البكالوريا العراقية 2025 — اختبار الرياضيات — نموذج تدريبي

1. حساب السعر في اليوم الثاني — نبدأ بالسعر الأولي 12000 دينار. في اليوم الثاني، يزداد السعر بنسبة 5%. لحساب السعر الجديد، نضرب السعر الأولي في 1.05.
   $$S_2=12000\times 1.05$$
2. حساب السعر في اليوم الثالث — في اليوم الثالث، ينخفض السعر بنسبة 3% مقارنة بالسعر الجديد في اليوم الثاني. نضرب سعر اليوم الثاني في 0.97 لحساب السعر الجديد.
   $$S_3=S_2\times 0.97$$
3. حساب السعر في اليوم الخامس — نلاحظ أن النمط يتكرر كل يومين: زيادة 5% ثم انخفاض 3%. لحساب السعر في اليوم الخامس، نكرر العملية مرتين (من اليوم الأول إلى الثالث، ثم من الثالث إلى الخامس).
   $$S_5=12000\times 1.05\times 0.97\times 1.05\times 0.97$$
4. حساب المبلغ الإجمالي — لحساب المبلغ الإجمالي لشراء 100 كيلوغرام في اليوم الخامس، نضرب السعر النهائي في 100.
   $$M=S_5\times 100$$

$$S_3=12223.5\text{ دينار/كيلوغرام},M=1244850\text{ دينار}$$

← السعر النهائي للكيلوغرام في اليوم الثالث هو 12223.5 دينار، والمبلغ الإجمالي لشراء 100 كيلوغرام في اليوم الخامس هو 1244850 دينار.

1. صياغة الدالة — نبدأ بالإنتاج الأولي 500000 برميل. كل سنة ينخفض الإنتاج بنسبة 2%، مما يعني أن الإنتاج يصبح 98% من الإنتاج السابق. نكتب الدالة الأسية باستخدام الأساس 0.98.
   $$P(t)=500000\times {0.98}^t$$
2. حساب الإنتاج بعد 5 سنوات — نضع t=5 في الدالة لحساب الإنتاج بعد 5 سنوات.
   $$P(5)=500000\times {0.98}^5$$
3. حساب السنة التي يصل فيها الإنتاج إلى 400000 برميل — نحل المعادلة 400000 = 500000 × 0.98^t لإيجاد قيمة t.
   $$400000=500000\times {0.98}^t$$

$$P(t)=500000\times {0.98}^t,P(5)\approx 452000\text{ برميل},t\approx 4.5\text{ سنة}$$

← الدالة هي P(t) = 500000 × 0.98^t. الإنتاج بعد 5 سنوات هو 452000 برميل تقريباً. سينخفض الإنتاج إلى 400000 برميل بعد حوالي 4.5 سنة (أو في منتصف السنة الخامسة).

1. عدد السيارات الأجنبية والمحلية — نحسب عدد السيارات الأجنبية والمحلية بناءً على النسب المئوية.
   $$N_{\text{أجنبي}}=2000\times 0.30=600\text{ سيارة},N_{\text{محلي}}=2000-600=1400\text{ سيارة}$$
2. عدد السيارات الأجنبية ذات اللوحات المجاورة — نحسب عدد السيارات الأجنبية التي تحمل لوحات تسجيل من دول مجاورة.
   $$N_{\text{أجنبي+مجاورة}}=600\times 0.10=60\text{ سيارة}$$
3. عدد السيارات ذات اللوحات المزورة — نحسب عدد السيارات المحلية التي تحمل لوحات مزورة، ثم نجمع مع السيارات الأجنبية ذات اللوحات المزورة (إذا وجدت).
   $$N_{\text{مزورة}}=1400\times 0.05=70\text{ سيارة}$$
4. حساب الاحتمالات المطلوبة — نحسب الاحتمالات باستخدام التعريف الكلاسيكي للاحتمال.
   $$P(\text{أجنبي+مجاورة})=\frac{60}{2000}=0.03,P(\text{مزورة})=\frac{70}{2000}=0.035$$
5. الاحتمال الشرطي — نستخدم قانون بايز لحساب الاحتمال الشرطي.
   $$P(\text{أجنبي}|\text{مزورة})=\frac{P(\text{أجنبي}\cap \text{مزورة})}{P(\text{مزورة})}$$

$$P(\text{أجنبي+مجاورة})=0.03,P(\text{مزورة})=0.035,P(\text{أجنبي}|\text{مزورة})=0$$

