التحليل التوافقي: تمارين وحلول للبكالوريا العراقية | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

أن تحسب عدد التباديل الممكنة لترتيب طلاب في صف دراسي عراقي
أن تميز بين التباديل والتوافيق في مسائل واقعية تتعلق بالرياضة والاقتصاد العراقي
أن تطبق مبدأ العد الأساسي لحساب المسارات بين المدن العراقية مثل بغداد والبصرة وأربيل
أن تحل مسائل احتمالات بسيطة باستخدام مبادئ التوافيق مثل اختيار أغاني أو أطباق عراقية
أن تفسر حلول مسائل التحليل التوافقي بخطوات واضحة ومنظمة وفق معايير التصحيح العراقية

الوقت المقدر: 90 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل تساءلت يوماً كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها ترتيب طلاب صفك في قاعة الامتحانات؟ أو كم عدد الفرق الممكنة التي يمكن تشكيلها من لاعبي كرة القدم في الدوري العراقي؟ هذه الأسئلة وغيرها هي جوهر علم التحليل التوافقي، الذي نسميه نحن العراقيون «فن العد». في هذا المقال، سنغوص في تمارين واقعية من حياتنا اليومية في بغداد والبصرة وأربيل، وسنحلها معاً خطوة بخطوة كما لو كنا نعد للامتحان النهائي للبكالوريا العراقية. انتظر حتى ترى كيف يمكن لهذا العلم البسيط أن يغير نظرتك إلى العالم من حولك!

تمرين 1: التباديل وترتيب حروف كلمة (4 نقاط)

15 minالتباديلمبدأ العد الأساسي

في أحد صفوف مدينة بغداد، قرر مدرس الرياضيات ترتيب طلاب الصف على شكل دائرة لحل تمرين جماعي. إذا علمت أن عدد الطلاب في الصف هو 6 طلاب، فاحسب عدد الطرق المختلفة لترتيب هؤلاء الطلاب حول الطاولة الدائرية. ثم، إذا تم استبدال الطلاب بستة كتب مختلفة، فكم عدد الطرق لترتيب هذه الكتب في رف مكتبة؟

عدد الطلاب = 6
الترتيب يكون حول طاولة دائرية
عدد الكتب = 6
جميع الكتب مختلفة

احسب عدد التباديل الممكنة لترتيب الطلاب الستة حول الطاولة الدائرية
احسب عدد التباديل الممكنة لترتيب الكتب الستة في رف مكتبة مستقيم
قارن بين الإجابتين وفسر الفرق بينهما

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب عدد التباديل الممكنة لترتيب الطلاب الستة حول الطاولة الدائرية

صيغة التباديل الدائرية — عدد التباديل الدائرية لـ n عنصراً هو (n-1)!
$(6 - 1)! = 5! = 120$

$120 طريقة$

← 120 طريقة مختلفة لترتيب الطلاب حول الطاولة الدائرية

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب عدد التباديل الممكنة لترتيب الكتب الستة في رف مكتبة مستقيم

صيغة التباديل الخطية — عدد التباديل الخطية لـ n عنصراً مختلفاً هو n!
$6! = 720$

$720 طريقة$

← 720 طريقة مختلفة لترتيب الكتب في رف مستقيم

السؤال 3 (1 نقاط) — قارن بين الإجابتين وفسر الفرق بينهما

المقارنة — الترتيب الدائري يعطي 120 طريقة، بينما الترتيب الخطي يعطي 720 طريقة. الفرق هو 6 أضعاف، ويعود ذلك إلى أن كل ترتيب دائري يمكن أن يبدأ من 6 نقاط مختلفة في الترتيب الخطي.

