حلول نموذجية لامتحان الرياضيات البكالوريا العراقية 2025 | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

تحليل المسائل الرياضية المعقدة باستخدام المفاهيم الأساسية في الجبر والهندسة والإحصاء
تطبيق النظريات الرياضية على سيناريوهات واقعية في العراق مثل الاقتصاد والنقل والبناء
استخدام الدوال والعلاقات الرياضية لحل مشاكل عملية في الحياة اليومية للمجتمع العراقي
تفسير النتائج الرياضية والتحقق من صحتها في سياق المشكلات المطروحة
إعداد الطلاب لامتحانات البكالوريا المهنية من خلال التدريب على نماذج امتحانية واقعية

المتطلبات السابقة

الدوال العددية
الهندسة الفضائية
الإحصاء والاحتمالات
المعادلات التفاضلية

الوقت المقدر: 120 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل أنت مستعد لخوض امتحان البكالوريا المهنية في الرياضيات بثقة؟ هذا المقال هو تدريبك النهائي! لقد جمعنا لك ستة تمارين نموذجية تغطي جميع الأجزاء الرئيسية للبرنامج الدراسي، من الجبر إلى الإحصاء، مع حلول مفصلة خطوة بخطوة. كل تمرين مستوحى من واقع الحياة في العراق، سواء كان ذلك في حساب تكلفة بناء جسر في بغداد أو تحليل إنتاج التمور في البصرة. هيا نبدأ التحدي!

تمرين 1: الاحتمالات في مزارع النخيل (2 نقاط)

15 minالاحتمالاتالمتغيرات العشوائيةالقوانين الاحتمالية

في مزرعة نخيل في محافظة البصرة، تنتج 60% من الأشجار نوعاً معيناً من التمور. تم اختيار 5 أشجار عشوائياً. احسب احتمال أن يكون عدد الأشجار المنتجة لهذا النوع من التمور 3 أشجار بالضبط.

نسبة إنتاج نوع معين من التمور: 60%
عدد الأشجار المختارة: 5
عدد الأشجار المنتجة المرغوبة: 3

اكتب القانون الاحتمالي المستخدم لحل هذه المسألة
احسب الاحتمال المطلوب
ما هو احتمال أن يكون عدد الأشجار المنتجة لهذا النوع أقل من 3؟

الحل الكامل

السؤال 1 (0 نقاط) — اكتب القانون الاحتمالي المستخدم لحل هذه المسألة

التعريف — قانون الاحتمال الثنائي ينطبق هنا لأن الاختيار عشوائي ومستقل، وللأشجار نتيجتان محتملتان فقط (إنتاج النوع أو عدمه).
$X \sim B (n = 5, p = 0.6)$

$P (X = k) = C_{5}^{k} \times {0.6}^{k} \times {0.4}^{5 - k}$

← قانون الاحتمال الثنائي: $P (X = k) = C_{n}^{k} \times p^{k} \times {(1 - p)}^{n - k}$ حيث $n = 5$ و $p = 0.6$

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب الاحتمال المطلوب

حسابات — نحسب أولاً قيمة $C_{5}^{3}$ ثم نضرب في الاحتمالات. نستخدم آلة الحاسبة لحساب القيم.
$C_{5}^{3} = \frac{5!}{3! 2!} = 10$
الضرب — نقوم بضرب القيم للحصول على الاحتمال النهائي.
$P (X = 3) = 10 \times {(0.6)}^{3} \times {(0.4)}^{2} = 10 \times 0.216 \times 0.16 = 0.3456$

$0.3456$

← الاحتمال المطلوب هو 0.3456 أو 34.56%

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هو احتمال أن يكون عدد الأشجار المنتجة لهذا النوع أقل من 3؟

حسابات متتالية — نحسب الاحتمالات الثلاث المطلوبة ثم نجمعها.
$P (X = 0) = C_{5}^{0} \times {(0.6)}^{0} \times {(0.4)}^{5} = 1 \times 1 \times 0.01024 = 0.01024$
الاحتمال الثاني — نقوم بنفس العملية للحالة الثانية.
$P (X = 1) = C_{5}^{1} \times {(0.6)}^{1} \times {(0.4)}^{4} = 5 \times 0.6 \times 0.0256 = 0.0768$
الاحتمال الثالث — ثم الحالة الثالثة.
$P (X = 2) = C_{5}^{2} \times {(0.6)}^{2} \times {(0.4)}^{3} = 10 \times 0.36 \times 0.064 = 0.2304$
الجمع — نقوم بجمع الاحتمالات الثلاثة للحصول على النتيجة النهائية.
$P (X < 3) = 0.01024 + 0.0768 + 0.2304 = 0.31744$

