Fórmulas Clave en Métodos Cuantitativos Ecuador Domínalas Ya | ORBITECH

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Tamaño de muestra y margen de error

Fórmulas para calcular el número de participantes en estudios cuantitativos y el margen de error aceptable.

Fórmula de Cochran para tamaño de muestra approximation

n = \frac{Z^{2} \cdot p \cdot q \cdot N}{e^{2} (N - 1) + Z^{2} \cdot p \cdot q}

Formes alternatives

$n = \frac{Z^{2} \cdot p \cdot q}{e^{2}} (cuando N es muy grande)$ — Aproximación válida cuando la población es infinita o N > 100 000

Symbole	Signification	Unité
`n`	tamaño de muestra Número de personas a encuestar
`Z`	valor Z para el nivel de confianza Para 95% de confianza, Z = 1.96; para 99%, Z = 2.58
`p`	proporción esperada Si no hay estimación previa, usar p = 0.5 (máxima variabilidad)
`q`	1 - p
`N`	población total Ejemplo: población de Quito ≈ 2 700 000 habitantes
`e`	margen de error Generalmente 0.05 (5%) o 0.03 (3%)

Exemple : Para una encuesta en Quito sobre transporte público con N = 2 700 000 habitantes, p = 0.5, confianza 95% (Z=1.96) y margen de error 5% (e=0.05), el tamaño de muestra es n ≈ 384 personas.

Margen de error para proporciones definition

e = Z \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}

Symbole	Signification	Unité
`e`	margen de error Valor entre 0 y 1
`Z`	valor Z para el nivel de confianza 1.96 para 95% de confianza
`p`	proporción observada Ejemplo: 0.6 si el 60% de la muestra usa bus
`q`	1 - p
`n`	tamaño de la muestra Ejemplo: 400 personas

Exemple : Si en una muestra de n = 400 personas en Guayaquil, el 60% prefiere el bus (p=0.6), el margen de error para 95% de confianza es e ≈ 0.048 (4.8%).

Fórmula simplificada de tamaño de muestra (p=0.5) approximation

n = \frac{1}{e^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`n`	tamaño de muestra mínimo Cuando p=0.5 y N es muy grande
`e`	margen de error Ejemplo: e = 0.05 para 5%

Exemple : Para un margen de error de 5% (e=0.05), el tamaño de muestra mínimo es n = 1/(0.05)^2 = 400 personas.

Estadística descriptiva

Medidas centrales y de dispersión para resumir datos numéricos.

Media aritmética definition

\overline{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}

Symbole	Signification	Unité
`x̄`	media aritmética Promedio de los datos
`x_i`	valor i-ésimo de la muestra Ejemplo: precio del pan en USD
`n`	tamaño de la muestra Número de observaciones

Exemple : En un mercado de Cuenca, los precios del pan (en USD) son: 0.40, 0.45, 0.50, 0.42, 0.48. La media es x̄ = (0.40+0.45+0.50+0.42+0.48)/5 = 0.45 USD.

Desviación estándar muestral definition

s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n - 1}}

Symbole	Signification	Unité
`s`	desviación estándar muestral Mide la dispersión de los datos
`x_i`	valor i-ésimo
`x̄`	media muestral
`n`	tamaño de la muestra

Exemple : Usando los precios de pan en Cuenca (0.40, 0.45, 0.50, 0.42, 0.48), la desviación estándar es s ≈ 0.041 USD.

Coeficiente de variación definition

C V = \frac{s}{\overline{x}} \times 100 %

Symbole	Signification	Unité
`CV`	coeficiente de variación Porcentaje que mide la dispersión relativa	%
`s`	desviación estándar
`x̄`	media

Exemple : Para los precios de pan en Cuenca (x̄=0.45 USD, s=0.041 USD), CV = (0.041/0.45)×100 ≈ 9.1%.

Correlación y regresión lineal

Medidas de asociación lineal y modelos predictivos entre variables cuantitativas.

Coeficiente de correlación de Pearson definition

r = \frac{n (\sum x_{i} y_{i}) - (\sum x_{i}) (\sum y_{i})}{\sqrt{[n \sum x_{i}^{2} - {(\sum x_{i})}^{2}] [n \sum y_{i}^{2} - {(\sum y_{i})}^{2}]}}

Symbole	Signification	Unité
`r`	coeficiente de correlación de Pearson Varía entre -1 y 1
`x_i`	valor de la variable independiente Ejemplo: temperatura en °C
`y_i`	valor de la variable dependiente Ejemplo: consumo de energía en kWh
`n`	tamaño de la muestra

Exemple : En Guayaquil, para 5 días con temperaturas (22, 24, 26, 28, 30)°C y consumo eléctrico (15, 18, 20, 22, 25) kWh, r ≈ 0.99 (correlación positiva casi perfecta).

