Cómo viaja el sonido en Guatemala: ondas que llenan tu día a día

1. Datos — Tenemos la temperatura del aire en la Ciudad de Guatemala: $T=22\text{°C}$.
2. Fórmula — Usamos la fórmula aproximada para la velocidad del sonido en aire: $v=331+0.6\cdot T$.
   $$v=331+0.6\cdot T$$
3. Sustitución — Sustituimos $T=22$ en la fórmula.
   $$v=331+0.6\cdot 22$$
4. Cálculo — Realizamos la multiplicación y la suma: $0.6\cdot 22=13.2$, luego $331+13.2=344.2$.
   $$v=331+13.2=344.2\text{ m/s}$$

$$344.2\text{m/s}$$

→ La velocidad del sonido en la Ciudad de Guatemala es de 344.2 metros por segundo.

1. Datos — Tiempo del eco: $t=0.6\text{ s}$. Velocidad del sonido: $v=344.2\text{ m/s}$ (del ejercicio anterior).
2. Distancia total — El sonido viaja hasta la pared y regresa, por lo que la distancia total recorrida es $d_{total}=v\cdot t$.
   $$d_{total}=v\cdot t$$
3. Cálculo de distancia total — Sustituimos los valores: $d_{total}=344.2\cdot 0.6=206.52\text{ m}$.
   $$d_{total}=344.2\cdot 0.6=206.52\text{m}$$
4. Distancia a la pared — Como el sonido viaja ida y vuelta, la distancia a la pared es la mitad de la distancia total: $d=d_{total}/2$.
   $$d=\frac{206.52}{2}=103.26\text{m}$$

$$103.26\text{m}$$

→ La pared del Mercado Central está a 103.26 metros del vendedor.

1. Conversión de unidades — Convertimos 40 km a metros: $40\text{ km}=40000\text{ m}$.
   $$40\text{km}=40000\text{m}$$
2. Fórmula de velocidad — La velocidad se calcula como $v=d/t$.
   $$v=\frac{d}{t}$$
3. Sustitución — Sustituimos $d=40000\text{ m}$ y $t=120\text{ s}$.
   $$v=\frac{40000}{120}$$
4. Cálculo — Realizamos la división: $40000/120=333.33\text{ m/s}$.
   $$v=333.33\text{m/s}$$
5. Comparación — La velocidad calculada (333.33 m/s) es menor que la velocidad a 22°C (344.2 m/s). Esto se debe a que la temperatura en la zona del volcán (más alta en altitud) es menor, reduciendo la velocidad del sonido.

$$333.33\text{m/s}$$

→ La velocidad promedio del sonido fue de 333.33 metros por segundo, menor que en la capital debido a la menor temperatura en la zona del volcán.

1. Fórmula de longitud de onda — La longitud de onda se calcula con $\lambda =v/f$.
   $$\lambda =\frac{v}{f}$$
2. Longitud de onda para 110 Hz — Sustituimos $v=344.2\text{ m/s}$ y $f=110\text{ Hz}$.
   $${\lambda }_1=\frac{344.2}{110}$$
3. Cálculo para 110 Hz — Realizamos la división: $344.2/110=3.13\text{ m}$.
   $${\lambda }_1=3.13\text{m}$$
4. Longitud de onda para 1320 Hz — Sustituimos $f=1320\text{ Hz}$.
   $${\lambda }_2=\frac{344.2}{1320}$$
5. Cálculo para 1320 Hz — Realizamos la división: $344.2/1320=0.26\text{ m}$.
   $${\lambda }_2=0.26\text{m}$$

$${\lambda }_1=3.13\text{m},{\lambda }_2=0.26\text{m}$$

→ La longitud de onda para 110 Hz es 3.13 metros y para 1320 Hz es 0.26 metros.

1. Relación de velocidades — Como el tiempo es el mismo, la relación de velocidades es igual a la relación de distancias: $r=v_{agua}/v_{aire}=d_{agua}/d_{aire}$.
   $$r=\frac{v_{agua}}{v_{aire}}=\frac{d_{agua}}{d_{aire}}$$
2. Sustitución — Sustituimos las distancias: $d_{agua}=1500\text{ m}$ y $d_{aire}=500\text{ m}$.
   $$r=\frac{1500}{500}$$
3. Cálculo — Realizamos la división: $1500/500=3$.
   $$r=3$$

$$3$$

→ La velocidad del sonido en el agua es 3 veces mayor que en el aire en este contexto.

