Modelado de Ecuaciones Estructurales: El GPS de tus Datos en la | ORBITECH

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Conceptos Básicos de SEM

Representación gráfica de componentes SEM definition

Variables latentes: Óvalo Variables observadas: Rectángulo Errores: Flechas bidireccionales

Exemple : En un modelo de rendimiento académico en Quito, 'Habilidad Matemática' es latente (óvalo) y 'Nota en Matemáticas' es observada (rectángulo).

Relación entre variables latentes y observadas law

y = λ \cdot η + ε

Symbole	Signification	Unité
`y`	variable observada Ej. nota en un examen de matemáticas
`\lambda`	carga factorial Fuerza de la relación entre variable latente y observada
`\eta`	variable latente Ej. habilidad matemática no observable
`\varepsilon`	error de medición Variabilidad no explicada por el modelo

Exemple : Si y es la nota en Matemáticas en Guayaquil (escala 0-10), $λ$ =0.90 indica que la habilidad matemática explica el 90% de la varianza en las notas.

Matriz de correlaciones entre variables latentes definition

𝚽 = Corr (𝝃, 𝝃^{T})

Symbole	Signification	Unité
`\boldsymbol{\Phi}`	matriz de correlaciones latentes Matriz simétrica con correlaciones entre variables latentes
`\boldsymbol{\xi}`	vector de variables latentes exógenas Ej. inteligencia y motivación académica

Exemple : En un estudio con estudiantes de Cuenca, $𝚽$ podría mostrar que 'Inteligencia' y 'Motivación' tienen correlación 0.65.

Ecuaciones Estructurales y de Medición

Fórmulas que definen las relaciones entre variables latentes y observadas en modelos SEM

Ecuación estructural general law

𝜼 = 𝐁 𝜼 + 𝚪 𝝃 + 𝜻

Formes alternatives

$η_{i} = b_{i 1} η_{1} + b_{i 2} η_{2} + γ_{i 1} ξ_{1} + ζ_{i}$ — Forma escalar para la i-ésima variable endógena

Symbole	Signification	Unité
`\boldsymbol{\eta}`	variables endógenas latentes Variables explicadas por otras en el modelo, ej. rendimiento académico
`\mathbf{B}`	matriz de coeficientes endógenos Relaciones entre variables endógenas
`\boldsymbol{\xi}`	variables exógenas latentes Variables que explican a las endógenas, ej. inteligencia
`\mathbf{\Gamma}`	matriz de coeficientes exógenos Relaciones entre variables exógenas y endógenas
`\boldsymbol{\zeta}`	término de error estructural Error en la ecuación estructural

Exemple : En Ambato, si $η$ _1 es el rendimiento en Matemáticas y $ξ$ _1 es la inteligencia, $γ$ _{11}=0.75 significa que por cada unidad de inteligencia, el rendimiento aumenta en 0.75 unidades.

Ecuación de medición para variables observadas law

𝐲 = 𝚲_{y} 𝜼 + 𝜺_{y}

Formes alternatives

$y_{j} = λ_{j 1} η_{1} + λ_{j 2} η_{2} + ε_{j}$ — Forma escalar para la j-ésima variable observada

Symbole	Signification	Unité
`\mathbf{y}`	vector de variables observadas Ej. notas en Matemáticas, Lengua, Ciencias
`\mathbf{\Lambda}_y`	matriz de cargas factoriales Relación entre variables latentes y observadas
`\boldsymbol{\eta}`	variables latentes Mismo que en ecuación estructural
`\boldsymbol{\varepsilon}_y`	error de medición Error en la observación

Exemple : Si $y_{1}$ es la nota en Matemáticas en Quito (escala 0-10), $λ$ _{11}=0.85 sugiere que la variable latente 'Habilidad Matemática' explica el 85% de la varianza en las notas.

