المبادئ الأساسية للجبر - البكالوريا العراقية 2025 | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

حل المعادلات الخطية والتربيعية باستخدام طرق جبرية مختلفة
إيجاد حلول أنظمة المعادلات الخطية في متغيرين وثلاثة متغيرات
تمثيل حلول المتراجحات الخطية بيانياً وحل مسائل واقعية تتعلق بالميزانية
تحليل المعادلات النسبية والأسية وتطبيقها على سياقات عراقية
تفسير الحلول الرياضية في سياقات واقعية مثل الأسعار والمسافات في العراق

المتطلبات السابقة

المعادلات البسيطة
العمليات الحسابية الأساسية
تمثيل النقاط على المستوى الإحداثي

الوقت المقدر: 120 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل تساءلت يوماً كيف يمكن لحساب بسيط في دفتر ملاحظاتك أن يتحول إلى قرار مهم يؤثر على مشروع عملاق؟ تخيل أنك مهندس في شركة نفط في البصرة، تحتاج إلى حساب كمية النفط التي يجب بيعها لتحقيق ربح معين. أو تخيل أنك مدرس في مدرسة بإربيل، تريد شراء كتب دراسية لمئة طالب بميزانية محددة. في كلتا الحالتين، ستجد نفسك أمام معادلات جبرية تحتاج إلى حلها بدقة. هذا هو عالم الجبر - لغة الرياضيات التي تتيح لنا تحويل المشاكل المعقدة إلى حلول واضحة. اليوم، سنخوض معاً في تمارين واقعية مستوحاة من الحياة العراقية، من أسواق بغداد إلى مشاريع البناء في الموصل، لنmaster المبادئ الأساسية للجبر التي ستجعلك مستعداً لامتحان البكالوريا بثقة تامة.

المعادلة الخطية: حساب سعر النفط في البصرة (8 نقاط)

15 minالمعادلات الخطيةحل المعادلات من الدرجة الأولى

في شهر كانون الأول 2024، قررت شركة نفط عراقية في البصرة بيع النفط بسعر معين. بعد أسبوعين، ارتفع السعر بمقدار 5000 دينار عراقي لكل برميل بسبب زيادة الطلب العالمي. إذا كان السعر الجديد 55000 دينار عراقي للبرميل، فما هو السعر الأصلي قبل الزيادة؟

السعر الجديد بعد الزيادة: 55000 دينار عراقي/برميل
مقدار الزيادة: 5000 دينار عراقي/برميل

اكتب المعادلة التي تمثل هذه العلاقة
حل المعادلة لإيجاد السعر الأصلي
تحقق من صحة حلك بتعويض القيمة في المعادلة الأصلية

الحل الكامل

كتابة المعادلة — لنفترض أن السعر الأصلي هو $x$ دينار عراقي. بعد الزيادة، يصبح السعر $x + 5000$ دينار عراقي. حسب المعطيات، السعر الجديد هو 55000 دينار عراقي.
$x + 5000 = 55000$
حل المعادلة — لإيجاد قيمة $x$ ، نطرح 5000 من طرفي المعادلة.
$x = 55000 - 5000$
الحساب — نقوم بالحساب للحصول على السعر الأصلي.
$x = 50000$
التحقق — نعوض القيمة المحسوبة في المعادلة الأصلية للتأكد من صحتها.
$50000 + 5000 = 55000$

$50000$

← السعر الأصلي للنفط في البصرة هو 50000 دينار عراقي للبرميل

سلم التقدير

كتابة المعادلة بشكل صحيح	2 نقاط
حل المعادلة بطريقة صحيحة	3 نقاط
التحقق من صحة الحل	2 نقاط
دقة الحسابات	1 نقاط

المعادلة التربيعية: مشروع بناء في الموصل (12 نقطة)

20 minالمعادلات التربيعيةطرق حل المعادلات التربيعيةالمميز

أراد مهندس معماري في الموصل بناء برج سكني مكون من عدة طوابق. عند دراسة التكاليف، وجد أن تكلفة البناء بالدينار العراقي يمكن تمثيلها بالمعادلة التالية: $C (h) = 2 h^{2} - 160 h + 3200$ حيث $C$ هي التكلفة بالآلاف من الدنانير، و $h$ هو عدد الطوابق. إذا كانت الشركة تريد بناء البرج بتكلفة لا تتجاوز 1200000 دينار عراقي، فما هو عدد الطوابق الذي يمكن بناؤه؟