← احتمال أن تكون السيارة أجنبية وتحمل لوحات مجاورة هو 0.03 (أو 3%). احتمال أن تحمل السيارة لوحات مزورة هو 0.035 (أو 3.5%). إذا كانت السيارة تحمل لوحات مزورة، فإن احتمال أن تكون أجنبية هو 0.

1. حساب حجم الهرم — نستخدم قانون حجم الهرم الرباعي القائم: ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع.
   $$V=\frac{1}{3}\times B\times h=\frac{1}{3}\times {120}^2\times 30$$
2. ارتفاع التمثال الأول — التمثال موضوع في منتصف ارتفاع الهرم، لذا نضرب الارتفاع في 0.5.
   $$h_1=30\times 0.5=15\text{ متر}$$
3. ارتفاع التمثال الثاني — التمثال الثاني موضوع في منتصف المسافة بين قمة الهرم (30 متر) والتمثال الأول (15 متر). نحسب المتوسط.
   $$h_2=\frac{30+15}{2}=22.5\text{ متر}$$

$$V=144000{\text{ م}}^3,h_1=15\text{ م},h_2=22.5\text{ م}$$

← حجم الهرم هو 144000 متر مكعب. ارتفاع التمثال الأول عن القاعدة هو 15 متر. ارتفاع التمثال الثاني عن القاعدة هو 22.5 متر.

1. صياغة المعادلة التفاضلية — نستخدم قانون النمو الأسي: معدل التغير متناسب مع عدد السكان الحالي.
   $$\frac{dP}{dt}=kP,\text{حيث}k=0.012$$
2. حل المعادلة التفاضلية — نحل المعادلة التفاضلية باستخدام الفصل بين المتغيرات.
   $$\frac{dP}{P}=kdt⟹\int \frac{dP}{P}=\int kdt⟹\ln |P|=kt+C⟹P(t)=P_0{e}^{kt}$$
3. تعيين الثوابت — نستخدم الشرط الأولي P(0) = 1.5 مليون لإيجاد قيمة C.
   $$P(0)=1.5=P_0{e}^0⟹P_0=1.5$$
4. حساب عدد السكان بعد 10 سنوات — نضع t=10 في الدالة لحساب عدد السكان بعد 10 سنوات.
   $$P(10)=1.5\times e^{0.012\times 10}$$

$$\frac{dP}{dt}=0.012P,P(t)=1.5e^{0.012t},P(10)\approx 1.69\text{ مليون نسمة}$$

← المعادلة التفاضلية هي dP/dt = 0.012P. الدالة العامة هي P(t) = 1.5e^(0.012t) مليون نسمة. عدد السكان بعد 10 سنوات هو حوالي 1.69 مليون نسمة.

1. حساب الارتفاع الرأسي — نستخدم دالة الجيب لحساب الارتفاع الرأسي.
   $$h=200\times \sin (15°)$$
2. حساب المسقط الأفقي — نستخدم دالة جيب التمام لحساب المسقط الأفقي.
   $$d=200\times \cos (15°)$$
3. حساب الارتفاع الرأسي الجديد — نكرر العملية مع الطول الجديد 250 متر.
   $$h_{\text{جديد}}=250\times \sin (15°)$$

$$h\approx 51.76\text{ م},d\approx 193.19\text{ م},h_{\text{جديد}}\approx 64.70\text{ م}$$

← الارتفاع الرأسي للجسر هو حوالي 51.76 متر. المسقط الأفقي للجسر هو حوالي 193.19 متر. الارتفاع الرأسي الجديد للجسر الممتد هو حوالي 64.70 متر.