Logaritmos y exponentes: la pareja perfecta en Ecuador | ORBITECH

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Propiedades fundamentales de los exponentes

Fórmulas básicas que definen cómo operar con exponentes en cualquier base real positiva.

Definición de potencia entera definition

b^{n} = \underset{n veces}{\underset{⏟}{b \times b \times \dots \times b}} para n \in ℕ

Formes alternatives

$b^{1} = b$ — Caso cuando n = 1
$b^{0} = 1$ — Caso cuando n = 0 (b ≠ 0)

Symbole	Signification	Unité
`b`	base Número real positivo, distinto de cero
`n`	exponente entero Entero positivo o cero ( $b^{0}$ = 1)

Exemple : Calcular $2^{5}$ usando la definición: $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

Producto de potencias con misma base law

b^{m} \times b^{n} = b^{m + n}

Symbole	Signification	Unité
`b`	base Número real positivo
`m`	primer exponente
`n`	segundo exponente

Exemple : Calcular $3^{4} \times 3^{2}$ usando la propiedad: $3^{4} \times 3^{2} = 3^{4 + 2} = 3^{6} = 729$

Potencia de una potencia law

{(b^{m})}^{n} = b^{m \times n}

Symbole	Signification	Unité
`b`	base Número real positivo
`m`	exponente interior
`n`	exponente exterior

Exemple : Simplificar ${(5^{3})}^{2}$ : ${(5^{3})}^{2} = 5^{3 \times 2} = 5^{6} = 15625$

Potencia de un producto law

{(a \times b)}^{n} = a^{n} \times b^{n}

Symbole	Signification	Unité
`a`	primer factor Número real positivo
`b`	segundo factor Número real positivo
`n`	exponente común

Exemple : Desarrollar ${(2 \times 7)}^{3}$ : ${(2 \times 7)}^{3} = 2^{3} \times 7^{3} = 8 \times 343 = 2744$

Cociente de potencias con misma base law

\frac{b^{m}}{b^{n}} = b^{m - n}

Symbole	Signification	Unité
`b`	base Número real positivo distinto de cero
`m`	exponente del numerador
`n`	exponente del denominador

Exemple : Simplificar $\frac{4^{7}}{4^{3}}$ : $\frac{4^{7}}{4^{3}} = 4^{7 - 3} = 4^{4} = 256$

Definición y propiedades de los logaritmos

Fórmulas que definen los logaritmos como inversos de las funciones exponenciales y sus propiedades fundamentales.

Definición de logaritmo definition

\log_{b} (x) = y \Leftrightarrow b^{y} = x

Formes alternatives

$\log_{10} (x) = \log (x)$ — Logaritmo común (base 10)
$\log_{e} (x) = \ln (x)$ — Logaritmo natural (base e ≈ 2.718)

Symbole	Signification	Unité
`b`	base del logaritmo Número real positivo distinto de 1
`x`	argumento Número real positivo
`y`	logaritmo Resultado del logaritmo

Exemple : Calcular $\log_{2} (8)$ : Como $2^{3} = 8$ , entonces $\log_{2} (8) = 3$

Logaritmo de un producto law

\log_{b} (x \times y) = \log_{b} (x) + \log_{b} (y)

Symbole	Signification	Unité
`b`	base Número real positivo distinto de 1
`x`	primer factor Número real positivo
`y`	segundo factor Número real positivo

Exemple : Calcular $\log_{10} (100 \times 1000)$ : $\log_{10} (100000) = \log_{10} (10^{5}) = 5$ y $\log_{10} (100) + \log_{10} (1000) = 2 + 3 = 5$

Logaritmo de un cociente law

\log_{b} (\frac{x}{y}) = \log_{b} (x) - \log_{b} (y)

Symbole	Signification	Unité
`b`	base Número real positivo distinto de 1
`x`	numerador Número real positivo
`y`	denominador Número real positivo

Exemple : Calcular $\log_{2} (\frac{32}{4})$ : $\log_{2} (8) = 3$ y $\log_{2} (32) - \log_{2} (4) = 5 - 2 = 3$

Logaritmo de una potencia law

\log_{b} (x^{n}) = n \times \log_{b} (x)

Symbole	Signification	Unité
`b`	base Número real positivo distinto de 1
`x`	argumento Número real positivo
`n`	exponente Número real

Exemple : Calcular $\log_{5} (125^{2})$ : $\log_{5} (15625) = 6$ y $2 \times \log_{5} (125) = 2 \times 3 = 6$