$6 مرات أقل$

← الترتيب الدائري أقل بمقدار 6 مرات من الترتيب الخطي بسبب الدوران

سلم التقدير

استخدام الصيغة الصحيحة للتباديل الدائرية (n-1)!	2 نقاط
استخدام الصيغة الصحيحة للتباديل الخطية n!	1 نقاط
المقارنة الصحيحة بين الإجابتين مع تفسير منطقي	1 نقاط

تمرين 2: التوافيق واختيار لاعبين من فريق كرة قدم (5 نقاط)

20 minالتوافيقمبدأ اختيار العناصر

في الدوري العراقي الممتاز لكرة القدم، قرر مدرب فريق «النجف» اختيار 3 لاعبين من بين 11 لاعباً متاحاً لتشكيل فريق بدني. إذا علمت أن المدرب يريد اختيار أي 3 لاعبين دون مراعاة ترتيبهم، فكم عدد الفرق المختلفة التي يمكن تشكيلها؟ ثم، إذا أراد المدرب اختيار 3 لاعبين بحيث يكون أحدهم حارس مرمى (وعدد حراس المرمى 2 فقط)، فكم عدد الفرق الممكنة في هذه الحالة؟

عدد اللاعبين الكلي = 11
عدد اللاعبين المطلوبين = 3
عدد حراس المرمى = 2
البقية = 9 لاعبين من الميدان

احسب عدد الفرق المختلفة التي يمكن تشكيلها باختيار 3 لاعبين من 11 دون مراعاة الترتيب
احسب عدد الفرق المختلفة إذا كان يجب أن يكون أحد اللاعبين المختارين حارس مرمى
إذا أراد المدرب اختيار 3 لاعبين بحيث يكون اثنان منهم على الأقل من حراس المرمى (وعدد الحراس 2 فقط)، فكم عدد الفرق الممكنة؟

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب عدد الفرق المختلفة التي يمكن تشكيلها باختيار 3 لاعبين من 11 دون مراعاة الترتيب

صيغة التوافيق — عدد الطرق لاختيار 3 لاعبين من 11 دون مراعاة الترتيب هو C(11,3).
$C (11,3) = \frac{11!}{3! \times 8!} = 165$

$165 فريق$

← 165 فريق مختلف يمكن تشكيله

السؤال 2 (2 نقاط) — احسب عدد الفرق المختلفة إذا كان يجب أن يكون أحد اللاعبين المختارين حارس مرمى

اختيار حارس مرمى — نختار首先 حارس مرمى من 2، ثم نختار 2 لاعبين آخرين من 9 لاعبين.
$C (2,1) \times C (9,2) = 2 \times 36 = 72$

$72 فريق$

← 72 فريق مختلف يمكن تشكيله مع обязательный حارس مرمى

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا أراد المدرب اختيار 3 لاعبين بحيث يكون اثنان منهم على الأقل من حراس المرمى (وعدد الحراس 2 فقط)، فكم عدد الفرق الممكنة؟

حالة وجود حارسين على الأقل — نختار首先 الحارسين من 2، ثم نختار لاعباً واحداً من 9 لاعبين آخرين.
$C (2,2) \times C (9,1) = 1 \times 9 = 9$

$9 فرق$

← 9 فرق مختلفة يمكن تشكيلها مع وجود حارسين على الأقل

سلم التقدير

استخدام صيغة التوافيق C(n,k) بشكل صحيح في السؤال الأول	2 نقاط
حساب عدد الفرق مع обязательный حارس مرمى باستخدام مبدأ الضرب	2 نقاط
حساب الحالة الثالثة بشكل صحيح مع تفسير منطقي	1 نقاط

تمرين 3: مبدأ العد الأساسي ومسارات السفر بين المدن العراقية (6 نقاط)

25 minمبدأ العد الأساسيالتباديل والتوافيق المركبة

في عطلة نهاية الأسبوع، قرر أحمد السفر من بغداد إلى البصرة لزيارة عائلته. بعد ذلك،他想 زيارة صديقه في أربيل قبل العودة إلى بغداد. إذا كانت هناك 4 طرق مختلفة للسفر من بغداد إلى البصرة (طريق بري، قطار، طائرة، سفينة نهرية)، و3 طرق للسفر من البصرة إلى أربيل (طريق بري، قطار، حافلة)، و2 طرق للعودة من أربيل إلى بغداد (طائرة، طريق بري). فكم عدد المسارات المختلفة التي يمكن لأحمد أن يسلكها في هذه الرحلة؟ إذا أراد أحمد أيضاً أن يزور مدينة الموصل في طريقه، مع وجود طريقين إضافيين من البصرة إلى الموصل وطريقين من الموصل إلى أربيل، فكم يصبح عدد المسارات الممكنة؟

