البكالوريا العراقية: تمارين شاملة في المتباينات الرياضية | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

حل متباينات خطية من الدرجة الأولى وتمثيل حلولها على خط الأعداد
إيجاد حلول متباينات من الدرجة الثانية باستخدام التحليل والتربيع
حل متباينات القيمة المطلقة وتمثيلها بيانياً
تطبيق المتباينات في مسائل واقعية تتعلق بالاقتصاد المحلي العراقي
بناء أنظمة متباينات وحلها بيانياً

المتطلبات السابقة

حل المعادلات الخطية
تمثيل النقاط على المستوى الإحداثي
مفهوم القيمة المطلقة
تحليل الدوال التربيعية

الوقت المقدر: 120 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل تساءلت يوماً كيف تقرر الحكومة العراقية توزيع الميزانية بين المحافظات؟ أو كيف يحدد صاحب متجر في بغداد سعر سلعته دون خسارة؟ الإجابة تكمن في عالم المتباينات الرياضية! في هذا الامتحان التدريبي، ستتعامل مع مسائل حقيقية من مدننا: بغداد والبصرة وأربيل والموصل. لن نحل معادلات فقط، بل سنتعلم كيف نضع حدوداً وقواعد رياضية تحكم حياتنا اليومية. خذ قلمك وورقتك، ودعنا نبدأ رحلة في عالم المتباينات التي تحكم قراراتنا الاقتصادية من دون أن نشعر!

المسألة 1: شراء مستلزمات المدرسة في بغداد (3 نقاط)

15 minالمتباينات الخطيةتمثيل الحل على خط الأعداد

اشترى أحمد 5 دفاتر و3 أقلام من سوق السراي في بغداد. إذا كان معه مبلغ 50000 دينار عراقي، فما هو الحد الأقصى لعدد الدفاتر التي يمكنه شراؤها إذا كان سعر الدفتر الواحد 8000 دينار وسعر القلم 2000 دينار؟

عدد الدفاتر المشتراة مسبقاً: 5
عدد الأقلام المشتراة مسبقاً: 3
سعر الدفتر الواحد: 8000 دينار عراقي
سعر القلم الواحد: 2000 دينار عراقي
المبلغ الإجمالي المتوفر: 50000 دينار عراقي

اكتب متباينة تمثل هذا الموقف
حل المتباينة
ما هو الحل الصحيح في سياق المسألة؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب متباينة تمثل هذا الموقف

كتابة المتباينة — لنفترض أن x هو عدد الدفاتر الإضافية التي يمكن لأحمد شراؤها. المبلغ الذي ينفقه على الدفاتر الإضافية هو 8000x دينار. المبلغ الإجمالي الذي ينفقه هو 40000 (للدفاتر الخمس) + 6000 (للأقلام الثلاثة) + 8000x.
$40000 + 6000 + 8000 x \leq 50000$

$8000 x + 46000 \leq 50000$

← المتباينة هي: $8000 x + 46000 \leq 50000$

السؤال 2 (1 نقاط) — حل المتباينة

حل المتباينة — نطرح 46000 من طرفي المتباينة ثم نقسم على 8000.
$8000 x \leq 50000 - 46000 8000 x \leq 4000 x \leq 0.5$

$x \leq 0.5$

← حل المتباينة هو: $x \leq 0.5$

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هو الحل الصحيح في سياق المسألة؟

التفسير في السياق — بما أن x يمثل عدد الدفاتر الإضافية، يجب أن يكون عدد الدفاتر عدداً صحيحاً موجباً. الحل x ≤ 0.5 يعني أنه لا يمكنه شراء أي دفتر إضافي دون تجاوز الميزانية. الحل الصحيح هو x = 0 (لا يمكن شراء أي دفتر إضافي).
$x = 0$

$0 دفتر إضافي$

← يمكن لأحمد شراء 0 دفتر إضافي دون تجاوز الميزانية.