دالة التكلفة: $C (h) = 2 h^{2} - 160 h + 3200$ (بالآلاف من الدنانير)
الحد الأقصى للتكلفة: 1200000 دينار عراقي
التكلفة بوحدة الآلاف: 1200

اكتب المعادلة التي يجب حلها لإيجاد عدد الطوابق الممكنة
حل المعادلة باستخدام القانون العام للمعادلات التربيعية
حدد عدد الطوابق الممكنة (يجب أن يكون عدداً صحيحاً موجباً)
ما هو عدد الطوابق الذي يعطي أقل تكلفة؟

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المعادلة التي يجب حلها لإيجاد عدد الطوابق الممكنة

كتابة المعادلة — يجب حل المعادلة التي تمثل الحد الأقصى للتكلفة.
$2 h^{2} - 160 h + 3200 = 1200$

$2 h^{2} - 160 h + 2000 = 0$

← المعادلة هي $2 h^{2} - 160 h + 2000 = 0$

السؤال 2 (5 نقاط) — حل المعادلة باستخدام القانون العام للمعادلات التربيعية

حساب المميز — نقوم بحساب المميز $Δ = b^{2} - 4 a c$ للمعادلة التربيعية.
$Δ = {(- 160)}^{2} - 4 \times 2 \times 2000 = 25600 - 16000 = 9600$
تطبيق القانون العام — نستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية.
$h = \frac{160 \pm \sqrt{9600}}{4} = \frac{160 \pm 97.98}{4}$

$h_{1} \approx 64.5 و h_{2} \approx 15.5$

← الحلول هي $h_{1} \approx 64.5$ و $h_{2} \approx 15.5$

السؤال 3 (3 نقاط) — حدد عدد الطوابق الممكنة (يجب أن يكون عدداً صحيحاً موجباً)

تحديد عدد الطوابق — بما أن عدد الطوابق يجب أن يكون عدداً صحيحاً موجباً، نختار القيمتين 15 و65 (تقريباً). نتحقق من أي منهما يحقق الشرط.
$C (15) = 2 {(15)}^{2} - 160 (15) + 3200 = 450 - 2400 + 3200 = 1250 (أكبر من 1200)$
التحقق من 16 طابقاً — ن试 16 طابقاً للتأكد من أن التكلفة لا تتجاوز الحد الأقصى.
$C (16) = 2 {(16)}^{2} - 160 (16) + 3200 = 512 - 2560 + 3200 = 1152 (أقل من 1200)$

$16 طابقاً$

← يمكن بناء 16 طابقاً بتكلفة 1152000 دينار عراقي، وهو ضمن الميزانية

السؤال 4 (2 نقاط) — ما هو عدد الطوابق الذي يعطي أقل تكلفة؟

إيجاد أقل تكلفة — لإيجاد عدد الطوابق الذي يعطي أقل تكلفة، نستخدم رأس القطع المكافئ. في المعادلة $C (h) = 2 h^{2} - 160 h + 3200$ ، رأس القطع المكافئ يقع عند $h = - \frac{b}{2 a}$ .
$h = - \frac{- 160}{2 \times 2} = \frac{160}{4} = 40$
حساب التكلفة عند 40 طابقاً — نقوم بحساب التكلفة عند 40 طابقاً.
$C (40) = 2 {(40)}^{2} - 160 (40) + 3200 = 3200 - 6400 + 3200 = 0$

$40 طابقاً$

← أقل تكلفة تحدث عند بناء 40 طابقاً، وتكون التكلفة 0 دينار (النظرية فقط)

سلم التقدير

كتابة المعادلة بشكل صحيح	2 نقاط
حساب المميز بشكل صحيح	2 نقاط
حل المعادلة باستخدام القانون العام	3 نقاط
تحديد عدد الطوابق الصحيح	3 نقاط
إيجاد أقل تكلفة	2 نقاط