Matriz de covarianza de errores estructurales definition

Cov (𝜻) = 𝚿

Symbole	Signification	Unité
`\boldsymbol{\Psi}`	matriz de covarianza de errores estructurales Diagonal principal contiene varianzas de errores estructurales

Exemple : En un modelo con dos variables endógenas, $𝚿$ podría ser diag(0.25, 0.30), indicando que los errores tienen varianzas 0.25 y 0.30 respectivamente.

Matrices y Covarianzas

Fórmulas para la estructura de covarianza teórica y muestral en modelos SEM

Matriz de covarianza teórica law

𝚺 = 𝚲_{y} {(𝐈 - 𝐁)}^{- 1} 𝚿 {(𝐈 - 𝐁)}^{- T} 𝚲_{y}^{T} + 𝚯_{ε}

Symbole	Signification	Unité
`\boldsymbol{\Sigma}`	matriz de covarianza poblacional Matriz teórica que el modelo intenta reproducir
`\mathbf{\Lambda}_y`	matriz de cargas factoriales De la ecuación de medición
`\mathbf{I}`	matriz identidad Matriz cuadrada con 1 en la diagonal
`\mathbf{B}`	matriz de coeficientes endógenos De la ecuación estructural
`\boldsymbol{\Psi}`	matriz de covarianza de errores estructurales Cov( $𝜻$ )
`\boldsymbol{\Theta}_\varepsilon`	matriz de covarianza de errores de medición Cov( $𝜺$ _y)

Exemple : Para un modelo con 3 variables observadas y 2 latentes, $𝚺$ sería una matriz 3x3 que el software ajusta a los datos de estudiantes en Cuenca.

Matriz de covarianza muestral definition

𝐒 = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (𝐱_{i} - \overline{𝐱}) {(𝐱_{i} - \overline{𝐱})}^{T}

Symbole	Signification	Unité
`\mathbf{S}`	matriz de covarianza muestral Estimación de $𝚺$ a partir de los datos
`N`	tamaño de la muestra Número de observaciones
`\mathbf{x}_i`	vector de observaciones para la i-ésima unidad Ej. notas de un estudiante en 5 materias
`\bar{\mathbf{x}}`	vector de medias muestrales Promedio de cada variable

Exemple : Con datos de 150 estudiantes de Guayaquil en 4 materias, $𝐒$ sería una matriz 4x4 con varianzas en la diagonal y covarianzas fuera de ella.

Descomposición de la varianza en variables observadas identity

V (y_{j}) = λ_{j 1}^{2} V (η_{1}) + λ_{j 2}^{2} V (η_{2}) + V (ε_{j})

Symbole	Signification	Unité
`V(y_j)`	varianza de la variable observada $y_{j}$ Ej. varianza de notas en Matemáticas
`V(\eta_k)`	varianza de la variable latente $η$ _k Ej. varianza de 'Habilidad Matemática'
`V(\varepsilon_j)`	varianza del error de medición Varianza no explicada

Exemple : Si V( $y_{1}$ )=4.0, $λ$ _{11}=0.80, V( $η$ _1)=3.5, entonces V( $ε$ _1)=4.0 - 0.64*3.5 ≈ 1.76 (44% de varianza no explicada).

Índices de Bondad de Ajuste

Fórmulas para evaluar la calidad del ajuste del modelo SEM a los datos

Índice de Ajuste Comparativo (CFI) approximation

C F I = 1 - \frac{χ_{m o d e l}^{2} - d f_{m o d e l}}{\max (χ_{n u l l}^{2} - d f_{n u l l}, 0)}

Symbole	Signification	Unité
`CFI`	Comparative Fit Index Valores >0.90 indican buen ajuste; >0.95 excelente
`\chi^2_{model}`	chi-cuadrado del modelo propuesto Chi-cuadrado del modelo estimado
`df_{model}`	grados de libertad del modelo df = p(p+1)/2 - q (p=variables observadas, q=parámetros)
`\chi^2_{null}`	chi-cuadrado del modelo nulo Modelo con solo medias y varianzas

Exemple : Para un modelo con $χ$ ^2_{model}=110, d $f_{m o d e l}$ =75, $χ$ ^2_{null}=380, d $f_{n u l l}$ =90: CFI = 1 - (110-75)/(380-90) = 1 - 35/290 ≈ 0.88 → ajuste aceptable.