سلم التقدير

كتابة المتباينة بشكل صحيح	1 نقاط
حل المتباينة بشكل صحيح	1 نقاط
تفسير الحل في السياق المحلي بشكل صحيح	1 نقاط

المسألة 2: مساحة حديقة منزل في البصرة (4 نقاط)

20 minالمتباينات التربيعيةحل متباينات من الدرجة الثانية

يمتلك خالد قطعة أرض مستطيلة الشكل في حي المعقل في البصرة. طول القطعة 10 أمتار وعرضها (10 - x) أمتار. يريد خالد بناء حديقة مساحتها أكبر من 21 متر مربع. ما هي القيم الممكنة لـ x؟

طول القطعة: 10 أمتار
عرض القطعة: (10 - x) أمتار
المساحة المطلوبة: أكبر من 21 متر مربع

اكتب متباينة تمثل مساحة الحديقة
حل المتباينة
ما هي القيم الممكنة لـ x مع مراعاة أن العرض يجب أن يكون موجباً؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب متباينة تمثل مساحة الحديقة

كتابة المتباينة — مساحة الحديقة = الطول × العرض = 10 × (10 - x). نريد هذه المساحة أكبر من 21 متر مربع.
$10 (10 - x) > 21$

$10 (10 - x) > 21$

← المتباينة هي: $10 (10 - x) > 21$

السؤال 2 (2 نقاط) — حل المتباينة

حل المتباينة — نقوم بتبسيط المتباينة لحلها.
$100 - 10 x > 21 - 10 x > - 79 x < 7.9$

x < 7.9

← حل المتباينة هو: $x < 7.9$

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هي القيم الممكنة لـ x مع مراعاة أن العرض يجب أن يكون موجباً؟

الشرط الإضافي — يجب أن يكون العرض موجباً، لذا 10 - x > 0 مما يعني x < 10. بالتالي، القيم الممكنة لـ x هي 0 < x < 7.9 (بما أن العرض لا يمكن أن يكون سالباً أو صفراً).
0 < x < 7.9

0 < x < 7.9

← القيم الممكنة لـ x هي: $0 < x < 7.9$

سلم التقدير

كتابة متباينة المساحة بشكل صحيح	1 نقاط
حل المتباينة وحساب القيم بشكل صحيح	2 نقاط
مراعاة الشروط الإضافية (العرض موجب)	1 نقاط

المسألة 3: درجات الحرارة في أربيل (3 نقاط)

15 minمتباينات القيمة المطلقةتمثيل الحل على خط الأعداد

في شهر حزيران، تتراوح درجة الحرارة في مدينة أربيل بين 5° و25° مئوية. اكتب متباينة قيمة مطلقة تمثل درجات الحرارة الممكنة T في أربيل خلال هذا الشهر.

أقل درجة حرارة: 5° مئوية
أعلى درجة حرارة: 25° مئوية
متوسط درجة الحرارة: 15° مئوية

اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل درجات الحرارة
حل المتباينة
مثل الحل على خط الأعداد

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل درجات الحرارة

كتابة المتباينة — درجة الحرارة T تنحرف عن المتوسط 15° بمقدار لا يتجاوز 10°.
$| T - 15 | \leq 10$

$| T - 15 | \leq 10$

← المتباينة هي: $| T - 15 | \leq 10$

السؤال 2 (1 نقاط) — حل المتباينة

حل المتباينة — نحول متباينة القيمة المطلقة إلى متباينتين خطيتين ثم نحلها.
$- 10 \leq T - 15 \leq 10 5 \leq T \leq 25$

$5 \leq T \leq 25$

← حل المتباينة هو: $5 \leq T \leq 25$

السؤال 3 (1 نقاط) — مثل الحل على خط الأعداد

تمثيل الحل — نمثل الفترة [5, 25] على خط الأعداد من 0 إلى 30، مع وضع نقاط عند 5 و25 وتظليل المنطقة بينهما.

[5, 25]

← الحل يمثل جميع درجات الحرارة بين 5° و25° مئوية.

سلم التقدير

كتابة متباينة القيمة المطلقة بشكل صحيح	1 نقاط
حل المتباينة بشكل صحيح	1 نقاط
تمثيل الحل على خط الأعداد بشكل صحيح	1 نقاط

المسألة 4: ميزانية حفل مدرسي في الموصل (4 نقاط)

20 minأنظمة المتباينات الخطيةتمثيل الحل بيانياً

قرر طلاب الصف السادس الثانوي في مدرسة الرشيد في الموصل تنظيم حفل ختامي. لديهم ميزانية لا تتجاوز 1000000 دينار عراقي. يريدون شراء 100 كعكة سعر الكعكة الواحدة 5000 دينار، و 50 زجاجة عصير سعر الزجاجة 3000 دينار. إذا أرادوا شراء ديكور إضافي، فسيكلفهم 2000 دينار لكل قطعة. ما هو الحد الأقصى لعدد قطع الديكور التي يمكنهم شراؤها مع مراعاة الميزانية؟

