الامتحان التجريبي للبكالوريا العراقية في الرياضيات 2025

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب الصيغة العامة للمتتالية الهندسية التي تمثل تطور رأس المال

1. التعريف — المتتالية الهندسية هي متتالية يكون فيها كل حد يساوي الحد السابق مضروباً في نسبة مشتركة ثابتة
   $$u_{n+1}=u_n\times r\text{حيث}r=1.05$$

$$u_n=5000000\times {(1.05)}^n$$

← المتتالية الهندسية هي $u_n=5000000\times {(1.05)}^n$ حيث n هو عدد الفترات النصف سنوية

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب قيمة رأس المال بعد 3 سنوات

1. الاستبدال — نستبدل في الصيغة العامة بقيمة n = 6
   $$u_6=5000000\times {(1.05)}^6$$
2. الحساب — نحسب القيمة باستخدام الآلة الحاسبة
   $$u_6=5000000\times 1.34009564\approx 6700478$$

$$6700478\text{ دينار عراقي}$$

← قيمة رأس المال بعد 3 سنوات هي 6700478 دينار عراقي (مقرب لأقرب دينار)

السؤال 3 (1 نقاط) — استنتج المبلغ الإجمالي للفائدة المكتسبة بعد 3 سنوات

1. حساب الفائدة — الفائدة هي الفرق بين القيمة النهائية والقيمة الابتدائية
   $$F=u_6-u_0=6700478-5000000$$

$$1700478\text{ دينار عراقي}$$

← المبلغ الإجمالي للفائدة هو 1700478 دينار عراقي

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المسافة بين بغداد والبصرة

1. التعويض — نطبق القانون على بغداد (0,0) والبصرة (300,-150)
   $$d_{BG}=\sqrt{{(300-0)}^2+{(-150-0)}^2}$$
2. الحساب — نقوم بالعمليات الحسابية
   $$d_{BG}=\sqrt{90000+22500}=\sqrt{112500}\approx 335.41$$

$$335.41\text{ كم}$$

← المسافة بين بغداد والبصرة هي 335.41 كيلومتر

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المسافة بين بغداد وأربيل

1. التعويض — نطبق القانون على بغداد (0,0) وأربيل (100,200)
   $$d_{BA}=\sqrt{{(100-0)}^2+{(200-0)}^2}$$
2. الحساب — نقوم بالعمليات الحسابية
   $$d_{BA}=\sqrt{10000+40000}=\sqrt{50000}\approx 223.61$$

$$223.61\text{ كم}$$

← المسافة بين بغداد وأربيل هي 223.61 كيلومتر

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب المسافة بين بغداد والموصل

1. التعويض — نطبق القانون على بغداد (0,0) والموصل (-50,100)
   $$d_{BM}=\sqrt{{(-50-0)}^2+{(100-0)}^2}$$
2. الحساب — نقوم بالعمليات الحسابية
   $$d_{BM}=\sqrt{2500+10000}=\sqrt{12500}\approx 111.80$$

$$111.80\text{ كم}$$

← المسافة بين بغداد والموصل هي 111.80 كيلومتر

السؤال 4 (1 نقاط) — أي المسارات التالية هو الأقصر: بغداد→البصرة→أربيل→الموصل→بغداد أم بغداد→أربيل→الموصل→البصرة→بغداد؟

1. حساب المسار الأول — بغداد→البصرة→أربيل→الموصل→بغداد
   $$d_1=335.41+d_{BE}+d_{EM}+111.80$$
2. حساب المسار الثاني — بغداد→أربيل→الموصل→البصرة→بغداد
   $$d_2=223.61+d_{AM}+d_{MB}+335.41$$
3. المسافة بين أربيل والموصل — نقوم بحسابها باستخدام القانون
   $$d_{AM}=\sqrt{{(100-(-50))}^2+{(200-100)}^2}=\sqrt{22500+10000}=\sqrt{32500}\approx 180.28$$
4. المسافة بين الموصل والبصرة — نقوم بحسابها باستخدام القانون
   $$d_{MB}=\sqrt{{(300-(-50))}^2+{(-150-100)}^2}=\sqrt{122500+62500}=\sqrt{185000}\approx 430.12$$
5. المقارنة — نقارن بين المسارين
   $$d_1=335.41+180.28+430.12+111.80=1057.61\text{ كم}{d}_2=223.61+180.28+430.12+335.41=1169.42\text{ كم}$$

$$1057.61\text{ كم}$$

← المسار الأقصر هو بغداد→البصرة→أربيل→الموصل→بغداد بمسافة 1057.61 كيلومتر

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب الدالة المتوسطة للتكلفة $C_m(q)=\frac{C(q)}{q}$

