البكالوريا العراقية 2025: تمارين الرياضيات مع الحلول الشاملة

1. التعبير عن الربح — الربح = الإيرادات - التكاليف. الإيرادات = سعر المتر الجديد × المساحة. التكاليف = سعر الشراء × المساحة.
   $$R=(p\times 20)-(10000\times 20)$$
2. إضافة الربح المرغوب — يجب أن يكون الربح 300000 دينار، لذا:
   $$300000=20p-200000$$
3. حل المعادلة — نضيف 200000 للطرفين ثم نقسم على 20:
   $$20p=500000\Rightarrow p=25000$$
4. إضافة الضريبة — السعر بعد الضريبة = السعر الجديد × 1.05:
   $$p_{\text{نهائي}}=25000\times 1.05=26250$$

$$26250$$

← السعر النهائي للمتر المربع الواحد هو 26250 دينار عراقي

1. الارتفاع الابتدائي — عند $t=0$، نحسب $h(0)$:
   $$h(0)=-2{(0)}^2+12(0)+10=10$$
2. الزمن لأقصى ارتفاع — أقصى ارتفاع للدالة التربيعية $a{t}^2+bt+c$ يكون عند $t=-b/(2a)$:
   $$t=-\frac{12}{2\times (-2)}=3\text{ ثواني}$$
3. أقصى ارتفاع — نعوض $t=3$ في الدالة:
   $$h(3)=-2{(3)}^2+12(3)+10=-18+36+10=28$$
4. الزمن عند عودة الرافعة للأرض — نحل المعادلة $h(t)=0$:
   $$-2t^2+12t+10=0\Rightarrow t^2-6t-5=0$$
5. حل المعادلة التربيعية — باستخدام القانون العام:
   $$t=\frac{6\pm \sqrt{36+20}}{2}=3\pm \sqrt{14}$$
6. الزمن الموجب — نأخذ القيمة الموجبة:
   $$t=3+\sqrt{14}\approx 6.74\text{ ثواني}$$

$$28\text{ متر},t=3+\sqrt{14}\text{ ثواني}$$

← أقصى ارتفاع 28 متراً عند 3 ثواني، والعودة للأرض عند $3+\sqrt{14}$ ثواني

1. الحد العام — المتتالية هندسية بنسبة $r=1.05$ والحد الأول $u_1=5000$، لذا:
   $$u_n=5000\times {(1.05)}^{n-1}$$
2. الضخ في اليوم السابع — نحسب $u_7$:
   $$u_7=5000\times {(1.05)}^6\approx 5000\times 1.3401=6700.5$$
3. المجموع الإجمالي — المجموع $S_7$ لمتتالية هندسية:
   $$S_7=5000\times \frac{{1.05}^7-1}{1.05-1}\approx 40710$$

$$6700.5\text{ متر مكعب},40710\text{ متر مكعب}$$

← كمية اليوم السابع 6700.5 متر مكعب، والمجموع الإجمالي 40710 متر مكعب

1. نظرية فيثاغورس — الوتر $c$ يحسب بـ:
   $$c=\sqrt{{30}^2+{40}^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50$$
2. نصف قطر الدائرة الداخلة — نصف القطر $r$ لمثلث قائم هو:
   $$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{30+40-50}{2}=10$$
3. مساحة المثلث — مساحة مثلث قائم هي نصف حاصل ضرب الضلعين القائمين:
   $$A=\frac{30\times 40}{2}=600$$

$$50\text{ متر},10\text{ متر},600\text{ متر مربع}$$

← طول الممر 50 متراً، ونصف القطر 10 أمتار، والمساحة 600 متر مربع

1. حساب الارتفاع عند x=10 — نعوض $x=10$ في الدالة:
   $$f(10)=3\sin \left(\frac{\pi \times 10}{20}\right)+5=3\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+5=3\times 1+5=8$$
2. الدورة الكاملة — الدورة الكاملة للدالة $\sin (kx)$ هي $\frac{2\pi }{k}$. هنا $k=\frac{\pi }{20}$، لذا:
   $$T=\frac{2\pi }{\pi /20}=40\text{ متر}$$
3. حل المعادلة f(x)=8 — نحل $3\sin \left(\frac{\pi x}{20}\right)+5=8$:
   $$3\sin \left(\frac{\pi x}{20}\right)=3\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi x}{20}\right)=1$$
4. حل الجيب — \(\sin(\theta) = 1 ParseError: Can't use function '\(' in math mode at position 1: \̲(̲\sin(\theta) = … عند \(\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n ParseError: Can't use function '\(' in math mode at position 1: \̲(̲\theta = \frac{…:
   $$\frac{\pi x}{20}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=10$$

$$8\text{ متر},40\text{ متر},x=10\text{ متر}$$

← الارتفاع 8 أمتار عند 10 أمتار، والدورة الكاملة 40 متراً، والارتفاع 8 أمتار عند 10 أمتار فقط في الدورة الأولى

1. حجم النفط — حجم الأسطوانةPartial: $V=\pi r^{2}h=\pi {(5)}^{2}h=25\pi h$
   $$V=25\pi h$$
2. الاشتقاق — نشتق الطرفين بالنسبة للزمن $t$:
   $$\frac{dV}{dt}=25\pi \frac{dh}{dt}$$
3. تعويض القيم — نعلم $\frac{dV}{dt}=2$، لذا:
   $$2=25\pi \frac{dh}{dt}\Rightarrow \frac{dh}{dt}=\frac{2}{25\pi }$$

$$\frac{2}{25\pi }\text{ متر/دقيقة}$$

← معدل ارتفاع سطح النفط هو $\frac{2}{25\pi }$ متر في الدقيقة (تقريباً 0.0255 متر/دقيقة)