Recta de regresión lineal law

y = a + b x

Formes alternatives

$y - \overline{y} = b (x - \overline{x})$ — Forma centrada en la media, útil para cálculos manuales

Symbole	Signification	Unité
`y`	variable dependiente Valor predicho
`x`	variable independiente Ejemplo: temperatura
`a`	ordenada al origen Valor de y cuando x=0
`b`	pendiente Cambio en y por unidad de x

Exemple : Para los datos de Guayaquil, la recta de regresión es y = 1.5 + 0.5x, donde y es consumo en kWh y x es temperatura en °C.

Cálculo de la pendiente (b) definition

b = \frac{n (\sum x_{i} y_{i}) - (\sum x_{i}) (\sum y_{i})}{n (\sum x_{i}^{2}) - {(\sum x_{i})}^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`b`	pendiente Ejemplo: 0.5 kWh/°C
`x_i`	variable independiente
`y_i`	variable dependiente
`n`	tamaño de la muestra

Exemple : Con los datos de Guayaquil, b = 5/10 = 0.5 kWh por cada °C de aumento.

Probabilidad y distribuciones

Modelos matemáticos para describir la incertidumbre en datos cuantitativos.

Distribución normal estándar (Z) definition

Z = \frac{X - μ}{σ}

Symbole	Signification	Unité
`Z`	valor estandarizado Número de desviaciones estándar desde la media
`X`	valor observado Ejemplo: temperatura de 18°C en la Sierra
`μ`	media poblacional Promedio histórico en la Sierra: 15°C	°C
`σ`	desviación estándar poblacional Desviación típica: 3°C	°C

Exemple : En la Sierra ecuatoriana, para X=18°C, μ=15°C y σ=3°C, Z = (18-15)/3 = 1. Esto significa 1 desviación estándar por encima de la media.

Distribución binomial law

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}

Symbole	Signification	Unité
`P(X=k)`	probabilidad de k éxitos Valor entre 0 y 1
`n`	número de ensayos Ejemplo: 10 lanzamientos de moneda
`k`	número de éxitos Ejemplo: 7 caras
`p`	probabilidad de éxito Ejemplo: 0.5 para moneda justa

Exemple : La probabilidad de obtener exactamente 6 caras en 10 lanzamientos de una moneda justa (p=0.5) es P(X=6) ≈ 0.205.

Distribución de Poisson law

P (X = k) = \frac{e^{- λ} λ^{k}}{k!}

Symbole	Signification	Unité
`P(X=k)`	probabilidad de k eventos Valor entre 0 y 1
`λ`	tasa media de eventos Ejemplo: 3 buses por hora en una ruta
`k`	número de eventos Ejemplo: 5 buses en una hora
`e`	constante de Euler e ≈ 2.71828

Exemple : Si en Ambato pasan en promedio λ=4 buses por hora, la probabilidad de que pasen exactamente 2 buses en una hora es P(X=2) ≈ 0.147.

Pruebas de hipótesis

Métodos para tomar decisiones estadísticas sobre parámetros poblacionales.

Estadístico Z para proporciones definition

z = \frac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} (1 - p_{0})}{n}}}

Symbole	Signification	Unité
`z`	valor Z calculado Se compara con valores críticos de la tabla Z
`p̂`	proporción muestral Ejemplo: 0.55 en una muestra
`p_0`	proporción hipotética Ejemplo: 0.50 (hipótesis nula)
`n`	tamaño de la muestra Ejemplo: 400 personas

Exemple : En Cuenca, si en una muestra de n=400 personas, 220 usan transporte público (p̂=0.55) y se hipotiza que p0=0.50, entonces z = (0.55-0.50)/√(0.50×0.50/400) = 2.0.

Estadístico t para medias (muestra pequeña) definition

t = \frac{\overline{x} - μ_{0}}{s / \sqrt{n}}

Symbole	Signification	Unité
`t`	valor t calculado Se compara con valores críticos de la tabla t
`x̄`	media muestral Ejemplo: consumo de agua en litros
`μ0`	media hipotética Valor bajo la hipótesis nula
`s`	desviación estándar muestral
`n`	tamaño de la muestra Ejemplo: 25 hogares

Exemple : En un estudio en Quito con n=25 hogares, x̄=120 litros de agua, s=15 litros y μ0=110 litros, el estadístico t = (120-110)/(15/√25) = 3.33.

Valor p para prueba de dos colas definition

p = 2 \cdot P (Z > | z |)

Symbole	Signification	Unité
`p`	valor p Probabilidad de observar un resultado tan extremo o más
`z`	valor absoluto del estadístico Z Ejemplo: \|z\| = 2.0

Exemple : Si z=2.0 en una prueba de dos colas, el valor p ≈ 2×0.0228 = 0.0456 (4.56%).

Tamaño de muestra y margen de error

Estadística descriptiva

Correlación y regresión lineal

Probabilidad y distribuciones

Pruebas de hipótesis

Fuentes