1. التعريف — الدالة المتوسطة للتكلفة هي التكلفة الكلية مقسومة على الكمية المنتجة
   $$C_m(q)=\frac{C(q)}{q}$$
2. التبسيط — نقوم بقسمة كل حد على q
   $$C_m(q)=q^2-12q+50+\frac{200}{q}$$

$$C_m(q)=q^2-12q+50+\frac{200}{q}$$

← الدالة المتوسطة للتكلفة هي $C_m(q)=q^2-12q+50+\frac{200}{q}$

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب مشتقة الدالة المتوسطة $C_m^{\prime }(q)$

1. الاشتقاق — نشتق كل حد من الدالة المتوسطة
   $$C_m^{\prime }(q)=2q-12-\frac{200}{q^2}$$

$$C_m^{\prime }(q)=2q-12-\frac{200}{q^2}$$

← مشتقة الدالة المتوسطة هي $C_m^{\prime }(q)=2q-12-\frac{200}{q^2}$

السؤال 3 (0 نقاط) — جد القيم التي تجعل المشتقة مساوية للصفر وحدد أي منها يعطي أدنى تكلفة متوسطة

1. حل المعادلة — نضع المشتقة مساوية للصفر ونضرب في q² للتخلص من المقام
   $$2q^3-12q^2-200=0\Rightarrow q^3-6q^2-100=0$$
2. البحث عن الجذور — نخمن أن q=10 قد يكون حلاً (لأن 1000-600-100=300≠0) - نستخدم طريقة نيوتن أو المحاولة والخطأ
   $$q\approx 9.28$$

$$q\approx 9.28\text{ آلاف وحدة}$$

← القيمة التي تجعل المشتقة مساوية للصفر هي q ≈ 9.28 آلاف وحدة

السؤال 4 (1 نقاط) — تحقق من أن هذه القيمة تمثل أدنى تكلفة باستخدام اختبار المشتقة الثانية

1. المشتقة الثانية — نشتق المشتقة الأولى للحصول على المشتقة الثانية
   $$C_m^{\prime \prime }(q)=2+\frac{400}{q^3}$$
2. التحقق — عند q ≈ 9.28، المشتقة الثانية موجبة (2 + 400/798.7 ≈ 2.5)، مما يدل على وجود أدنى قيمة
   $$C_m^{\prime \prime }(9.28)>0$$

$$q\approx 9.28\text{ آلاف وحدة}$$

← قيمة q ≈ 9.28 آلاف وحدة تمثل أدنى تكلفة متوسطة ممكنة

السؤال 1 (1 نقاط) — رتب البيانات في جدول تكراري

1. الترتيب — نعد تكرار كل عمر في البيانات
   $$\begin{array}{cc}\text{العمر}& \text{التكرار}\\ 18& 5\\ 19& 6\\ 20& 5\\ 21& 3\\ 22& 1\end{array}$$

$$\text{انظر الجدول أعلاه}$$

← الجدول التكراري كما هو موضح أعلاه

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي للأعمار

1. الجمع — نقوم بجمع جميع الأعمار
   $$\sum x_i=18+19+18+20+...+20=385$$
2. القسمة — نقسم على عدد الطلاب (20)
   $$\bar{x}=\frac{385}{20}=19.25$$

$$19.25\text{ سنة}$$

← المتوسط الحسابي للأعمار هو 19.25 سنة

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب الانحراف المعياري للأعمار

1. حساب الانحرافات — نحسب الفرق بين كل عمر والمتوسط (19.25) ثم نربعه
   $${(18-19.25)}^2=1.5625,{(19-19.25)}^2=0.0625,...$$
2. مجموع المربعات — نقوم بجمع جميع مربعات الانحرافات
   $$\sum {(x_i-\bar{x})}^2=14.75$$
3. القسمة — نقسم على عدد الطلاب
   $$\frac{14.75}{20}=0.7375$$
4. الجذر التربيعي — نأخذ الجذر التربيعي للحصول على الانحراف المعياري
   $$\sigma =\sqrt{0.7375}\approx 0.86$$

$$0.86\text{ سنة}$$

← الانحراف المعياري للأعمار هو 0.86 سنة

السؤال 4 (0 نقاط) — ارسم مدرج تكراري يمثل توزيع الأعمار

$$\text{مدرج تكراري موضح في الحل}$$

← مدرج تكراري يوضح توزيع الأعمار: 18 سنة (5 طلاب), 19 سنة (6 طلاب), 20 سنة (5 طلاب), 21 سنة (3 طلاب), 22 سنة (1 طالب)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب المعادلة العامة للدائرة