نظام المعادلات الخطية: نقل الركاب بين بغداد وإربيل (10 نقاط)

18 minأنظمة المعادلات الخطيةطرق حل الأنظمة (الحذف، التعويض)تطبيق واقعي للنقل

في يوم السبت، قررت شركة نقل ركاب في العراق نقل 200 راكب من بغداد إلى إربيل. تستخدم الشركة حافلات صغيرة تتسع لـ15 راكباً وحافلات كبيرة تتسع لـ35 راكباً. إذا علمت أن الشركة استخدمت 8 حافلات إجمالاً، فكم حافلة صغيرة وكم حافلة كبيرة استعملت؟

عدد الركاب الإجمالي: 200 راكب
عدد الحافلات الإجمالي: 8 حافلات
سعة الحافلة الصغيرة: 15 راكب
سعة الحافلة الكبيرة: 35 راكب

اكتب نظام المعادلات الذي يمثل هذه المسألة
حل النظام باستخدام طريقة الحذف
تحقق من صحة حلك بتعويض القيم في المعادلات الأصلية
إذا كانت أجرة الحافلة الصغيرة 200000 دينار عراقي وأجرة الحافلة الكبيرة 400000 دينار عراقي، فما هي التكلفة الإجمالية لنقل الركاب؟

الحل الكامل

تعريف المتغيرات — لنرمز لعدد الحافلات الصغيرة بـ $x$ وعدد الحافلات الكبيرة بـ $y$ .
$x = عدد الحافلات الصغيرة y = عدد الحافلات الكبيرة$
كتابة المعادلات — المعادلة الأولى تمثل عدد الركاب: 15 راكب لكل حافلة صغيرة + 35 راكب لكل حافلة كبيرة = 200 راكب. المعادلة الثانية تمثل عدد الحافلات: $x + y = 8$ .
$15 x + 35 y = 200 x + y = 8$
تبسيط المعادلة الأولى — نقسم المعادلة الأولى على 5 لتبسيطها.
$3 x + 7 y = 40$
ضرب المعادلة الثانية — نضرب المعادلة الثانية في 3 للحصول على نفس المعامل لـ $x$ .
$3 x + 3 y = 24$
طرح المعادلات — نطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى لحذف $x$ .
$(3 x + 7 y) - (3 x + 3 y) = 40 - 24$
حل المعادلة الناتجة — نجد قيمة $y$ ثم نعوض في المعادلة الثانية لإيجاد $x$ .
$4 y = 16 ⟹ y = 4 x = 8 - 4 = 4$

← استخدمت الشركة 4 حافلات صغيرة و4 حافلات كبيرة، والتكلفة الإجمالية هي 2400000 دينار عراقي

سلم التقدير

تعريف المتغيرات بشكل صحيح	1 نقاط
كتابة نظام المعادلات بشكل صحيح	2 نقاط
حل النظام بطريقة الحذف	3 نقاط
التحقق من الحل	2 نقاط
حساب التكلفة الإجمالية	2 نقاط

المتراجحات الخطية: ميزانية رحلة مدرسية إلى الموصل (8 نقاط)

12 minالمتراجحات الخطيةحل المتراجحاتتمثيل حلول المتراجحات بيانياً

قررت مدرسة في بغداد تنظيم رحلة مدرسية إلى الموصل لـ50 طالباً. تكلفة الحافلة 1500000 دينار عراقي، وتكلفة الفندق 25000 دينار عراقي لكل طالب، وتكلفة الطعام 10000 دينار عراقي لكل طالب. إذا كانت المدرسة تريد ألا تتجاوز التكلفة الإجمالية 3000000 دينار عراقي، فما هو الحد الأقصى لتكلفة الهدايا التي يمكن شراؤها لكل طالب؟

عدد الطلاب: 50 طالب
تكلفة الحافلة: 1500000 دينار عراقي
تكلفة الفندق: 25000 دينار عراقي لكل طالب
تكلفة الطعام: 10000 دينار عراقي لكل طالب
الميزانية الإجمالية: 3000000 دينار عراقي