$0.31744$

← الاحتمال أن يكون عدد الأشجار المنتجة أقل من 3 هو 0.31744 أو 31.74%

سلم التقدير

استخدام القانون الاحتمالي الصحيح	1 نقاط
حسابات صحيحة ودقيقة	1 نقاط

تمرين 2: الدوال الأسية والنمو السكاني (3 نقاط)

20 minالدوال الأسيةالنمو المستمرالقيم النهائية

في مدينة أربيل، بلغ عدد السكان 1.5 مليون نسمة في عام 2020. إذا كان معدل النمو السنوي 2.5% سنوياً، فما هو عدد السكان المتوقع في عام 2030؟

عدد السكان في 2020: 1.5 مليون نسمة
معدل النمو السنوي: 2.5%
عدد السنوات: 10 سنوات

اكتب الدالة $P (t)$ التي تمثل عدد السكان بعد $t$ سنة من 2020
احسب عدد السكان المتوقع في 2030
في أي سنة يصل عدد السكان إلى 2 مليون نسمة؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب الدالة $P (t)$ التي تمثل عدد السكان بعد $t$ سنة من 2020

الاشتقاق — نشتق الدالة بناءً على قانون النمو الأسي المستمر. نحول معدل النمو السنوي إلى شكل أسي.
$r = 0.025 \Rightarrow P (t) = P_{0} e^{r t}$

$P (t) = 1.5 \times 10^{6} \times e^{0.025 t}$

← الدالة هي $P (t) = 1.5 \times 10^{6} \times e^{0.025 t}$ حيث $t$ هو عدد السنوات بعد 2020

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب عدد السكان المتوقع في 2030

التعويض — نقوم بتعويض القيم في الدالة.
$P (10) = 1.5 \times 10^{6} \times e^{0.25}$
الحساب — نستخدم آلة الحاسبة للحصول على القيمة النهائية.
$e^{0.25} \approx 1.2840 \Rightarrow P (10) \approx 1.5 \times 10^{6} \times 1.2840 = 1.926 \times 10^{6}$

$1.926 \times 10^{6}$

← عدد السكان المتوقع في 2030 هو حوالي 1.926 مليون نسمة

السؤال 3 (1 نقاط) — في أي سنة يصل عدد السكان إلى 2 مليون نسمة؟

المعادلة — نبدأ بالمعادلة ونقسم الطرفين على $1.5 \times 10^{6}$ .
$\frac{2 \times 10^{6}}{1.5 \times 10^{6}} = e^{0.025 t} \Rightarrow \frac{4}{3} = e^{0.025 t}$
اللوغاريتم — نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين لحل المعادلة.
$\ln (\frac{4}{3}) = 0.025 t \Rightarrow t = \frac{\ln (4 / 3)}{0.025}$
الحساب — نقوم بحساب القيمة النهائية.
$t \approx \frac{0.287682}{0.025} \approx 11.51 سنة$
السنة — نضيف 11.51 سنة إلى 2020 للحصول على السنة المطلوبة.
$2020 + 11.51 \approx 2031.51 \Rightarrow e x t أ و ا ئ ل 2032$

$2032$

← يصل عدد السكان إلى 2 مليون نسمة في أواسط عام 2031 (أو أوائل 2032)

سلم التقدير

كتابة الدالة بشكل صحيح	1 نقاط
حسابات النمو الأسي صحيحة	1 نقاط
حل المعادلة لإيجاد السنة بشكل صحيح	1 نقاط

تمرين 3: الهندسة الفضائية وحجم الخزانات (4 نقاط)

25 minالهندسة الفضائيةحجوم المجسماتنظرية فيثاغورس

في مصنع للمواد الكيميائية في الموصل، تم تصميم خزان أسطواني بارتفاع 8 أمتار وقطر القاعدة 6 أمتار. تم وضع غطاء نصف كروي فوق الخزان. احسب الحجم الكلي للخزان.

