Diseño Experimental en Ecuador: Fórmulas Clave para Investigar | ORBITECH

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Conceptos Fundamentales del DOE

Variables clave y su relación en cualquier diseño experimental

Relación entre variables independientes y dependientes definition

Y = f (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{k}) + ε

Formes alternatives

$E (Y) = f (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{k})$ — Valor esperado de la respuesta sin considerar el error

Symbole	Signification	Unité
`Y`	variable dependiente o respuesta Variable que se mide para evaluar el efecto de los tratamientos (ej: rendimiento de café en kg/ha)
`X_i`	variables independientes o factores Variables controladas por el investigador (ej: tipo de fertilizante, cantidad de agua)
`\varepsilon`	error experimental Variación no explicada por el modelo, incluye error aleatorio y efectos no controlados

Exemple : En un experimento con plátanos en Los Bancos, $Y$ = rendimiento en kg/planta, $X_{1}$ = tipo de fertilizante (1=orgánico, 0=químico), $X_{2}$ = cantidad de agua (1=alta, 0=baja)

Número de tratamientos en diseño factorial law

t = \prod_{i = 1}^{k} L_{i}

Symbole	Signification	Unité
`t`	número total de tratamientos Combinaciones únicas de niveles de todos los factores
`k`	número de factores Cantidad de variables independientes estudiadas
`L_i`	número de niveles del factor i Ej: 2 niveles para fertilizante (orgánico/químico), 2 para agua (alta/baja)

Exemple : En un experimento con 2 factores (fertilizante y agua), cada uno con 2 niveles, $t = 2 \times 2 = 4$ tratamientos. Ejemplo: (orgánico, alta), (orgánico, baja), (químico, alta), (químico, baja)

Número total de corridas experimentales law

N = t \times n

Symbole	Signification	Unité
`N`	número total de corridas Total de mediciones a realizar
`n`	número de réplicas por tratamiento Repeticiones de cada combinación de tratamientos

Exemple : Para 4 tratamientos con 3 réplicas cada uno, $N = 4 \times 3 = 12$ corridas. En un cultivo de cacao en Esmeraldas, cada réplica = 10 plantas

Diseño Factorial Completo 2^k

Fórmulas para analizar efectos principales e interacciones en diseños con k factores a 2 niveles cada uno

Efecto principal de un factor law

E_{i} = \frac{2}{n \cdot 2^{k - 1}} \sum_{j = 1}^{2^{k - 1}} (Y_{i +}^{j} - Y_{i -}^{j})

Formes alternatives

$E_{i} = {\overline{Y}}_{i +} - {\overline{Y}}_{i -}$ — Expresión simplificada usando medias

Symbole	Signification	Unité
`E_i`	efecto principal del factor i Cambio promedio en la respuesta al pasar del nivel bajo al alto del factor i
`Y_{i+}^{j}`	suma de respuestas en nivel alto del factor i para réplica j
`Y_{i-}^{j}`	suma de respuestas en nivel bajo del factor i para réplica j
`n`	número de réplicas por tratamiento
`k`	número total de factores

Exemple : En un experimento con café en Loja (2 factores: fertilizante y agua, 3 réplicas): Si $Y_{f e r t i l i z a n t e +, 1} = 5.2$ , $Y_{f e r t i l i z a n t e -, 1} = 4.8$ , entonces $E_{f e r t i l i z a n t e} = 5.2 - 4.8 = 0.4$ kg/planta

Efecto de interacción entre dos factores law

E_{i j} = \frac{1}{n \cdot 2^{k - 2}} \sum_{m = 1}^{2^{k - 2}} (Y_{i + j +}^{m} - Y_{i + j -}^{m} - Y_{i - j +}^{m} + Y_{i - j -}^{m})

Symbole	Signification	Unité
`E_{ij}`	efecto de interacción entre factores i y j Indica si el efecto de un factor depende del nivel del otro factor
`Y_{i+j+}^{m}`	respuesta cuando ambos factores están en nivel alto para réplica m

Exemple : Para café en Loja con factores A (fertilizante) y B (agua): Si $Y_{A + B +} = 6.1$ , $Y_{A + B -} = 5.2$ , $Y_{A - B +} = 5.5$ , $Y_{A - B -} = 4.8$ , entonces $E_{A B} = (6.1 - 5.2 - 5.5 + 4.8) / 2 = 0.1$ kg/planta

Número de corridas en diseño factorial 2^k sin réplicas law

N = 2^{k}

Symbole	Signification	Unité
`N`	número de corridas Total de combinaciones únicas

Exemple : Para 3 factores (ej: fertilizante, agua, densidad de siembra), $N = 2^{3} = 8$ corridas. En un invernadero de Ambato, cada corrida = 100 plantas

Análisis de Varianza (ANOVA)

Descomposición de la variabilidad total y prueba de hipótesis para efectos significativos

Descomposición de la varianza total identity

S C T = S C T r + S C e

Symbole	Signification	Unité
`SCT`	suma de cuadrados total Variabilidad total en los datos
`SCTr`	suma de cuadrados de tratamientos Variabilidad explicada por los tratamientos
`SCe`	suma de cuadrados del error Variabilidad no explicada (error experimental)

Exemple : En un experimento con 3 tratamientos de cacao en Esmeraldas: Si $S C T = 12.5$ , $S C T r = 9.8$ , entonces $S C e = 12.5 - 9.8 = 2.7$ (unidades al cuadrado)