Raíz del Error Cuadrático Medio de Aproximación (RMSEA) approximation

R M S E A = \sqrt{\max (\frac{χ_{m o d e l}^{2} - d f_{m o d e l}}{(N - 1) \cdot d f_{m o d e l}}, 0)}

Symbole	Signification	Unité
`RMSEA`	Root Mean Square Error of Approximation Valores <0.05 excelente; 0.05-0.08 aceptable; >0.10 pobre
`N`	tamaño de la muestra Número de observaciones
`\chi^2_{model}`	chi-cuadrado del modelo Mismo que en CFI
`df_{model}`	grados de libertad del modelo Mismo que en CFI

Exemple : Con N=180 estudiantes en Quito, $χ$ ^2_{model}=110, d $f_{m o d e l}$ =75: RMSEA = sqrt((110-75)/((180-1)*75)) ≈ sqrt(35/13425) ≈ 0.051 → límite aceptable.

Índice de Ajuste Normalizado (NFI) approximation

N F I = \frac{χ_{n u l l}^{2} - χ_{m o d e l}^{2}}{χ_{n u l l}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`NFI`	Normed Fit Index Valores >0.90 indican buen ajuste
`\chi^2_{null}`	chi-cuadrado del modelo nulo Mismo que en CFI
`\chi^2_{model}`	chi-cuadrado del modelo propuesto Mismo que en CFI

Exemple : Si $χ$ ^2_{null}=400 y $χ$ ^2_{model}=120, NFI = (400-120)/400 = 0.70 → ajuste bajo (se recomienda usar CFI en su lugar).

Software y Aplicaciones en Ecuador

Fórmulas y comandos para implementar SEM en software común, con ejemplos locales

Comando básico en lavaan para modelo estructural definition

modelo < - ’y1   x1 + x2 + x3’

Symbole	Signification	Unité
`y1`	variable endógena observada Ej. nota en Matemáticas (0-10)
`x1, x2, x3`	variables exógenas observadas Ej. horas de estudio, ingresos familiares (USD), nivel educativo de los padres

Exemple : En Quito, podrías modelar: nota $s_{m} a t e s$ ~ hora $s_{e} s t u d i o$ + ingreso $s_{f} a m i l i a$ + educacio $n_{p} a d r e s$

Comando para cargas factoriales en lavaan definition

modelo < - ’f1 =  y1 + y2 + y3’

Symbole	Signification	Unité
`f1`	variable latente Factor no observable, ej. 'Habilidad Matemática'
`y1, y2, y3`	variables observadas Ej. notas en Matemáticas, Física, Química

Exemple : Para medir 'satisfacción con servicios públicos' en Guayaquil: satisfaccion =~ pregunta1 + pregunta2 + pregunta3 + pregunta4

Comando para covarianzas en lavaan definition

modelo < - ’f1    f2’

Symbole	Signification	Unité
`f1, f2`	variables latentes Ej. 'Inteligencia' y 'Motivación'

Exemple : En Cuenca, podrías especificar: habilida $d_{m} a t e m a t i c a$ ~~ motivacio $n_{a} c a d e m i c a$

Comando para guardar resultados en lavaan definition

\text{resultado} <- \text{fita(}\text{modelo,}\text{datos=}\"\") ParseError: Got function '\"' with no arguments as argument to '\"' at position 62: …\text{datos=}\"\̲"̲)

Symbole	Signification	Unité
`resultado`	objeto con resultados del ajuste Contiene CFI, RMSEA, chi-cuadrado, etc.

Exemple : En RStudio, ejecuta: resultado <- fitMeasures(modelo, c('cfi', 'rmsea', 'chisq'))

Conceptos Básicos de SEM

Ecuaciones Estructurales y de Medición

Matrices y Covarianzas

Índices de Bondad de Ajuste

Software y Aplicaciones en Ecuador

Fuentes