عدد الكعكات: 100
سعر الكعكة الواحدة: 5000 دينار
عدد زجاجات العصير: 50
سعر الزجاجة الواحدة: 3000 دينار
سعر قطعة الديكور: 2000 دينار
الميزانية الكلية: 1000000 دينار

اكتب نظام متباينات يمثل هذا الموقف
مثل النظام بيانياً (ارسم المستوى الإحداثي)
ما هو الحل الأمثل لعدد قطع الديكور؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب نظام متباينات يمثل هذا الموقف

كتابة نظام المتباينات — المبلغ الكلي = 100×5000 + 50×3000 + 2000x ≤ 1000000. كما يجب أن يكون x ≥ 0.
$500000 + 150000 + 2000 x \leq 1000000 x \geq 0$

${\begin{matrix} 2000 x \leq 350000 \\ x \geq 0 \end{matrix}$

← نظام المتباينات هو: ${\begin{matrix} 2000 x \leq 350000 \\ x \geq 0 \end{matrix}$

السؤال 2 (2 نقاط) — مثل النظام بيانياً (ارسم المستوى الإحداثي)

تمثيل النظام بيانياً — نرسم المستوى الإحداثي مع x على المحور الأفقي (عدد قطع الديكور) وy على المحور العمودي (الميزانية المستخدمة). نضع خطاً أفقياً عند y = 1000000 ونرسم المنطقة تحت هذا الخط بدءاً من x = 0.

$المنطقة 0 \leq x \leq 175$

← تمثل المنطقة تحت الخط y=1000000 بدءاً من x=0 الحل الممكن.

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هو الحل الأمثل لعدد قطع الديكور؟

الحل الأمثل — الحل الأمثل هو أقصى عدد صحيح لـ x ضمن المجال، وهو 175 قطعة ديكور.
$x = 175$

$175 قطعة ديكور$

← يمكن للطلاب شراء 175 قطعة ديكور كحد أقصى.

سلم التقدير

كتابة نظام المتباينات بشكل صحيح	1 نقاط
تمثيل النظام بيانياً بشكل صحيح (مع وضع العلامات على المحاور)	2 نقاط
إيجاد الحل الأمثل بشكل صحيح	1 نقاط

المسألة 5: نمو بكتيريا في مختبر بغداد (3 نقاط)

15 minالمتباينات الأسيةحل متباينات غير خطية

في مختبر أبحاث في جامعة بغداد، يدرس الباحثون نمو بكتيريا معينة. عدد البكتيريا يتضاعف كل 2 ساعة. إذا بدأ الباحثون بـ 100 بكتيريا، فبعد كم ساعة سيصبح عدد البكتيريا أكبر من 1000 بكتيريا؟

العدد الأولي للبكتيريا: 100
معدل التضاعف: كل 2 ساعة
العدد المستهدف: 1000 بكتيريا

اكتب دالة تمثل عدد البكتيريا بعد t ساعة
اكتب متباينة تمثل الموقف
حل المتباينة لإيجاد t

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب دالة تمثل عدد البكتيريا بعد t ساعة

الدالة الأسية — عدد البكتيريا يتضاعف كل 2 ساعة، لذا بعد t ساعة، عدد مرات التضاعف هو t/2. الدالة هي 100 × 2^(t/2).
$N (t) = 100 \times 2^{t / 2}$

$N (t) = 100 \times 2^{t / 2}$

← الدالة هي: $N (t) = 100 \times 2^{t / 2}$

السؤال 2 (1 نقاط) — اكتب متباينة تمثل الموقف

كتابة المتباينة — نريد أن يكون عدد البكتيريا أكبر من 1000.
$100 \times 2^{t / 2} > 1000$

$100 \times 2^{t / 2} > 1000$

← المتباينة هي: $100 \times 2^{t / 2} > 1000$

السؤال 3 (1 نقاط) — حل المتباينة لإيجاد t

حل المتباينة — نقسم على 100 ثم نأخذ لوغاريتم الأساس 2. نستخدم أن log2(10) ≈ 3.32.
$2^{t / 2} > 10 \frac{t}{2} > \log_{2} 10 t > 6.64 ساعة$

$t > 6.64 ساعة$

← يجب أن ينتظر الباحثون أكثر من 6.64 ساعة، أي 7 ساعات تقريباً.