Suma de cuadrados de tratamientos (diseño de un factor) law

S C T r = n \sum_{i = 1}^{t} {({\overline{Y}}_{i .} - {\overline{Y}}_{. .})}^{2}

Symbole	Signification	Unité
`n`	número de réplicas por tratamiento
`t`	número de tratamientos
`\bar{Y}_{i.}`	media del tratamiento i
`\bar{Y}_{..}`	media general

Exemple : Para 3 tratamientos de cacao con 4 réplicas cada uno: Si medias son 5.2, 6.1 y 4.8 kg/planta, y media general es 5.37, entonces $S C T r = 4 [{(5.2 - 5.37)}^{2} + {(6.1 - 5.37)}^{2} + {(4.8 - 5.37)}^{2}] = 4.53$

Estadístico F para ANOVA law

F = \frac{S C T r / g l_{T r}}{S C e / g l_{e}}

Symbole	Signification	Unité
`F`	estadístico F Valor calculado para comparar varianzas
`gl_{Tr}`	grados de libertad de tratamientos g $l_{T r}$ = t - 1
`gl_{e}`	grados de libertad del error g $l_{e}$ = t(n - 1)

Exemple : Con $S C T r = 4.53$ , $g l_{T r} = 2$ , $S C e = 2.7$ , $g l_{e} = 9$ , entonces $F = (4.53 / 2) / (2.7 / 9) = 7.55$ . Comparar con valor crítico F(2,9)≈4.26 para α=0.05

Control de Variables Extrañas

Técnicas para aislar el efecto de los factores de estudio de otras influencias

Diseño de bloques aleatorizados identity

S C T = S C B + S C T r + S C e

Symbole	Signification	Unité
`SCB`	suma de cuadrados de bloques Variabilidad explicada por los bloques homogéneos
`b`	número de bloques Grupos homogéneos de unidades experimentales

Exemple : En un experimento con plátanos en Quevedo: Si $S C T = 15.2$ , $S C B = 8.7$ (por diferencias de suelo entre parcelas), $S C T r = 4.5$ , entonces $S C e = 15.2 - 8.7 - 4.5 = 2.0$

Cuadrado latino básico law

Y_{i j (k)} = μ + α_{i} + β_{j} + τ_{k} + ε_{i j (k)}

Symbole	Signification	Unité
`Y_{ij(k)}`	respuesta en fila i, columna j, tratamiento k
`\alpha_i`	efecto de la fila i Variabilidad entre filas (ej: diferentes lotes de suelo)
`\beta_j`	efecto de la columna j Variabilidad entre columnas (ej: gradiente de luz)
`\tau_k`	efecto del tratamiento k Efecto del factor de estudio
`\mu`	media general

Exemple : En un invernadero de Cuenca con 3 tratamientos (A,B,C) y 3 bloques: $Y_{11 (A)} = μ + α_{1} + β_{1} + τ_{A} + ε$

Asignación aleatoria en bloques law

P (unidad recibe tratamiento k) = \frac{1}{t}

Symbole	Signification	Unité
`t`	número de tratamientos Cada unidad en un bloque tiene igual probabilidad de recibir cualquier tratamiento

Exemple : En un bloque de 10 plantas de cacao en Santo Domingo, cada planta tiene 1/3 de probabilidad de recibir tratamiento A, B o C

Tamaño de Muestra y Réplicas

Fórmulas para determinar el número óptimo de réplicas y tamaño de muestra

Número de réplicas para un efecto mínimo detectable approximation

n = {(\frac{Z_{α / 2} \cdot σ}{E})}^{2}

Symbole	Signification	Unité
`n`	número de réplicas por tratamiento Repeticiones necesarias para detectar un efecto de tamaño E
`Z_{\alpha/2}`	valor Z para nivel de confianza 1-α Z=1.96 para α=0.05 (95% confianza)
`\sigma`	desviación estándar esperada Variabilidad típica de la respuesta (ej: rendimiento de café)
`E`	efecto mínimo detectable Diferencia mínima que se quiere detectar entre tratamientos

Exemple : Para detectar una diferencia de 0.5 kg/planta en rendimiento de cacao con σ=0.3 kg y α=0.05: $n = {(1.96 \times 0.3 / 0.5)}^{2} \approx 1.39 \to 2$ réplicas por tratamiento

Margen de error para media muestral law

E = Z_{α / 2} \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}}

Symbole	Signification	Unité
`E`	margen de error Precisión de la estimación de la media
`n`	tamaño de muestra total Número total de unidades experimentales

Exemple : Con σ=0.3 kg/planta, n=12 plantas y Z=1.96: $E = 1.96 \times 0.3 / \sqrt{12} \approx 0.17$ kg/planta. La media estimada estará dentro de ±0.17 kg del valor real

Potencia estadística para ANOVA law

ϕ = \sqrt{\frac{n \cdot \sum_{i = 1}^{t} {(τ_{i} - \overline{τ})}^{2}}{t \cdot σ^{2}}}

Symbole	Signification	Unité
`\phi`	parámetro de no centralidad Mide la separación entre tratamientos
`\tau_i`	efecto del tratamiento i Diferencia del tratamiento i respecto a la media general
`\sigma^2`	varianza del error Varianza no explicada por el modelo

Exemple : Para 3 tratamientos con efectos τ1=0.5, τ2=0, τ3=-0.5, σ=0.3, n=4: $ϕ = \sqrt{(4 \times (0.25 + 0 + 0.25)) / (3 \times 0.09)} = 1.92$ . Potencia ≈ 0.85 (usar tabla de potencia)

Conceptos Fundamentales del DOE

Diseño Factorial Completo 2^k

Análisis de Varianza (ANOVA)

Control de Variables Extrañas

Tamaño de Muestra y Réplicas

Fuentes