اكتب المتراجحة التي تمثل هذه المسألة
حل المتراجحة لإيجاد الحد الأقصى لتكلفة الهدايا لكل طالب
إذا تم شراء الهدايا لكل طالب بمبلغ 5000 دينار عراقي، فهل الميزانية كافية؟
مثل حلول المتراجحة بيانياً على خط الأعداد

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المتراجحة التي تمثل هذه المسألة

كتابة المتراجحة — الميزانية الإجمالية يجب ألا تتجاوز 3000000 دينار عراقي.
$1500000 + 50 (25000 + 10000 + x) \leq 3000000$

$3250000 + 50 x \leq 3000000$

← المتراجحة هي $3250000 + 50 x \leq 3000000$

السؤال 2 (3 نقاط) — حل المتراجحة لإيجاد الحد الأقصى لتكلفة الهدايا لكل طالب

حل المتراجحة — نحل المتراجحة للحصول على الحد الأقصى لتكلفة الهدايا.
$50 x \leq - 250000 ⟹ x \leq - 5000$

$x \leq - 5000$

← الحد الأقصى لتكلفة الهدايا هو -5000 دينار عراقي (أي لا يمكن شراء هدايا)

السؤال 3 (2 نقاط) — إذا تم شراء الهدايا لكل طالب بمبلغ 5000 دينار عراقي، فهل الميزانية كافية؟

التحقق من الميزانية — نقوم بحساب التكلفة الإجمالية إذا كانت تكلفة الهدايا 5000 دينار عراقي لكل طالب.
$1500000 + 50 (25000 + 10000 + 5000) = 1500000 + 50 (40000) = 1500000 + 2000000 = 3500000$

3500000 > 3000000

← الميزانية غير كافية، حيث تصل التكلفة إلى 3500000 دينار عراقي

السؤال 4 (1 نقاط) — مثل حلول المتراجحة بيانياً على خط الأعداد

تمثيل بياني — على خط الأعداد، نضع نقطة عند -5000 ونرسم سهماً إلى اليسار (بما أن المتراجحة هي $x \leq - 5000$ ).

$x \leq - 5000$

← الحل على خط الأعداد: جميع القيم الأصغر من أو تساوي -5000

سلم التقدير

كتابة المتراجحة بشكل صحيح	2 نقاط
حل المتراجحة بشكل صحيح	3 نقاط
التحقق من الميزانية	2 نقاط
تمثيل حلول المتراجحة بيانياً	1 نقاط

المعادلة النسبية: سعر صرف الدينار والدولار في بغداد (10 نقاط)

15 minالمعادلات النسبيةحل المعادلات التي تحتوي على كسورتطبيق واقعي لسعر الصرف

في شهر كانون الثاني 2025، أراد رجل أعمال في بغداد تحويل مبلغ من الدينار العراقي إلى الدولار الأمريكي. إذا كان سعر صرف الدينار مقابل الدولار هو 1 دولار = 1300 دينار عراقي (تقريباً)، وكان المبلغ الذي يريد تحويله هو $x$ دينار عراقي. بعد التحويل، حصل على 1200 دولار أمريكي. اكتب المعادلة التي تمثل هذه العلاقة، ثم حلها لإيجاد قيمة $x$ .

سعر صرف الدينار: 1 دولار = 1300 دينار عراقي
المبلغ بالدولار بعد التحويل: 1200 دولار أمريكي
المبلغ بالدولار = المبلغ بالدينار ÷ سعر الصرف

اكتب المعادلة التي تمثل هذه العلاقة
حل المعادلة لإيجاد قيمة $x$
تحقق من صحة حلك بتعويض القيمة في المعادلة الأصلية
إذا كان سعر الصرف يتغير إلى 1 دولار = 1400 دينار عراقي، فما هو المبلغ بالدولار الذي سيحصل عليه رجل الأعمال؟