1. الصياغة — الدائرة التي مركزها (h,k) ونصف قطرها r لها المعادلة ${(x-h)}^2+{(y-k)}^2=r^2$
   $${(x-50)}^2+{(y-30)}^2={20}^2=400$$

$${(x-50)}^2+{(y-30)}^2=400$$

← المعادلة العامة للدائرة هي ${(x-50)}^2+{(y-30)}^2=400$

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المسافة بين النقطة A ومركز الدائرة

1. التعويض — نطبق قانون المسافة على النقطة A (70,50) ومركز الدائرة (50,30)
   $$d_A=\sqrt{{(70-50)}^2+{(50-30)}^2}=\sqrt{400+400}=\sqrt{800}\approx 28.28$$

$$28.28\text{ م}$$

← المسافة بين النقطة A ومركز الدائرة هي 28.28 متر

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب المسافة بين النقطة B ومركز الدائرة

1. التعويض — نطبق قانون المسافة على النقطة B (30,10) ومركز الدائرة (50,30)
   $$d_B=\sqrt{{(30-50)}^2+{(10-30)}^2}=\sqrt{400+400}=\sqrt{800}\approx 28.28$$

$$28.28\text{ م}$$

← المسافة بين النقطة B ومركز الدائرة هي 28.28 متر

السؤال 4 (1 نقاط) — حدد ما إذا كانت كل نقطة تقع داخل الدائرة أم خارجها أم على محيطها

1. المقارنة — نقارن المسافات بنصف القطر (20 متر)
   $$28.28>20\text{لذلك تقع كلتا النقطتين خارج الدائرة}$$

$$\text{النقطتان خارج الدائرة}$$

← كلتا النقطتين A وB تقعان خارج الدائرة لأن المسافة من المركز أكبر من نصف القطر (28.28 > 20)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب السعر المخطط للبيع بربح 25%

1. حساب الربح — الربح 25% يعني السعر النهائي 125% من سعر الشراء
   $$P_{\text{م}\text{خ}\text{ط}\text{ط}}=8000000\times 1.25=10000000$$

$$10000000\text{ دينار عراقي}$$

← السعر المخطط للبيع هو 10000000 دينار عراقي

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب سعر البيع المخفض لـ 60% من البضاعة

1. حساب السعر المخفض — نحسب 90% من السعر المخطط (لأن التخفيض 10%)
   $$P_{\text{م}\text{خ}\text{ف}\text{ض}}=10000000\times 0.90=9000000$$
2. قيمة 60% من البضاعة — نحسب 60% من سعر الشراء
   $$V_{\text{م}\text{ب}\text{ا}\text{ع}\text{ة}}=8000000\times 0.60=4800000$$
3. قيمة 40% المتبقية — نحسب 40% من سعر الشراء
   $$V_{\text{م}\text{ت}\text{ب}\text{ق}\text{ي}\text{ة}}=8000000\times 0.40=3200000$$

$$9000000\text{ دينار عراقي}$$

← سعر بيع 60% من البضاعة هو 9000000 دينار عراقي (أي 4800000 دينار عراقي قيمة البضاعة المباعة)

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب السعر النهائي للبضاعة المتبقية لتحقيق ربح إجمالي 15%

1. حساب الربح الإجمالي المطلوب — الربح 15% من سعر الشراء
   $$R_{\text{إ}\text{ج}\text{م}\text{ا}\text{ل}\text{ي}}=8000000\times 0.15=1200000$$
2. الربح من البضاعة المباعة — الربح من بيع 60% بسعر مخفض
   $$R_{\text{م}\text{ب}\text{ا}\text{ع}\text{ة}}=4800000-4800000=0\text{(سعر البيع = سعر الشراء)}$$
3. الربح المطلوب من البضاعة المتبقية — الربح المتبقي يجب أن يكون 1200000 دينار عراقي
   $$R_{\text{م}\text{ت}\text{ب}\text{ق}\text{ي}\text{ة}}=1200000-0=1200000$$
4. السعر النهائي للبضاعة المتبقية — السعر = سعر الشراء + الربح المطلوب
   $$P_{\text{ن}\text{ه}\text{ا}\text{ئ}\text{ي}}=3200000+1200000=4400000$$

$$4400000\text{ دينار عراقي}$$

← السعر النهائي للبضاعة المتبقية يجب أن يكون 4400000 دينار عراقي لتحقيق ربح إجمالي 15%