ارتفاع الخزان الأسطواني: 8 أمتار
قطر القاعدة: 6 أمتار
الغطاء نصف كروي بنفس قطر القاعدة

احسب حجم الجزء الأسطواني
احسب حجم الغطاء نصف الكروي
احسب الحجم الكلي للخزان

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب حجم الجزء الأسطواني

الحساب — نقوم بتعويض القيم في القانون.
$V_{اسطوانة} = π \times 9 \times 8 = 72 π م^{3}$

$72 π م^{3}$

← حجم الجزء الأسطواني هو $72 π$ متر مكعب

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب حجم الغطاء نصف الكروي

حجم الكرة الكاملة — نحسب أولاً حجم الكرة الكاملة ثم نقسم على 2.
$V_{كرة} = \frac{4}{3} π \times 27 = 36 π م^{3}$
نصف الكرة — نقسم على 2 للحصول على حجم الغطاء.
$V_{نصف كرة} = 18 π م^{3}$

$18 π م^{3}$

← حجم الغطاء نصف الكروي هو $18 π$ متر مكعب

السؤال 3 (2 نقاط) — احسب الحجم الكلي للخزان

الجمع — نجمع حجمي الجزأين للحصول على الحجم الكلي.
$V_{كلي} = 72 π + 18 π = 90 π م^{3}$
التقريب — نقرب القيمة باستخدام $π \approx 3.1416$ .
$V_{كلي} \approx 90 \times 3.1416 = 282.744 م^{3}$

$90 π م^{3} أو 282.744 م^{3}$

← الحجم الكلي للخزان هو $90 π$ متر مكعب أو 282.744 متر مكعب تقريباً

سلم التقدير

استخدام قوانين الحجوم الصحيحة	1 نقاط
حسابات صحيحة ودقيقة	2 نقاط
وحدة القياس صحيحة	1 نقاط

تمرين 4: المعادلات التفاضلية والتبريد (3 نقاط)

20 minالمعادلات التفاضليةقانون نيوتن للتبريدحل المعادلات

درجة حرارة قطعة من الحديد في بغداد هي 80 درجة مئوية عند الساعة 2 ظهراً. بعد 30 دقيقة، انخفضت إلى 60 درجة مئوية. إذا كانت درجة حرارة المحيط ثابتة عند 25 درجة مئوية، فكم ستكون درجة حرارة القطعة بعد ساعتين من الساعة 2 ظهراً؟ (استخدم قانون نيوتن للتبريد: $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{محيط})$ )

درجة الحرارة الابتدائية: 80 درجة مئوية
درجة حرارة المحيط: 25 درجة مئوية
درجة الحرارة بعد 30 دقيقة: 60 درجة مئوية
الزمن المطلوب: ساعتين من الساعة 2 ظهراً

اكتب المعادلة التفاضلية لحالة التبريد هذه
جد ثابت التبريد $k$
احسب درجة الحرارة بعد ساعتين من الساعة 2 ظهراً

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب المعادلة التفاضلية لحالة التبريد هذه

الاشتقاق — نكتب المعادلة التفاضلية بناءً على قانون نيوتن للتبريد مع القيم المعطاة.
$\frac{d T}{d t} = - k (T - 25)$

$\frac{d T}{d t} = - k (T - 25)$

← المعادلة التفاضلية هي $\frac{d T}{d t} = - k (T - 25)$ حيث $T$ هي درجة الحرارة و $t$ هو الزمن

السؤال 2 (1 نقاط) — جد ثابت التبريد $k$

الحل العام — نكتب الحل العام للمعادلة التفاضلية.
$T (t) = 25 + 55 e^{- k t}$
تعويض البيانات — نستخدم t=0.5 ساعة وT=60 درجة مئوية.
$60 = 25 + 55 e^{- 0.5 k} \Rightarrow 35 = 55 e^{- 0.5 k}$
حل المعادلة — نقسم ثم نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لحل المعادلة.
$e^{- 0.5 k} = \frac{35}{55} = \frac{7}{11} \Rightarrow - 0.5 k = \ln (\frac{7}{11})$
القيمة النهائية — نقوم بحساب القيمة النهائية لـ k.
$k = - 2 \ln (\frac{7}{11}) \approx 0.9027$

$k \approx 0.9027$

← قيمة ثابت التبريد $k$ هي تقريباً 0.9027 ساعة⁻¹

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب درجة الحرارة بعد ساعتين من الساعة 2 ظهراً

