الهندسة الإحداثية: تمارين البكالوريا العراقية 2025 | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

حساب المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي باستخدام قانون المسافة
إيجاد معادلة المستقيم بمعلومية ميله ونقطة عليه أو نقطتين يمر بهما
تحديد ما إذا كان مستقيمان متوازيان أو متعامدين باستخدام الميل
إيجاد معادلة الدائرة بمعلومية مركزها ونصف قطرها
تطبيق الهندسة الإحداثية في حل مسائل واقعية من المدن العراقية

المتطلبات السابقة

مفهوم النظام الإحداثي الديكارتي
قانون المسافة بين نقطتين
معادلة الخط المستقيم
نصف قطر الدائرة

الوقت المقدر: 90 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل تساءلت يوماً كيف يمكن للمهندسين تحديد موقع مبنى جديد في شارع مزدحم في بغداد؟ أو كيف تحسب المسافات بين المدن العراقية بدقة؟ الجواب يكمن في الهندسة الإحداثية! هذه الأداة الرياضية التي نستخدمها يومياً دون أن ندرك ذلك، هي مفتاح حل العديد من المشاكل في حياتنا. تخيل أنك تقف في ساحة الخلاني في بغداد وترغب في معرفة المسافة إلى ساحة التحرير. باستخدام إحداثيات بسيطة، يمكنك حساب ذلك بدقة. في هذا الامتحان التدريبي، سنغوص في عالم الهندسة الإحداثية من خلال مسائل واقعية من مدننا: بغداد، البصرة، أربيل، والموصل. استعد لاستخدام قلمك وورقتك، فأنت على وشك اختبار معرفتك في واحدة من أهم أدوات الرياضيات التطبيقية!

المسافة بين بغداد وأربيل (3 points)

12 minالمسافة بين نقطتينالإحداثيات الجغرافية

في خريطة مرجعية، تم تحديد موقع بغداد عند النقطة $A (33.3, 44.4)$ وموقع أربيل عند النقطة $B (36.2, 44.0)$ . إذا اعتبرنا أن كل وحدة على الخريطة تمثل 100 كيلومتر، احسب المسافة الحقيقية بين المدينتين بالكيلومتر.

الإحداثيات: $A (33.3, 44.4)$ , $B (36.2, 44.0)$
مقياس الخريطة: 1 وحدة = 100 كم

اكتب قانون المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي
احسب المسافة بين النقطتين $A$ و $B$ على الخريطة
حول المسافة إلى كيلومترات حقيقية

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب قانون المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي

القانون — قانون المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي هو:
$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

← قانون المسافة هو $d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المسافة بين النقطتين $A$ و $B$ على الخريطة

التعويض — نعوض القيم في القانون:
$d = \sqrt{{(36.2 - 33.3)}^{2} + {(44.0 - 44.4)}^{2}} = \sqrt{{2.9}^{2} + {(- 0.4)}^{2}} = \sqrt{8.41 + 0.16} = \sqrt{8.57}$
النتيجة — نحصل على $d \approx 2.93$ وحدات على الخريطة.
$d \approx 2.93 وحدات$

$2.93 وحدات$

← المسافة على الخريطة هي 2.93 وحدة

السؤال 3 (1 نقاط) — حول المسافة إلى كيلومترات حقيقية

التحويل إلى كيلومتر — بما أن 1 وحدة = 100 كم، فإن المسافة الحقيقية هي: $2.93 \times 100 = 293$ كم. لاحظ أن هذه المسافة تقريبية لأننا استخدمنا إحداثيات مبسطة على خريطة ثنائية الأبعاد، بينما الأرض كروية تقريباً.
$293 كم$

$293 كم$

← المسافة الحقيقية بين بغداد وأربيل هي 293 كيلومتر

سلم التقدير

كتابة قانون المسافة بشكل صحيح	1 نقاط
حساب المسافة بين النقطتين بشكل صحيح	1 نقاط
تحويل المسافة إلى كيلومترات باستخدام مقياس الخريطة	1 نقاط

معادلة شارع الرشيد في بغداد (4 points)

15 minمعادلة المستقيمالميلنقطة على مستقيم

يمر شارع الرشيد في بغداد بالنقطتين $P (2, 5)$ و $Q (6, 9)$ . اكتب معادلة هذا الشارع على شكل $y = m x + b$ ، ثم حدد الميل والجزء المقطوع من محور الصادات.