الحل الكامل

كتابة المعادلة — المبلغ بالدولار يساوي المبلغ بالدينار مقسوماً على سعر الصرف. نكتب المعادلة كالتالي:
$\frac{x}{1300} = 1200$
حل المعادلة — نضرب طرفي المعادلة في 1300 للحصول على قيمة $x$ .
$x = 1200 \times 1300$
حساب قيمة $x$ — نقوم بحساب المبلغ بالدولار.
$x = 1560000$
التحقق — نعوض القيمة في المعادلة الأصلية للتأكد من صحتها.
$\frac{1560000}{1300} = 1200$
تغير سعر الصرف — إذا تغير سعر الصرف إلى 1400 دينار للدولار، نحسب المبلغ بالدولار الجديد.
$\frac{1560000}{1400} \approx 1114.29$

← المبلغ الذي كان مع رجل الأعمال هو 1560000 دينار عراقي، وعند تغير سعر الصرف إلى 1400 دينار للدولار، سيحصل على 1114.29 دولار أمريكي

سلم التقدير

كتابة المعادلة بشكل صحيح	2 نقاط
حل المعادلة بطريقة صحيحة	3 نقاط
التحقق من الحل	2 نقاط
حساب المبلغ الجديد بسعر صرف مختلف	3 نقاط

المعادلة الأسية: نمو السكان في إربيل (12 نقطة)

20 minالمعادلات الأسيةحل المعادلات التي تحتوي على أسستطبيق واقعي للنمو السكاني

في عام 2020، كان عدد سكان مدينة إربيل حوالي 1.5 مليون نسمة. إذا كان معدل النمو السنوي للسكان هو 2%، فكم سيكون عدد السكان في عام 2030؟ اكتب المعادلة التي تمثل هذه العلاقة، ثم حلها لإيجاد عدد السكان في عام 2030.

عدد السكان في 2020: 1.5 مليون نسمة
معدل النمو السنوي: 2%
عدد السنوات من 2020 إلى 2030: 10 سنوات
الصيغة: $P (t) = P_{0} \times {(1 + r)}^{t}$ حيث $P_{0}$ هو عدد السكان الأولي، و $r$ هو معدل النمو، و $t$ هو الزمن

اكتب المعادلة التي تمثل عدد السكان في عام 2030
حل المعادلة لإيجاد عدد السكان في عام 2030
ما هو عدد السكان المتوقع في عام 2025؟
إذا انخفض معدل النمو إلى 1% سنوياً، فما هو عدد السكان المتوقع في عام 2030؟

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المعادلة التي تمثل عدد السكان في عام 2030

كتابة المعادلة — نستخدم الصيغة العامة للنمو الأسي.
$P (10) = 1.5 \times 10^{6} \times {(1.02)}^{10}$

$P (10) = 1.5 \times 10^{6} \times {(1.02)}^{10}$

← المعادلة هي $P (10) = 1.5 \times 10^{6} \times {(1.02)}^{10}$

السؤال 2 (4 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد عدد السكان في عام 2030

حساب عدد السكان في 2030 — نقوم بحساب القيمة ${(1.02)}^{10}$ ثم نضرب في عدد السكان الأولي.
$P (10) \approx 1.5 \times 10^{6} \times 1.219 \approx 1.8285 \times 10^{6}$

$1.83 \times 10^{6} نسمة$

← عدد السكان المتوقع في إربيل عام 2030 هو 1.83 مليون نسمة تقريباً

السؤال 3 (3 نقاط) — ما هو عدد السكان المتوقع في عام 2025؟

عدد السكان في 2025 — نحسب عدد السكان بعد 5 سنوات بمعدل نمو 2%.
$P (5) = 1.5 \times 10^{6} \times {(1.02)}^{5} \approx 1.656 \times 10^{6}$

$1.66 \times 10^{6} نسمة$

← عدد السكان المتوقع في إربيل عام 2025 هو 1.66 مليون نسمة تقريباً

السؤال 4 (3 نقاط) — إذا انخفض معدل النمو إلى 1% سنوياً، فما هو عدد السكان المتوقع في عام 2030؟

معدل نمو 1% — نعيد الحساب بمعدل نمو 1% سنوياً.
$P (10) = 1.5 \times 10^{6} \times {(1.01)}^{10} \approx 1.6569 \times 10^{6}$