طرق بغداد-البصرة = 4
طرق البصرة-أربيل = 3
طرق أربيل-بغداد = 2
طرق البصرة-الموصل = 2
طرق الموصل-أربيل = 2

احسب عدد المسارات المختلفة للرحلة بغداد-البصرة-أربيل-بغداد
إذا أراد أحمد زيارة الموصل أيضاً، فكم يصبح عدد المسارات الممكنة للرحلة بغداد-البصرة-الموصل-أربيل-بغداد؟
ما هو عدد الطرق الممكنة إذا أراد أحمد أن يزور المدن الثلاث (بغداد، البصرة، أربيل، الموصل) دون تكرار أي مدينة؟

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب عدد المسارات المختلفة للرحلة بغداد-البصرة-أربيل-بغداد

تطبيق مبدأ العد الأساسي — عدد الطرق هو حاصل ضرب عدد الخيارات في كل مرحلة من الرحلة.
$4 \times 3 \times 2 = 24$

$24 مسار$

← 24 مسار مختلف للرحلة الأساسية

السؤال 2 (2 نقاط) — إذا أراد أحمد زيارة الموصل أيضاً، فكم يصبح عدد المسارات الممكنة للرحلة بغداد-البصرة-الموصل-أربيل-بغداد؟

إضافة زيارة الموصل — نضرب عدد الطرق من بغداد إلى البصرة في عدد الطرق من البصرة إلى الموصل، ثم إلى أربيل، ثم العودة إلى بغداد.
$4 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

$32 مسار$

← 32 مسار مختلف للرحلة مع زيارة الموصل

السؤال 3 (2 نقاط) — ما هو عدد الطرق الممكنة إذا أراد أحمد أن يزور المدن الثلاث (بغداد، البصرة، أربيل، الموصل) دون تكرار أي مدينة؟

زيارة جميع المدن الثلاث — هناك طريقتان: إما الذهاب مباشرة من البصرة إلى أربيل، أو المرور عبر الموصل. نحسب كلتا الحالتين ونجمعهما.
$4 \times 3 \times 2 = 24 أو 4 \times 2 \times 2 = 16$

$24 أو 16 مسار$

← إما 24 أو 16 مسار ممكن (اعتماداً على الطريق المختار)

سلم التقدير

تطبيق مبدأ العد الأساسي بشكل صحيح في السؤال الأول	2 نقاط
حساب عدد المسارات مع إضافة زيارة الموصل بشكل صحيح	2 نقاط
حساب عدد المسارات لزيارة جميع المدن الثلاث مع مراعاة جميع الاحتمالات	2 نقاط

تمرين 4: الاحتمالات والتوافيق في اختيار أغاني عراقية (5 نقاط)

20 minالاحتمالاتالتوافيقالاحتمال الشرطي

في حفلة موسيقية في مدينة أربيل، تم اختيار 10 أغاني عراقية مختلفة لتُعزف خلال الحفلة. إذا أراد منظم الحفلة اختيار 4 أغاني عشوائياً لتشغيلها في بداية الحفلة، فما هو احتمال أن تكون الأغنية الأولى هي «موطني» (وهي إحدى الأغاني العشر)؟ ثم، إذا كانت 3 من الأغاني العشر هي لأغاني شعبية عراقية، فما هو احتمال أن تكون الأغنيتان الثانية والثالثة من بين الأغاني الشعبية، علماً بأن الأغنية الأولى هي «موطني»؟

عدد الأغاني الكلي = 10
عدد الأغاني المختارة = 4
عدد الأغاني الشعبية = 3
الأغنية «موطني» موجودة في القائمة

احسب احتمال أن تكون الأغنية الأولى هي «موتني»
إذا كانت الأغنية الأولى هي «موتني»، فاحسب احتمال أن تكون الأغنيتان الثانية والثالثة من بين الأغاني الشعبية الثلاث
ما هو احتمال أن تكون الأغنيتان الثانية والثالثة من بين الأغاني الشعبية، دون شرط أن تكون الأولى «موتني»؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب احتمال أن تكون الأغنية الأولى هي «موتني»

