امتحان البكالوريا العراقي ٢٠٢٥: مسائل رياضية حول دواء فيكسايوس

1. حساب الجرعة الإجمالية — لحساب الجرعة الإجمالية، نضرب الجرعة الموصى بها في مساحة سطح الجسم. الجرعة الموصى بها هي 44 ملغم لكل متر مربع، ومساحة سطح الجسم هي 1.7 م². لاحظ أن هذه الجرعة تعتمد فقط على مساحة سطح الجسم وليس على الوزن مباشرة، وهو ما يسمى بجرعة الجسم السطحي.
   $$D_{\text{إجمالية}}=44{\text{ ملغم/م}}^2\times 1.7{\text{ م}}^2$$
2. النتيجة النهائية للجرعة — إذن، الجرعة الإجمالية اللازمة هي 74.8 ملغم. هذه الجرعة هي التي ستُعطى للمريض على مدار العلاج.
   $$D_{\text{إجمالية}}=74.8\text{ ملغم}$$
3. حساب عدد العبوات — كل عبوة تحتوي على 50 ملغم. لحساب عدد العبوات اللازمة، نقسم الجرعة الإجمالية على سعة العبوة. بما أنه لا يمكن استخدام عبوة جزئية، نحتاج إلى التقريب لأعلى لضمان كفاية الدواء.
   $$N_{\text{عبوات}}=\lceil \frac{74.8}{50}\rceil$$
4. النتيجة النهائية لعدد العبوات — عدد العبوات اللازمة هو 2 عبوة، حيث 74.8 ÷ 50 = 1.496، وعندما نقرّب لأعلى نحصل على 2 عبوة. هذا يضمن أن المستشفى لديها ما يكفي من الدواء لعلاج المريض.
   $$N_{\text{عبوات}}=2$$

$$74.8\text{ ملغم},2\text{ عبوة}$$

← الجرعة الإجمالية المطلوبة هي 74.8 ملغم، وتحتاج المستشفى إلى 2 عبوة دوائية

1. حساب عدد vials اللازمة — المريض يحتاج 100 ملغم يومياً لمدة 7 أيام، أي 700 ملغم إجمالاً. كل vial يحتوي على 50 ملغم، لذا نحتاج إلى 700 ÷ 50 = 14 vial. لاحظ أن 14 vial > 10 vial، لذا ينطبق شرط الخصم.
   $$N=\frac{700\text{ ملغم}}{50\text{ ملغم/vial}}=14\text{ vial}$$
2. حساب التكلفة قبل الخصم — سعر vial واحد هو 15,000 دينار. لعدد 14 vial، التكلفة هي 14 × 15,000 = 210,000 دينار عراقي.
   $$C_{\text{قبل}}=14\times 15000=210000\text{ دينار عراقي}$$
3. حساب قيمة الخصم — الخصم هو 5% من التكلفة قبل الخصم. نحسب 5% من 210,000 دينار.
   $$D=210000\times 0.05=10500\text{ دينار عراقي}$$
4. حساب التكلفة النهائية — التكلفة النهائية هي التكلفة قبل الخصم ناقص قيمة الخصم: 210,000 - 10,500 = 199,500 دينار عراقي.
   $$C_{\text{نهائي}}=210000-10500=199500\text{ دينار عراقي}$$
5. حساب المبلغ الموفر — المبلغ الموفر هو الفرق بين السعر العادي والسعر بعد الخصم: 210,000 - 199,500 = 10,500 دينار عراقي.
   $$\text{الموفر}=210000-199500=10500\text{ دينار عراقي}$$

$$199500\text{ دينار عراقي},10500\text{ دينار عراقي موفر}$$

← التكلفة النهائية للعلاج هي 199,500 دينار عراقي، والمبلغ الموفر 10,500 دينار عراقي

1. التوزيع الاحتمالي المستخدم — هذا يتبع التوزيع ثنائي الحد (Binomial distribution) حيث n=20 (عدد المرضى) و p=0.65 (احتمال الاستجابة الإيجابية). قانون التوزيع هو P(X=k) = C(n,k) × $p^k$ × (1-p)^(n-k)
   $$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{(1-p)}^{n-k}$$
2. احتمال استجابة جميع المرضى — عندما k=20، نحصل على P(X=20) = C(20,20) × 0.65^20 × 0.35^0 = 1 × 0.65^20 × 1 = 0.65^20. هذا احتمال ضئيل جداً.
   $$P(X=20)={0.65}^{20}\approx 3.9\times {10}^{-4}$$
3. احتمال استجابة 12 مريضاً بالضبط — نستخدم القانون مع k=12. أولاً نحسب التوافيق C(20,12) = 125970. ثم نضرب في 0.65^12 و 0.35^8.
   $$P(X=12)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{12}\right)\times {0.65}^{12}\times {0.35}^8\approx 0.186$$
4. احتمال عدم استجابة أي مريض — عندما k=0، نحصل على P(X=0) = C(20,0) × 0.65^0 × 0.35^20 = 1 × 1 × 0.35^20. هذا احتمال ضئيل جداً أيضاً.
   $$P(X=0)={0.35}^{20}\approx 3.3\times {10}^{-9}$$

$$3.9\times {10}^{-4},0.186,3.3\times {10}^{-9}$$

← الاحتمالات هي: جميع المرضى (0.039%)، 12 مريضاً (18.6%)، لا أحد (0.00000033%)