$1.66 \times 10^{6} نسمة$

← عدد السكان المتوقع في إربيل عام 2030 بمعدل نمو 1% هو 1.66 مليون نسمة تقريباً

سلم التقدير

كتابة المعادلة بشكل صحيح	2 نقاط
حساب عدد السكان في 2030	4 نقاط
حساب عدد السكان في 2025	3 نقاط
حساب عدد السكان بمعدل نمو مختلف	3 نقاط

النظام غير الخطي: أبعاد الزقورة في أور (14 نقطة)

25 minالنظم غير الخطيةحل نظام من معادلتين غير خطيتينتطبيق هندسي واقعي

الزقورة في أور هي واحدة من أقدم الآثار في العراق، وتقع بالقرب من مدينة الناصرية. إذا كانت قاعدة الزقورة مربعة الشكل، وكان محيط القاعدة 200 متر، ومساحة القاعدة 2500 متر مربع. اكتب نظام المعادلات الذي يمثل هذه العلاقة، ثم حل النظام لإيجاد طول ضلع القاعدة.

محيط القاعدة: 200 متر
مساحة القاعدة: 2500 متر مربع
القاعدة مربعة الشكل (طول الضلع = $x$ ، العرض = $y$ ، لكن في المربع $x = y$ )

اكتب نظام المعادلتين اللتين تمثلان محيط ومساحة القاعدة المربعة
حل النظام لإيجاد طول ضلع القاعدة
تحقق من صحة حلك بتعويض القيم في المعادلات الأصلية
إذا كان ارتفاع الزقورة 21 متراً، فما هو حجم الهرم الناتج (علماً بأن حجم الهرم = $\frac{1}{3} \times مساحة القاعدة \times الارتفاع$ )؟

الحل الكامل

كتابة المعادلات — لأن القاعدة مربعة، طول الضلع = $x$ ، والعرض = $x$ . محيط المربع = $4 x$ ، ومساحة المربع = $x^{2}$ . نكتب النظام كالتالي:
$4 x = 200 x^{2} = 2500$
حل المعادلة الأولى — نحل المعادلة الأولى لإيجاد $x$ .
$x = \frac{200}{4} = 50$
حل المعادلة الثانية — نحل المعادلة الثانية للتأكد من صحة الحل.
$x^{2} = 2500 ⟹ x = \sqrt{2500} = 50$
التحقق — نجد أن كلا المعادلتين تعطيان نفس القيمة لـ $x$ ، مما يؤكد صحة الحل.
$4 \times 50 = 200 و 50^{2} = 2500$
حساب حجم الهرم — نستخدم صيغة حجم الهرم: $V = \frac{1}{3} \times مساحة القاعدة \times الارتفاع$ .
$V = \frac{1}{3} \times 2500 \times 21$
حساب الحجم — نقوم بالحساب للحصول على حجم الهرم.
$V = \frac{52500}{3} = 17500$

← طول ضلع قاعدة الزقورة هو 50 متراً، وحجم الهرم هو 17500 متر مكعب

سلم التقدير

كتابة نظام المعادلتين بشكل صحيح	3 نقاط
حل المعادلة الأولى بشكل صحيح	2 نقاط
حل المعادلة الثانية والتحقق	3 نقاط
حساب حجم الهرم	4 نقاط
دقة الحسابات	2 نقاط

المعادلة الكسرية: خلط الوقود في محطات بغداد (12 نقطة)

20 minالمعادلات الكسريةحل المعادلات التي تحتوي على كسورتطبيق واقعي لخلط الوقود

في محطة وقود في بغداد، تم خلط نوعين من البنزين: النوع الأول سعره 700 دينار عراقي للتر، والنوع الثاني سعره 850 دينار عراقي للتر. إذا تم خلط 200 لتر من النوع الأول مع $x$ لتر من النوع الثاني، وكان سعر الخليط 750 دينار عراقي للتر، فما هو عدد اللترات من النوع الثاني ( $x$ ) التي تم خلطها؟

سعر النوع الأول: 700 دينار عراقي/لتر
سعر النوع الثاني: 850 دينار عراقي/لتر
كمية النوع الأول: 200 لتر
كمية النوع الثاني: $x$ لتر
سعر الخليط: 750 دينار عراقي/لتر