Cambio de base de logaritmos identity

\log_{b} (x) = \frac{\log_{k} (x)}{\log_{k} (b)} para cualquier k > 0, k \neq 1

Formes alternatives

$\log_{b} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (b)}$ — Usando logaritmo natural
$\log_{b} (x) = \frac{\log (x)}{\log (b)}$ — Usando logaritmo común

Symbole	Signification	Unité
`b`	base original Número real positivo distinto de 1
`x`	argumento Número real positivo
`k`	base nueva Número real positivo distinto de 1 (generalmente 10 o e)

Exemple : Calcular $\log_{2} (100)$ usando cambio de base a base 10: $\log_{2} (100) = \frac{\log (100)}{\log (2)} \approx \frac{2}{0.3010} \approx 6.644$

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Fórmulas para resolver ecuaciones donde la incógnita aparece en el exponente o dentro de un logaritmo.

Ecuación exponencial básica law

b^{x} = c \Rightarrow x = \log_{b} (c)

Symbole	Signification	Unité
`b`	base de la exponencial Número real positivo distinto de 1
`x`	incógnita en el exponente
`c`	valor de la exponencial Número real positivo

Exemple : Resolver $3^{x} = 81$ : $x = \log_{3} (81) = \log_{3} (3^{4}) = 4$

Ecuación logarítmica básica law

\log_{b} (x) = y \Rightarrow x = b^{y}

Symbole	Signification	Unité
`b`	base del logaritmo Número real positivo distinto de 1
`x`	incógnita en el argumento Número real positivo
`y`	valor del logaritmo

Exemple : Resolver $\log_{5} (x) = 3$ : $x = 5^{3} = 125$

Ecuación exponencial con misma base law

a^{f (x)} = a^{g (x)} \Rightarrow f (x) = g (x)

Symbole	Signification	Unité
`a`	base común Número real positivo distinto de 1
`f(x)`	primer exponente como función
`g(x)`	segundo exponente como función

Exemple : Resolver $2^{3 x + 1} = 2^{x + 5}$ : $3 x + 1 = x + 5$ , entonces $2 x = 4$ , $x = 2$

Ecuación logarítmica con misma base law

\log_{b} (f (x)) = \log_{b} (g (x)) \Rightarrow f (x) = g (x)

Symbole	Signification	Unité
`b`	base común Número real positivo distinto de 1
`f(x)`	primer argumento como función Número real positivo
`g(x)`	segundo argumento como función Número real positivo

Exemple : Resolver $\log_{3} (x + 2) = \log_{3} (2 x - 1)$ : $x + 2 = 2 x - 1$ , entonces $x = 3$ (verificar: $x + 2 = 5 > 0$ , $2 x - 1 = 5 > 0$ )

Crecimiento exponencial y decaimiento

Modelos matemáticos para describir fenómenos de crecimiento o decaimiento que siguen un patrón exponencial, muy comunes en problemas de población, finanzas y ciencias.

Crecimiento exponencial law

P (t) = P_{0} \times e^{r t}

Formes alternatives

$P (t) = P_{0} \times {(1 + r)}^{t}$ — Cuando el crecimiento es discreto (interés compuesto anual)

Symbole	Signification	Unité
`P(t)`	población en el tiempo t Número de individuos o unidades
`P_{0}`	población inicial
`r`	tasa de crecimiento relativa Positiva para crecimiento, negativa para decaimiento	1/tiempo
`t`	tiempo transcurrido En años para problemas demográficos	tiempo

Dimensions : $[P] = [P_{0}]$

Exemple : La población de Quito en 2023 era aproximadamente 2.7 millones. Si crece al 2% anual, calcular la población en 2030: $P (7) = 2.7 \times e^{0.02 \times 7} \approx 2.7 \times 1.1503 \approx 3.106$ millones

Decaimiento exponencial law

Q (t) = Q_{0} \times e^{- λ t}

Formes alternatives

$Q (t) = Q_{0} \times {(\frac{1}{2})}^{t / T}$ — Usando vida media T (tiempo para reducir a la mitad)

Symbole	Signification	Unité
`Q(t)`	cantidad en el tiempo t Cantidad de sustancia radiactiva, temperatura, etc.
`Q_{0}`	cantidad inicial
`\lambda`	constante de decaimiento Positiva para decaimiento	1/tiempo
`t`	tiempo transcurrido En años para materiales volcánicos	tiempo