التعويض في الدالة — نستخدم الدالة مع t=2 ساعة وقيمة k المحسوبة.
$T (2) = 25 + 55 e^{- 0.9027 \times 2} = 25 + 55 e^{- 1.8054}$
الحساب — نحسب القيمة النهائية باستخدام آلة الحاسبة.
$e^{- 1.8054} \approx 0.1645 \Rightarrow T (2) = 25 + 55 \times 0.1645 \approx 25 + 9.0475 = 34.0475$

$34.05 ° C$

← درجة الحرارة بعد ساعتين من الساعة 2 ظهراً ستكون حوالي 34.05 درجة مئوية

سلم التقدير

كتابة المعادلة التفاضلية بشكل صحيح	1 نقاط
إيجاد ثابت التبريد k بشكل صحيح	1 نقاط
حساب درجة الحرارة النهائية بشكل صحيح	1 نقاط

تمرين 5: الإحصاء وتحليل الدرجات (4 نقاط)

25 minالإحصاء الوصفيالمتوسط الحسابيالانحراف المعياريالمدرجات التكرارية

في مدرسة مهنية في بغداد، تم تسجيل درجات 10 طلاب في مادة الرياضيات كما يلي: 78، 82، 65، 90، 74، 88، 92، 70، 85، 77. احسب المتوسط الحسابي والوسيط والانحراف المعياري للدرجات.

درجات الطلاب: 78، 82، 65، 90، 74، 88، 92، 70، 85، 77
عدد الطلاب: 10

رتب الدرجات بترتيب تصاعدي
احسب المتوسط الحسابي
احسب الوسيط
احسب الانحراف المعياري

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — رتب الدرجات بترتيب تصاعدي

الترتيب — نقوم بترتيب الدرجات بشكل تصاعدي.
65, 70, 74, 77, 78, 82, 85, 88, 90, 92

65, 70, 74, 77, 78, 82, 85, 88, 90, 92

← الدرجات مرتبة: 65، 70، 74، 77، 78، 82، 85، 88، 90، 92

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي

المجموع — نحسب مجموع جميع الدرجات.
$78 + 82 + 65 + 90 + 74 + 88 + 92 + 70 + 85 + 77 = 801$
المتوسط — نقسم المجموع على عدد الطلاب (10).
$المتوسط = \frac{801}{10} = 80.1$

$80.1$

← المتوسط الحسابي للدرجات هو 80.1

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب الوسيط

الوسيط — نجد القيمتين الوسطيتين (الخامسة والسادسة) ثم نأخذ متوسطهما.
$الوسيط = \frac{78 + 82}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$80$

← الوسيط للدرجات هو 80

السؤال 4 (1 نقاط) — احسب الانحراف المعياري

الانحرافات — نحسب انحراف كل درجة عن المتوسط (80.1) ثم نربعها.
${(78 - 80.1)}^{2} = 4.41, {(82 - 80.1)}^{2} = 3.61, \dots$
المجموع — نجمع مربعات الانحرافات.
$\sum {(x_{i} - \overline{x})}^{2} = 4.41 + 3.61 + 228.01 + 98.01 + 37.21 + 62.41 + 141.61 + 102.01 + 23.01 + 9.61 = 706.9$
الانحراف المعياري — نقسم على n-1=9 ثم نأخذ الجذر التربيعي.
$s = \sqrt{\frac{706.9}{9}} = \sqrt{78.544} \approx 8.86$

$8.86$

← الانحراف المعياري للدرجات هو 8.86 تقريباً

سلم التقدير

ترتيب الدرجات بشكل صحيح	1 نقاط
حساب المتوسط والوسيط بشكل صحيح	2 نقاط
حساب الانحراف المعياري بشكل صحيح	1 نقاط

تمرين 6: البرمجة الخطية وتكاليف النقل (4 نقاط)

30 minالبرمجة الخطيةالدوال الخطيةالمسائل الاقتصادية

لدى شركة نقل في أربيل شاحنتان لنقل البضائع. الشاحنة الأولى يمكنها نقل 5 أطنان من البصرة إلى بغداد بتكلفة 200000 دينار عراقي. الشاحنة الثانية يمكنها نقل 3 أطنان من الموصل إلى بغداد بتكلفة 150000 دينار عراقي. إذا كانت الشركة تريد نقل 8 أطنان إلى بغداد، فما هي الطريقة الأقل تكلفة؟ (افترض أن جميع الكميات مطلوبة)