النقطة الأولى: $P (2, 5)$
النقطة الثانية: $Q (6, 9)$

احسب ميل المستقيم $P Q$
اكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع
ما هو الجزء المقطوع من محور الصادات ( $b$ )

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب ميل المستقيم $P Q$

قانون الميل — قانون الميل هو:
$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
التعويض — نعوض القيم:
$m = \frac{9 - 5}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1$

1

← ميل المستقيم هو 1

السؤال 2 (2 نقاط) — اكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع

معادلة النقطة والميل — نستخدم معادلة النقطة والميل مع النقطة $P (2, 5)$ والميل $m = 1$ :
$y - 5 = 1 (x - 2)$
التبسيط — ننشر المعادلة:
$y - 5 = x - 2$

$y - 5 = x - 2$

← معادلة المستقيم هي $y - 5 = x - 2$

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هو الجزء المقطوع من محور الصادات ( $b$ )

الجزء المقطوع — ننقل 5 إلى الجهة اليمنى للحصول على صيغة الميل والمقطع:
$y = x + 3$

3

← الجزء المقطوع من محور الصادات هو 3

سلم التقدير

حساب الميل بشكل صحيح	1 نقاط
كتابة معادلة المستقيم بشكل صحيح باستخدام نقطتين	2 نقاط
تحديد الجزء المقطوع من محور الصادات	1 نقاط

شوارع متوازية في الموصل (3 points)

12 minالمستقيمات المتوازيةالميلمعادلة المستقيم

في خريطة لمدينة الموصل، يمر شارعان متوازيان: الشارع الأول يعبر النقطتين $A (1, 2)$ و $B (4, 5)$ ، والشارع الثاني يعبر النقطتين $C (2, 4)$ و $D (5, 7)$ . تحقق من أن هذين الشارعين متوازيان، ثم اكتب معادلة الشارع الثاني.

الشارع الأول: $A (1, 2)$ , $B (4, 5)$
الشارع الثاني: $C (2, 4)$ , $D (5, 7)$

احسب ميل الشارع الأول
احسب ميل الشارع الثاني
هل الشاران متوازيان؟ علل إجابتك
اكتب معادلة الشارع الثاني إذا كان موازياً للأول ويمر بالنقطة $C (2, 4)$

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب ميل الشارع الأول

حساب الميل الأول — نحسب ميل الشارع الأول:
$m_{1} = \frac{5 - 2}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1$

1

← ميل الشارع الأول هو 1

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب ميل الشارع الثاني

حساب الميل الثاني — نحسب ميل الشارع الثاني:
$m_{2} = \frac{7 - 4}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1$

1

← ميل الشارع الثاني هو 1

السؤال 3 (0 نقاط) — هل الشاران متوازيان؟ علل إجابتك

التحقق من التوازي — بما أن الميلين متساويين ( $m_{1} = m_{2}$ )، فالشاران متوازيان.
$m_{1} = m_{2} \Rightarrow متوازيان$

نعم

← نعم، الشاران متوازيان لأن لهما نفس الميل (1)

السؤال 4 (1 نقاط) — اكتب معادلة الشارع الثاني إذا كان موازياً للأول ويمر بالنقطة $C (2, 4)$

معادلة الشارع الثاني — باستخدام الميل 1 والنقطة $C (2, 4)$ ، نحصل على:
$y - 4 = 1 (x - 2) \Rightarrow y = x + 2$

$y = x + 2$

← معادلة الشارع الثاني هي $y = x + 2$

سلم التقدير

حساب ميل الشارع الأول بشكل صحيح	1 نقاط
حساب ميل الشارع الثاني بشكل صحيح	1 نقاط
كتابة معادلة الشارع الثاني بشكل صحيح	1 نقاط

حديقة دائرية في البصرة (4 points)

15 minمعادلة الدائرةمركز الدائرةنصف القطر

في حديقة الزهراء في البصرة، تم إنشاء حديقة دائرية مركزها عند النقطة $C (4, 3)$ ونصف قطرها 5 أمتار. اكتب معادلة هذه الحديقة الدائرية، ثم تحقق ما إذا كانت النقطة $P (7, 7)$ تقع داخل الحديقة أم خارجها.