1. تحويل النسب المئوية إلى أعداد عشرية — نحول النسب المئوية إلى أعداد عشرية للقيم $x_i$: 0.78, 0.82, 0.75, 0.80, 0.76
   $$x_i=0.78,0.82,0.75,0.80,0.76$$
2. حساب المتوسط الحسابي — المتوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوم على عددها. المجموع = 0.78 + 0.82 + 0.75 + 0.80 + 0.76 = 3.91. المتوسط = 3.91 ÷ 5 = 0.782 أو 78.2%.
   $$\bar{x}=\frac{0.78+0.82+0.75+0.80+0.76}{5}=0.782$$
3. حساب الانحرافات عن المتوسط — نحسب الفرق بين كل قيمة والمتوسط: (0.78-0.782)=-0.002, (0.82-0.782)=0.038, (0.75-0.782)=-0.032, (0.80-0.782)=0.018, (0.76-0.782)=-0.022
   $$x_i-\bar{x}=-0.002,0.038,-0.032,0.018,-0.022$$
4. تربيع الانحرافات — نربع كل انحراف: (-0.002)^2=0.000004, (0.038)^2=0.001444, (-0.032)^2=0.001024, (0.018)^2=0.000324, (-0.022)^2=0.000484
   $${(x_i-\bar{x})}^2=0.000004,0.001444,0.001024,0.000324,0.000484$$
5. حساب التباين — التباين لعينة = مجموع التربيعات ÷ (n-1) = 0.00328 ÷ 4 = 0.00082
   $$s^2=\frac{0.000004+0.001444+0.001024+0.000324+0.000484}{4}=0.00082$$
6. حساب الانحراف المعياري — الانحراف المعياري = جذر(التباين) = جذر(0.00082) ≈ 0.0286 أو 2.86%
   $$s=\sqrt{0.00082}\approx 0.0286$$
7. تفسير النتائج — الانحراف المعياري الصغير (2.86%) يشير إلى أن معدلات البقاء متقاربة جداً من المتوسط (78.2%). هذا يدل على استقرار النتائج بين المرضى، مما يعني أن الدواء يعطي نتائج متجانسة.

$$\bar{x}=0.782,s=0.0286$$

← المتوسط 78.2%, الانحراف المعياري 2.86%, النتائج متقاربة جداً مما يدل على استقرار العلاج

1. حساب الكمية المتاحة للعلاج — الكمية المتاحة للعلاج = المخزون الإجمالي - الاحتياطي = 500 - 50 = 450 ملغم. هذا هو المبلغ الذي يمكن استخدامه لعلاج المرضى.
   $$Q_{\text{متاحة}}=500-50=450\text{ ملغم}$$
2. حساب عدد المرضى — عدد المرضى = الكمية المتاحة ÷ الجرعة لكل مريض = 450 ÷ 40 = 11.25. بما أنه لا يمكن علاج كسر من مريض، نأخذ الجزء الصحيح (11 مريض).
   $$N_{\text{مرضى}}=\lfloor \frac{450}{40}\rfloor =11$$
3. حساب عدد vials الإجمالية — كل مريض يحتاج إلى 3 vials. لعدد 11 مريض، نحتاج إلى 11 × 3 = 33 vial. لاحظ أن 33 vial × 50 ملغم/vial = 1650 ملغم، لكننا نستخدم فقط 450 ملغم من المخزون (11 مريض × 40 ملغم = 440 ملغم، مع 10 ملغم احتياطي إضافي). هذا لأن vials تأتي بكميات ثابتة.
   $$N_{\text{vials}}=11\times 3=33\text{ vial}$$
4. حساب التكلفة الإجمالية — سعر vial واحد هو 15,000 دينار. لذا التكلفة الإجمالية هي 33 × 15,000 = 495,000 دينار عراقي.
   $$C=33\times 15000=495000\text{ دينار عراقي}$$

$$11\text{ مريض},33\text{ vial},495000\text{ دينار عراقي}$$

← يمكن علاج 11 مريضاً، باستخدام 33 vial بتكلفة إجمالية 495,000 دينار عراقي مع الاحتفاظ باحتياطي 50 ملغم