos — Busca los meses con valores de visitantes superiores a 25 mil.
3. Tendencia — Observa si hay un patrón estacional (ej. más visitantes en temporada seca).

→ Los meses con picos de visita son junio (25 mil), julio (30 mil) y agosto (28 mil). El promedio móvil suaviza la serie, mostrando una tendencia creciente hasta julio.

1. Medias de x y y — Calcula la temperatura promedio y las ventas promedio.
   $$\bar{x}=\frac{28+30+26+29+25+31+27+24}{8}=27.5\text{°C},\bar{y}=\frac{150+200+120+180+100+220+140+90}{8}=150\text{USD}$$
2. Cálculo de r — Usa la fórmula del coeficiente de correlación con las desviaciones.
   $$r=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum {(x_i-\bar{x})}^2\sum {(y_i-\bar{y})}^2}}$$
3. Interpretación — Un valor de r cercano a 1 indica una fuerte correlación positiva entre temperatura y ventas.

$$r=0.98$$

→ El coeficiente de correlación es r = 0.98, lo que indica una correlación positiva casi perfecta entre temperatura y ventas de helados.

1. Normalización de notas — Aplica la fórmula z a cada estudiante.
   $$z_A=\frac{85-78}{8},z_B=\frac{88-82}{10}$$
2. Comparación — El estudiante con mayor valor z tuvo mejor rendimiento relativo.

$$z_A=0.875>z_B=0.6$$

→ El estudiante de la Escuela A tiene z = 0.875 y el de la Escuela B tiene z = 0.6. Por lo tanto, el estudiante de la Escuela A tuvo mejor rendimiento relativo.

1. Cálculo de la variación — Aplica la fórmula de variación porcentual.
   $$va{r}_p=\frac{50-45}{45}\times 100\%$$
2. Comparación con inflación — Compara el resultado con el 3.5% de inflación promedio.

$$11.11\%>3.5\%$$

→ La variación porcentual es 11.11%, que supera la inflación promedio del 3.5% en Ecuador.