الشاحنة الأولى: 5 أطنان، 200000 دينار من البصرة إلى بغداد
الشاحنة الثانية: 3 أطنان، 150000 دينار من الموصل إلى بغداد
الكمية المطلوبة: 8 أطنان إلى بغداد

اكتب الدوال التكاليف لكل شاحنة
حدد الخطة المثلى لنقل 8 أطنان
احسب التكلفة الإجمالية للخطة المثلى

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب الدوال التكاليف لكل شاحنة

الدوال — نحسب تكلفة الطن لكل شاحنة ثم نكتب الدوال الخطية.
$C_{1} (x) = \frac{200000}{5} x = 40000 x و C_{2} (y) = \frac{150000}{3} y = 50000 y$

$C_{1} (x) = 40000 x دينار, C_{2} (y) = 50000 y دينار$

← دوال التكاليف: $C_{1} (x) = 40000 x$ دينار و $C_{2} (y) = 50000 y$ دينار

السؤال 2 (1 نقاط) — حدد الخطة المثلى لنقل 8 أطنان

القيود — نحدد القيود بناءً على سعة كل شاحنة.
$x + y = 8, x \leq 5, y \leq 3$
الحلول الممكنة — نجد أن الحل الوحيد الممكن هو $x = 5$ و $y = 3$ لأن أي حل آخر يتجاوز سعة إحدى الشاحنتين.
$(x, y) = (5,3)$

$5 أطنان بالشاحنة الأولى, 3 أطنان بالشاحنة الثانية$

← الخطّة المثلى هي نقل 5 أطنان بالشاحنة الأولى (من البصرة) و3 أطنان بالشاحنة الثانية (من الموصل)

السؤال 3 (2 نقاط) — احسب التكلفة الإجمالية للخطة المثلى

التكلفة — نحسب التكلفة الإجمالية باستخدام الدوال.
$C_{إجمالي} = 40000 \times 5 + 50000 \times 3 = 200000 + 150000 = 350000$

$350000 دينار عراقي$

← التكلفة الإجمالية للخطّة المثلى هي 350000 دينار عراقي

سلم التقدير

كتابة الدوال التكاليف بشكل صحيح	1 نقاط
تحديد الخطة المثلى ضمن القيود	1 نقاط
حساب التكلفة الإجمالية بشكل صحيح	2 نقاط

تمرين 1: الاحتمالات في مزارع النخيل (2 نقاط)

السؤال 1 (0 نقاط) — اكتب القانون الاحتمالي المستخدم لحل هذه المسألة

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب الاحتمال المطلوب

السؤال 3 (1 نقاط) — ما هو احتمال أن يكون عدد الأشجار المنتجة لهذا النوع أقل من 3؟

سلم التقدير

تمرين 2: الدوال الأسية والنمو السكاني (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب الدالة P(t) التي تمثل عدد السكان بعد t سنة من 2020

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب عدد السكان المتوقع في 2030

السؤال 3 (1 نقاط) — في أي سنة يصل عدد السكان إلى 2 مليون نسمة؟

سلم التقدير

تمرين 3: الهندسة الفضائية وحجم الخزانات (4 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب حجم الجزء الأسطواني

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب حجم الغطاء نصف الكروي

السؤال 3 (2 نقاط) — احسب الحجم الكلي للخزان

سلم التقدير

تمرين 4: المعادلات التفاضلية والتبريد (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب المعادلة التفاضلية لحالة التبريد هذه

السؤال 2 (1 نقاط) — جد ثابت التبريد k

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب درجة الحرارة بعد ساعتين من الساعة 2 ظهراً

سلم التقدير

تمرين 5: الإحصاء وتحليل الدرجات (4 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — رتب الدرجات بترتيب تصاعدي

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب الوسيط

السؤال 4 (1 نقاط) — احسب الانحراف المعياري

سلم التقدير

تمرين 6: البرمجة الخطية وتكاليف النقل (4 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب الدوال التكاليف لكل شاحنة

السؤال 2 (1 نقاط) — حدد الخطة المثلى لنقل 8 أطنان

السؤال 3 (2 نقاط) — احسب التكلفة الإجمالية للخطة المثلى

سلم التقدير

المصادر

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب الدالة $P (t)$ التي تمثل عدد السكان بعد $t$ سنة من 2020

السؤال 2 (1 نقاط) — جد ثابت التبريد $k$