سلم التقدير

كتابة الدالة الأسية بشكل صحيح	1 نقاط
كتابة المتباينة بشكل صحيح	1 نقاط
حل المتباينة وحساب الوقت بشكل صحيح	1 نقاط

المسألة 6: مقارنة رواتب في المدن العراقية (3 نقاط)

15 minالمتباينات الخطيةتطبيقها في مسائل اقتصادية

في عام 2025، بلغ متوسط الراتب الشهري لموظف في وزارة المالية في بغداد 800000 دينار عراقي. بينما يبلغ متوسط الراتب لموظف في محافظة كركوك 3x + 200000 دينار، وفي محافظة ميسان 2x + 150000 دينار. إذا علمت أن راتب الموظف في بغداد أعلى من راتب الموظف في كركوك، وراتب الموظف في كركوك أعلى من راتب الموظف في ميسان، فما هي القيم الممكنة لـ x؟

راتب بغداد: 800000 دينار
راتب كركوك: 3x + 200000 دينار
راتب ميسان: 2x + 150000 دينار
راتب بغداد > راتب كركوك
راتب كركوك > راتب ميسان

اكتب نظام المتباينات الذي يمثل هذا الموقف
حل النظام
ما هي القيم الممكنة لـ x؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب نظام المتباينات الذي يمثل هذا الموقف

كتابة نظام المتباينات — الراتب في بغداد أعلى من كركوك، وكركوك أعلى من ميسان.
$800000 > 3 x + 200000 3 x + 200000 > 2 x + 150000$

${\begin{matrix} 800000 > 3 x + 200000 \\ 3 x + 200000 > 2 x + 150000 \end{matrix}$

← نظام المتباينات هو: ${\begin{matrix} 800000 > 3 x + 200000 \\ 3 x + 200000 > 2 x + 150000 \end{matrix}$

السؤال 2 (1 نقاط) — حل النظام

حل المتباينة الأولى — نحل المتباينة الأولى للحصول على الحد الأعلى لـ x.
$600000 > 3 x x < 200000$
حل المتباينة الثانية — نحل المتباينة الثانية للحصول على الحد الأدنى لـ x.
$x > - 50000$

$- 50000 < x < 200000$

← حل النظام هو: $- 50000 < x < 200000$

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هي القيم الممكنة لـ x؟

القيم الممكنة — بما أن الرواتب يجب أن تكون موجبة، فإن القيم الممكنة لـ x هي بين 0 و200000 دينار (لأن الرواتب السلبية غير منطقية في هذا السياق).
0 < x < 200000

0 < x < 200000

← القيم الممكنة لـ x هي بين 0 و200000 دينار عراقي.

سلم التقدير

كتابة نظام المتباينات بشكل صحيح	1 نقاط
حل النظام بشكل صحيح	1 نقاط
تحديد القيم الممكنة لـ x مع مراعاة السياق العملي	1 نقاط

المسألة 1: شراء مستلزمات المدرسة في بغداد (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب متباينة تمثل هذا الموقف

السؤال 2 (1 نقاط) — حل المتباينة

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هو الحل الصحيح في سياق المسألة؟

سلم التقدير

المسألة 2: مساحة حديقة منزل في البصرة (4 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب متباينة تمثل مساحة الحديقة

السؤال 2 (2 نقاط) — حل المتباينة

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هي القيم الممكنة لـ x مع مراعاة أن العرض يجب أن يكون موجباً؟

سلم التقدير

المسألة 3: درجات الحرارة في أربيل (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل درجات الحرارة

السؤال 2 (1 نقاط) — حل المتباينة

السؤال 3 (1 نقاط) — مثل الحل على خط الأعداد

سلم التقدير

المسألة 4: ميزانية حفل مدرسي في الموصل (4 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب نظام متباينات يمثل هذا الموقف

السؤال 2 (2 نقاط) — مثل النظام بيانياً (ارسم المستوى الإحداثي)

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هو الحل الأمثل لعدد قطع الديكور؟

سلم التقدير

المسألة 5: نمو بكتيريا في مختبر بغداد (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب دالة تمثل عدد البكتيريا بعد t ساعة

السؤال 2 (1 نقاط) — اكتب متباينة تمثل الموقف

السؤال 3 (1 نقاط) — حل المتباينة لإيجاد t

سلم التقدير

المسألة 6: مقارنة رواتب في المدن العراقية (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب نظام المتباينات الذي يمثل هذا الموقف

السؤال 2 (1 نقاط) — حل النظام

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هي القيم الممكنة لـ x؟

سلم التقدير

المصادر