1. Distancia al punto más lejano — El punto más lejano desde el centro de la plaza es una esquina. Usamos el teorema de Pitágoras: $d_{esquina}=\sqrt{{(L/2)}^2+{(A/2)}^2}$.
   $$d_{esquina}=\sqrt{{\left(\frac{80}{2}\right)}^2+{\left(\frac{50}{2}\right)}^2}=\sqrt{{40}^2+{25}^2}$$
2. Cálculo de la esquina — Calculamos: ${40}^2=1600$, ${25}^2=625$, entonces $d_{esquina}=\sqrt{1600+625}=\sqrt{2225}=47.17\text{ m}$.
   $$d_{esquina}=\sqrt{2225}=47.17\text{m}$$
3. Condición de intensidad — Para que la intensidad sea al menos el 50% de la inicial, la distancia $d$ al altavoz debe cumplir $d\le d_{esquina}/\sqrt{2}$, ya que $I\propto 1/d^2$.
   $$d\le \frac{d_{esquina}}{\sqrt{2}}$$
4. Cálculo de distancia mínima — Sustituimos: $d\le 47.17/1.414=33.36\text{ m}$.
   $$d\le \frac{47.17}{1.414}=33.36\text{m}$$

$$33.36\text{m}$$

→ Los altavoces deben colocarse a una distancia mínima de 33.36 metros del centro de la plaza para garantizar la intensidad requerida.

1. Distancia total recorrida — El sonido viaja hasta el fondo y regresa, por lo que la distancia total es $d_{total}=v\cdot t$.
   $$d_{total}=v\cdot t$$
2. Sustitución — Sustituimos $v=340\text{ m/s}$ y $t=2.4\text{ s}$.
   $$d_{total}=340\cdot 2.4$$
3. Cálculo de distancia total — Realizamos la multiplicación: $340\cdot 2.4=816\text{ m}$.
   $$d_{total}=816\text{m}$$
4. Profundidad del cañón — Como el sonido viaja ida y vuelta, la profundidad es la mitad de la distancia total: $h=d_{total}/2$.
   $$h=\frac{816}{2}=408\text{m}$$

$$408\text{m}$$

→ La profundidad del cañón es de 408 metros.

1. Tiempo para la banda A — Calculamos $t_A=d_A/v$.
   $$t_A=\frac{d_A}{v}=\frac{40}{343}$$
2. Cálculo de $t_A$ — Realizamos la división: $40/343=0.1166\text{ s}$.
   $$t_A=0.1166\text{s}$$
3. Tiempo para la banda B — Calculamos $t_B=d_B/v$.
   $$t_B=\frac{d_B}{v}=\frac{80}{343}$$
4. Cálculo de $t_B$ — Realizamos la división: $80/343=0.2332\text{ s}$.
   $$t_B=0.2332\text{s}$$
5. Diferencia de tiempo — La diferencia es $\mathrm{\Delta }t=t_B-t_A=0.2332-0.1166=0.1166\text{ s}$.
   $$\mathrm{\Delta }t=t_B-t_A=0.1166\text{s}$$

$$\mathrm{\Delta }t=0.1166\text{s}$$

→ La banda A se escucha primero, con una diferencia de 0.1166 segundos respecto a la banda B.

1. Costo total del evento — Calculamos el costo total: $C_{total}=C_{hora}\cdot t_{evento}=2500\cdot 3.5$.
   $$C_{total}=2500\cdot 3.5$$
2. Cálculo de costo total — Realizamos la multiplicación: $2500\cdot 3.5=8750\text{ GTQ}$.
   $$C_{total}=8750\text{GTQ}$$
3. Conversión de tiempo a segundos — Convertimos 3.5 horas a segundos: $3.5\text{ h}=3.5\cdot 3600=12600\text{ s}$.
   $$t=3.5\cdot 3600=12600\text{s}$$
4. Distancia total recorrida por el sonido — Calculamos la distancia: $d=v\cdot t=340\cdot 12600$.
   $$d=340\cdot 12600$$
5. Cálculo de distancia — Realizamos la multiplicación: $340\cdot 12600=4284000\text{ m}$.
   $$d=4284000\text{m}$$
6. Costo por metro recorrido — Dividimos el costo total entre la distancia: $C_{metro}=C_{total}/d=8750/4284000$.
   $$C_{metro}=\frac{8750}{4284000}$$
7. Cálculo de costo por metro — Realizamos la división: $8750/4284000\approx 0.00204\text{ GTQ/m}$.
   $$C_{metro}\approx 0.00204\text{GTQ/m}$$

$$C_{total}=8750\text{GTQ},C_{metro}\approx 0.00204\text{GTQ/m}$$

→ El costo total del equipo de sonido es 8 750 GTQ. El costo por metro recorrido por el sonido es aproximadamente 0.00204 GTQ/m.