Dimensions : $[Q] = [Q_{0}]$

Exemple : El isótopo radiactivo de potasio-40 tiene una vida media de 1.25 mil millones de años. Si en una muestra volcánica del Cotopaxi hay 100 g inicialmente, ¿cuánto quedará después de 2.5 mil millones de años? $Q (2.5) = 100 \times {(\frac{1}{2})}^{2.5 / 1.25} = 100 \times {(\frac{1}{2})}^{2} = 25$ g

Interés compuesto continuo law

A = P \times e^{r t}

Formes alternatives

$A = P \times {(1 + \frac{r}{n})}^{n t}$ — Interés compuesto n veces por año

Symbole	Signification	Unité
`A`	monto final Cantidad de dinero acumulada	USD
`P`	capital inicial Ejemplo: ahorro en banco	USD
`r`	tasa de interés anual Ejemplo: 5% = 0.05	1/tiempo
`t`	tiempo en años	año

Dimensions : $[A] = [P] = U S D$

Exemple : Si depositas $500 U S D e n u n b a n c o d e G u a y a q u i l c o n 6$ A = 500 \times e^{0.06 \times 10} ≈ 500 \times 1.8221 ≈ 911.05$ USD

Tiempo de duplicación en crecimiento exponencial theorem

t_{d} = \frac{\ln (2)}{r}

Symbole	Signification	Unité
`t_{d}`	tiempo de duplicación Tiempo para que la cantidad se duplique	tiempo
`r`	tasa de crecimiento relativa Positiva para crecimiento	1/tiempo

Dimensions : $[t_{d}] = [t i e m p o]$

Exemple : Si la población de Cuenca crece al 1.5% anual, ¿en cuánto tiempo se duplicará? $t_{d} = \frac{\ln (2)}{0.015} \approx \frac{0.6931}{0.015} \approx 46.21$ años

Aplicaciones prácticas en Ecuador

Fórmulas con ejemplos concretos usando datos reales o aproximados de Ecuador para preparar el examen Ser Bachiller.

Distancia en kilómetros entre ciudades ecuatorianas approximation

d = 1.60934 \times d_{m i l l a s}

Symbole	Signification	Unité
`d`	distancia en kilómetros 1 km = 1000 m	km
`d_{millas}`	distancia en millas 1 milla ≈ 1.60934 km	milla

Dimensions : $[d] = [L]$

Exemple : La distancia aproximada entre Quito y Guayaquil es de 250 millas. Convertir a kilómetros: $d = 1.60934 \times 250 \approx 402.34$ km

Costo de viaje en bus interprovincial law

C = p \times d

Symbole	Signification	Unité
`C`	costo total del viaje Precio total a pagar	USD
`p`	precio por kilómetro Aprox. 0.12 USD/km en buses económicos	USD/km
`d`	distancia del viaje Distancia entre ciudades	km

Dimensions : $[C] = [p] \times [d] = U S D$

Exemple : Viaje de Quito a Cuenca (300 km) en bus económico: $C = 0.12 \times 300 = 36$ USD

Crecimiento de bacterias en alimentos law

N (t) = N_{0} \times 2^{t / T}

Formes alternatives

$N (t) = N_{0} \times e^{k t}$ — Modelo continuo con k = ln(2)/T

Symbole	Signification	Unité
`N(t)`	número de bacterias en el tiempo t Cantidad de bacterias
`N_{0}`	número inicial de bacterias Ejemplo: 100 bacterias
`t`	tiempo en horas	hora
`T`	tiempo de duplicación Para bacterias comunes: 20-30 minutos	hora

Dimensions : $[N] = [N_{0}]$

Exemple : Si en un alimento hay inicialmente 50 bacterias y se duplican cada 30 minutos, ¿cuántas habrá después de 3 horas? $N (3) = 50 \times 2^{3 / 0.5} = 50 \times 2^{6} = 50 \times 64 = 3200$ bacterias

Escala Richter para terremotos definition

M = \log_{10} (\frac{A}{A_{0}})

Symbole	Signification	Unité
`M`	magnitud en escala Richter Valor adimensional
`A`	amplitud máxima de las ondas sísmicas Medida por sismógrafos	m
`A_{0}`	amplitud de referencia A0 = 1 micra = 10^{-6} m	m

Exemple : Si un sismógrafo registra una amplitud de 10 mm (0.01 m) y A0 = 10^{-6} m, calcular la magnitud: $M = \log_{10} (0.01 / 10^{- 6}) = \log_{10} (10^{4}) = 4$ en escala Richter

Propiedades fundamentales de los exponentes

Definición y propiedades de los logaritmos

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Crecimiento exponencial y decaimiento

Aplicaciones prácticas en Ecuador

Fuentes