مركز الدائرة: $C (4, 3)$
نصف القطر: $r = 5$ م
النقطة المراد فحصها: $P (7, 7)$

اكتب معادلة الدائرة العامة
اكتب معادلة الحديقة الدائرية
احسب المسافة بين المركز والنقطة $P$
هل النقطة $P$ داخل الحديقة أم خارجها؟ علل إجابتك

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب معادلة الدائرة العامة

القانون العام — معادلة الدائرة العامة هي:
${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

← معادلة الدائرة العامة هي ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

السؤال 2 (1 نقاط) — اكتب معادلة الحديقة الدائرية

التعويض — نعوض القيم:
${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5^{2} \Rightarrow {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$

${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$

← معادلة الحديقة الدائرية هي ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب المسافة بين المركز والنقطة $P$

حساب المسافة — نحسب المسافة:
$d = \sqrt{{(7 - 4)}^{2} + {(7 - 3)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 م$

$5 م$

← المسافة بين المركز والنقطة P هي 5 أمتار

السؤال 4 (1 نقاط) — هل النقطة $P$ داخل الحديقة أم خارجها؟ علل إجابتك

التحديد — بما أن المسافة تساوي نصف القطر، فإن النقطة P تقع على المحيط.
$d = r \Rightarrow على المحيط$

على المحيط

← النقطة P تقع على محيط الحديقة الدائرية

سلم التقدير

كتابة معادلة الدائرة العامة بشكل صحيح	1 نقاط
كتابة معادلة الحديقة الدائرية بشكل صحيح	1 نقاط
حساب المسافة بين المركز والنقطة P بشكل صحيح	1 نقاط
تحديد موقع النقطة P بالنسبة للدائرة	1 نقاط

تقاطع طريق دائري وطريق مستقيم في أربيل (3 points)

15 minتقاطع مستقيم ودائرةحل نظام معادلاتالمسافة من نقطة إلى مستقيم

في أربيل، تم إنشاء طريق دائري مركزه $C (2, 3)$ ونصف قطره 4 وحدات، ويمر به طريق مستقيم معادلته $y = 2 x + 1$ . أوجد نقاط تقاطع الطريق الدائري بالطريق المستقيم. (اعتبر أن كل وحدة تمثل 100 متر)

مركز الدائرة: $C (2, 3)$
نصف القطر: $r = 4$ وحدات
معادلة المستقيم: $y = 2 x + 1$

اكتب معادلة الدائرة
عوض معادلة المستقيم في معادلة الدائرة لحل النظام
أوجد قيم x للنقاط المتقاطعة
أوجد قيم y للنقاط المتقاطعة

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب معادلة الدائرة

معادلة الدائرة — نعوض المركز ونصف القطر:
${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4^{2} \Rightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

← معادلة الدائرة هي ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

السؤال 2 (1 نقاط) — عوض معادلة المستقيم في معادلة الدائرة لحل النظام

تعويض المستقيم — نعوض $y = 2 x + 1$ في معادلة الدائرة:
${(x - 2)}^{2} + {((2 x + 1) - 3)}^{2} = 16 \Rightarrow {(x - 2)}^{2} + {(2 x - 2)}^{2} = 16$

${(x - 2)}^{2} + {(2 x - 2)}^{2} = 16$

← بعد التعويض نحصل على ${(x - 2)}^{2} + {(2 x - 2)}^{2} = 16$

السؤال 3 (1 نقاط) — أوجد قيم x للنقاط المتقاطعة

حل المعادلة — نحل المعادلة التربيعية $5 x^{2} - 12 x - 8 = 0$ للحصول على قيم x:
$x = 2 و x = - 0.4$

$2 و - 0.4$

← قيمة x الأولى هي 2، والقيمة الثانية هي -0.4

السؤال 4 (1 نقاط) — أوجد قيم y للنقاط المتقاطعة

إيجاد y — نعوض قيم x في $y = 2 x + 1$ :
$y_{1} = 5, y_{2} = 0.2$

$(2, 5) و (- 0.4, 0.2)$

← النقاط المتقاطعة هي $(2, 5)$ و $(- 0.4, 0.2)$

سلم التقدير

كتابة معادلة الدائرة بشكل صحيح	1 نقاط
تعويض معادلة المستقيم في الدائرة بشكل صحيح	1 نقاط
حل المعادلة التربيعية والحصول على قيم x	1 نقاط
إيجاد قيم y للنقاط المتقاطعة	1 نقاط

مساحة قطعة أرض مثلثة في السليمانية (3 points)

12 minمساحة المثلثالإحداثياتصيغة هيرون

تم تسجيل قطعة أرض مثلثة في السليمانية بإحداثيات رؤوسها: $A (1, 2)$ , $B (5, 6)$ , و $C (3, 8)$ . احسب مساحة هذه القطعة بالأمتار المربعة، علماً بأن كل وحدة على الخريطة تمثل 10 أمتار في الواقع.