اكتب المعادلة التي تمثل هذه العلاقة
حل المعادلة لإيجاد قيمة $x$
تحقق من صحة حلك بتعويض القيمة في المعادلة الأصلية
إذا تم خلط 300 لتر من النوع الأول مع نفس كمية النوع الثاني، فما هو سعر الخليط الجديد؟

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المعادلة التي تمثل هذه العلاقة

كتابة المعادلة — نكتب المعادلة التي تمثل سعر الخليط.
$200 \times 700 + x \times 850 = (200 + x) \times 750$

$140000 + 850 x = 150000 + 750 x$

← المعادلة هي $140000 + 850 x = 150000 + 750 x$

السؤال 2 (4 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد قيمة $x$

حل المعادلة — ننقل الحدود ونجمعها لحساب قيمة $x$ .
$100 x = 10000 ⟹ x = 100$

$x = 100 لتر$

← عدد اللترات من النوع الثاني هو 100 لتر

السؤال 3 (3 نقاط) — تحقق من صحة حلك بتعويض القيمة في المعادلة الأصلية

التحقق — نعوض القيمة في المعادلة الأصلية للتأكد من صحتها.
$225000 = 225000$

$صحيح$

← الحل صحيح، حيث 225000 = 225000

السؤال 4 (3 نقاط) — إذا تم خلط 300 لتر من النوع الأول مع نفس كمية النوع الثاني، فما هو سعر الخليط الجديد؟

سعر الخليط الجديد — نحسب سعر الخليط الجديد بكميات مختلفة.
$\frac{300 \times 700 + 100 \times 850}{400} = 737.5$

$737.5 دينار عراقي/لتر$

← سعر الخليط الجديد هو 737.5 دينار عراقي للتر

سلم التقدير

كتابة المعادلة بشكل صحيح	2 نقاط
حل المعادلة بطريقة صحيحة	4 نقاط
التحقق من الحل	3 نقاط
حساب سعر الخليط الجديد	3 نقاط

المعادلة التربيعية: جسر الموصل المعلق (14 نقطة)

25 minالمعادلات التربيعيةتحليل الدوال التربيعيةتطبيق هندسي واقعي

في مشروع جسر الموصل المعلق، تم تصميم القوس العلوي للجسر على شكل قطع مكافئ. إذا كانت معادلة القطع المكافئ هي $y = - 0.01 x^{2} + 4 x$ ، حيث $y$ هو الارتفاع بالأمتار， $x$ هو المسافة الأفقية بالأمتار من نقطة البداية. أوجد ارتفاع القوس عند منتصف المسافة بين النقطتين اللتين ترتفعان عن الأرض بمقدار 20 متراً.

معادلة القطع المكافئ: $y = - 0.01 x^{2} + 4 x$
الارتفاع المطلوب: 20 متراً
نريد إيجاد قيمة $x$ عندما $y = 20$ ، ثم حساب $y$ عند منتصف المسافة بين النقطتين

اكتب المعادلة التي تمثل الارتفاع 20 متراً
حل المعادلة لإيجاد قيم $x$ عندما $y = 20$
أوجد المسافة بين النقطتين اللتين ترتفعان 20 متراً عن الأرض
احسب ارتفاع القوس عند منتصف هذه المسافة

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المعادلة التي تمثل الارتفاع 20 متراً

كتابة المعادلة — نضع $y = 20$ في معادلة القطع المكافئ.
$20 = - 0.01 x^{2} + 4 x$

$- 0.01 x^{2} + 4 x - 20 = 0$

← المعادلة هي $- 0.01 x^{2} + 4 x - 20 = 0$

السؤال 2 (5 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد قيم $x$ عندما $y = 20$

حل المعادلة — نحول المعادلة إلى شكل قياسي ونحسب المميز.
$x = \frac{400 \pm \sqrt{152000}}{2} \approx 394.935 و 5.065$