حساب الاحتمال البسيط — عدد الأغاني المواتية = 1 («موتني»)، إجمالي الأغاني = 10.
$\frac{1}{10} = 0.1$

0.1

← الاحتمال هو 0.1 أو 10%

السؤال 2 (2 نقاط) — إذا كانت الأغنية الأولى هي «موتني»، فاحسب احتمال أن تكون الأغنيتان الثانية والثالثة من بين الأغاني الشعبية الثلاث

الاحتمال الشرطي — بعد اختيار «موتني»، نختار الأغنيتين الثانية والثالثة من 9 أغاني، منها 3 شعبية. عدد الطرق لاختيار أغنيتين شعبيتين من 3 هو C(3,2)=3، وعدد الطرق لاختيار أي أغنيتين من 9 هو C(9,2)=36.
$\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{12}$

← الاحتمال هو 1/12 أو حوالي 8.3%

السؤال 3 (2 نقاط) — ما هو احتمال أن تكون الأغنيتان الثانية والثالثة من بين الأغاني الشعبية، دون شرط أن تكون الأولى «موتني»؟

الاحتمال دون شرط — نختار الأغاني الأربع، مع وجود شرط أن الأغنيتين الثانية والثالثة من بين الشعبية الثلاث. نحسب عدد الطرق المواتية مقسوماً على إجمالي الطرق.
$\frac{C (3,2) \times C (7,2)}{C (10,4)} = \frac{63}{210} = 0.3$

0.3

← الاحتمال هو 0.3 أو 30%

سلم التقدير

حساب الاحتمال البسيط بشكل صحيح في السؤال الأول	1 نقاط
حساب الاحتمال الشرطي بشكل صحيح في السؤال الثاني	2 نقاط
حساب الاحتمال العام بشكل صحيح في السؤال الثالث	2 نقاط

تمرين 1: التباديل وترتيب حروف كلمة (4 نقاط)

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب عدد التباديل الممكنة لترتيب الطلاب الستة حول الطاولة الدائرية

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب عدد التباديل الممكنة لترتيب الكتب الستة في رف مكتبة مستقيم

السؤال 3 (1 نقاط) — قارن بين الإجابتين وفسر الفرق بينهما

سلم التقدير

تمرين 2: التوافيق واختيار لاعبين من فريق كرة قدم (5 نقاط)

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب عدد الفرق المختلفة التي يمكن تشكيلها باختيار 3 لاعبين من 11 دون مراعاة الترتيب

السؤال 2 (2 نقاط) — احسب عدد الفرق المختلفة إذا كان يجب أن يكون أحد اللاعبين المختارين حارس مرمى

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا أراد المدرب اختيار 3 لاعبين بحيث يكون اثنان منهم على الأقل من حراس المرمى (وعدد الحراس 2 فقط)، فكم عدد الفرق الممكنة؟

سلم التقدير

تمرين 3: مبدأ العد الأساسي ومسارات السفر بين المدن العراقية (6 نقاط)

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب عدد المسارات المختلفة للرحلة بغداد-البصرة-أربيل-بغداد

السؤال 2 (2 نقاط) — إذا أراد أحمد زيارة الموصل أيضاً، فكم يصبح عدد المسارات الممكنة للرحلة بغداد-البصرة-الموصل-أربيل-بغداد؟

السؤال 3 (2 نقاط) — ما هو عدد الطرق الممكنة إذا أراد أحمد أن يزور المدن الثلاث (بغداد، البصرة، أربيل، الموصل) دون تكرار أي مدينة؟

سلم التقدير

تمرين 4: الاحتمالات والتوافيق في اختيار أغاني عراقية (5 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب احتمال أن تكون الأغنية الأولى هي «موتني»

السؤال 2 (2 نقاط) — إذا كانت الأغنية الأولى هي «موتني»، فاحسب احتمال أن تكون الأغنيتان الثانية والثالثة من بين الأغاني الشعبية الثلاث

السؤال 3 (2 نقاط) — ما هو احتمال أن تكون الأغنيتان الثانية والثالثة من بين الأغاني الشعبية، دون شرط أن تكون الأولى «موتني»؟

سلم التقدير

المصادر