رؤوس المثلث: $A (1, 2)$ , $B (5, 6)$ , $C (3, 8)$
مقياس الخريطة: 1 وحدة = 10 أمتار

احسب أطوال أضلاع المثلث الثلاثة
استخدم صيغة هيرون لحساب المساحة
حول المساحة إلى أمتار مربعة حقيقية

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب أطوال أضلاع المثلث الثلاثة

أطوال الأضلاع — نحسب أطوال الأضلاع:
$A B = \sqrt{32} \approx 5.66, B C = \sqrt{8} \approx 2.83, C A = \sqrt{40} \approx 6.32$

5.66, 2.83, 6.32

← أطوال الأضلاع هي 5.66 و2.83 و6.32 وحدة

السؤال 2 (1 نقاط) — استخدم صيغة هيرون لحساب المساحة

نصف المحيط — نحسب نصف المحيط:
$s = \frac{5.66 + 2.83 + 6.32}{2} = 7.405 وحدات$

7.405

← نصف المحيط هو 7.405 وحدات

السؤال 3 (1 نقاط) — حول المساحة إلى أمتار مربعة حقيقية

صيغة هيرون — نحسب المساحة باستخدام صيغة هيرون:
$A = \sqrt{7.405 \times 1.745 \times 4.575 \times 1.085} \approx 7.99 وحدات مربعة$

$7.99 وحدات مربعة$

← المساحة هي 7.99 وحدات مربعة

سلم التقدير

حساب أطوال الأضلاع بشكل صحيح	1 نقاط
حساب نصف المحيط بشكل صحيح	1 نقاط
استخدام صيغة هيرون لحساب المساحة	1 نقاط

المسافة بين بغداد وأربيل (3 points)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب قانون المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المسافة بين النقطتين A وB على الخريطة

السؤال 3 (1 نقاط) — حول المسافة إلى كيلومترات حقيقية

سلم التقدير

معادلة شارع الرشيد في بغداد (4 points)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب ميل المستقيم PQ

السؤال 2 (2 نقاط) — اكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هو الجزء المقطوع من محور الصادات (b)

سلم التقدير

شوارع متوازية في الموصل (3 points)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب ميل الشارع الأول

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب ميل الشارع الثاني

السؤال 3 (0 نقاط) — هل الشاران متوازيان؟ علل إجابتك

السؤال 4 (1 نقاط) — اكتب معادلة الشارع الثاني إذا كان موازياً للأول ويمر بالنقطة C(2,4)

سلم التقدير

حديقة دائرية في البصرة (4 points)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب معادلة الدائرة العامة

السؤال 2 (1 نقاط) — اكتب معادلة الحديقة الدائرية

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب المسافة بين المركز والنقطة P

السؤال 4 (1 نقاط) — هل النقطة P داخل الحديقة أم خارجها؟ علل إجابتك

سلم التقدير

تقاطع طريق دائري وطريق مستقيم في أربيل (3 points)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب معادلة الدائرة

السؤال 2 (1 نقاط) — عوض معادلة المستقيم في معادلة الدائرة لحل النظام

السؤال 3 (1 نقاط) — أوجد قيم x للنقاط المتقاطعة

السؤال 4 (1 نقاط) — أوجد قيم y للنقاط المتقاطعة

سلم التقدير

مساحة قطعة أرض مثلثة في السليمانية (3 points)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب أطوال أضلاع المثلث الثلاثة

السؤال 2 (1 نقاط) — استخدم صيغة هيرون لحساب المساحة

السؤال 3 (1 نقاط) — حول المساحة إلى أمتار مربعة حقيقية

سلم التقدير

المصادر

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المسافة بين النقطتين $A$ و $B$ على الخريطة

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب ميل المستقيم $P Q$

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هو الجزء المقطوع من محور الصادات ( $b$ )

السؤال 4 (1 نقاط) — اكتب معادلة الشارع الثاني إذا كان موازياً للأول ويمر بالنقطة $C (2, 4)$

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب المسافة بين المركز والنقطة $P$

السؤال 4 (1 نقاط) — هل النقطة $P$ داخل الحديقة أم خارجها؟ علل إجابتك