$x \approx 394.94 متر و x \approx 5.07 متر$

← القيمتان هما 394.94 متر و5.07 متر

السؤال 3 (3 نقاط) — أوجد المسافة بين النقطتين اللتين ترتفعان 20 متراً عن الأرض

المسافة بين النقطتين — المسافة هي الفرق بين القيمتين.
$394.94 - 5.07 = 389.87 متر$

$389.87 متر$

← المسافة بين النقطتين هي 389.87 متر

السؤال 4 (4 نقاط) — احسب ارتفاع القوس عند منتصف هذه المسافة

ارتفاع القوس عند المنتصف — نقوم بحساب ارتفاع القوس عند نقطة المنتصف.
$y (200) = 400 متر$

$400 متر$

← ارتفاع القوس عند منتصف المسافة هو 400 متر

سلم التقدير

كتابة المعادلة بشكل صحيح	2 نقاط
حل المعادلة التربيعية	5 نقاط
حساب المسافة بين النقطتين	3 نقاط
حساب ارتفاع القوس عند المنتصف	4 نقاط

المعادلة الخطية: حساب سعر النفط في البصرة (8 نقاط)

سلم التقدير

المعادلة التربيعية: مشروع بناء في الموصل (12 نقطة)

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المعادلة التي يجب حلها لإيجاد عدد الطوابق الممكنة

السؤال 2 (5 نقاط) — حل المعادلة باستخدام القانون العام للمعادلات التربيعية

السؤال 3 (3 نقاط) — حدد عدد الطوابق الممكنة (يجب أن يكون عدداً صحيحاً موجباً)

السؤال 4 (2 نقاط) — ما هو عدد الطوابق الذي يعطي أقل تكلفة؟

سلم التقدير

نظام المعادلات الخطية: نقل الركاب بين بغداد وإربيل (10 نقاط)

سلم التقدير

المتراجحات الخطية: ميزانية رحلة مدرسية إلى الموصل (8 نقاط)

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المتراجحة التي تمثل هذه المسألة

السؤال 2 (3 نقاط) — حل المتراجحة لإيجاد الحد الأقصى لتكلفة الهدايا لكل طالب

السؤال 3 (2 نقاط) — إذا تم شراء الهدايا لكل طالب بمبلغ 5000 دينار عراقي، فهل الميزانية كافية؟

السؤال 4 (1 نقاط) — مثل حلول المتراجحة بيانياً على خط الأعداد

سلم التقدير

المعادلة النسبية: سعر صرف الدينار والدولار في بغداد (10 نقاط)

سلم التقدير

المعادلة الأسية: نمو السكان في إربيل (12 نقطة)

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المعادلة التي تمثل عدد السكان في عام 2030

السؤال 2 (4 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد عدد السكان في عام 2030

السؤال 3 (3 نقاط) — ما هو عدد السكان المتوقع في عام 2025؟

السؤال 4 (3 نقاط) — إذا انخفض معدل النمو إلى 1% سنوياً، فما هو عدد السكان المتوقع في عام 2030؟

سلم التقدير

النظام غير الخطي: أبعاد الزقورة في أور (14 نقطة)

سلم التقدير

المعادلة الكسرية: خلط الوقود في محطات بغداد (12 نقطة)

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المعادلة التي تمثل هذه العلاقة

السؤال 2 (4 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد قيمة x

السؤال 3 (3 نقاط) — تحقق من صحة حلك بتعويض القيمة في المعادلة الأصلية

السؤال 4 (3 نقاط) — إذا تم خلط 300 لتر من النوع الأول مع نفس كمية النوع الثاني، فما هو سعر الخليط الجديد؟

سلم التقدير

المعادلة التربيعية: جسر الموصل المعلق (14 نقطة)

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المعادلة التي تمثل الارتفاع 20 متراً

السؤال 2 (5 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد قيم x عندما y=20

السؤال 3 (3 نقاط) — أوجد المسافة بين النقطتين اللتين ترتفعان 20 متراً عن الأرض

السؤال 4 (4 نقاط) — احسب ارتفاع القوس عند منتصف هذه المسافة

سلم التقدير

المصادر

السؤال 2 (4 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد قيمة $x$

السؤال 2 (5 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد قيم $x$ عندما $y = 20$