إمتحان البكالوريا العراقي: الرياضيات ٢٠٢٥ - تدريب شامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب دالة الربح π(p) بدلالة p

1. صياغة دالة الربح — الربح = الدخل - التكلفة. نضع المعادلتين معاً
   $$\pi (p)=(-2p^2+400000p)-(150000p+5000000)$$
2. التبسيط النهائي — بعد طرح الحدود، نحصل على الدالة النهائية للربح
   $$\pi (p)=-2p^2+250000p-5000000$$

$$\pi (p)=-2p^2+250000p-5000000$$

← دالة الربح هي π(p) = -2p² + 250000p - 5000000

السؤال 2 (1 نقاط) — جد قيمة p التي تحقق أقصى ربح باستخدام طريقة إكمال المربع أوVertex formula

1. استخدام صيغة الرأس — لدالة تربيعية $a{x}^2+bx+c$، السعر الأمثل عند الرأس هو p = -b/(2a)
   $$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{250000}{2\times (-2)}$$
2. الحساب النهائي — نحسب القيمة العددية للسعر الأمثل
   $$p=\frac{250000}{4}=62500$$

$$62500$$

← السعر الأمثل هو ٦٢٥٠٠ دينار عراقي للقلادة الواحدة

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب أقصى ربح يومي ممكن

1. تعويض السعر الأمثل في دالة الربح — نضع p = 62500 في دالة الربح لحساب أقصى ربح ممكن
   $$\pi (62500)=-2{(62500)}^2+250000(62500)-5000000$$
2. الحساب النهائي — نقوم بالحسابات خطوة بخطوة للحصول على القيمة النهائية للربح
   $$\pi (62500)=-2(3906250000)+15625000000-5000000=-7812500000+15625000000-5000000$$

$$780750000$$

← أقصى ربح يومي ممكن هو ٧٨٠٧٥٠٠٠٠ دينار عراقي

السؤال 4 (1 نقاط) — ما هو السعر الأمثل لبيع القلادة لتحقيق هذا الربح؟

1. استنتاج السعر الأمثل — السعر الأمثل هو نفس القيمة التي وجدناها في السؤال الثاني، حيث تحقق أقصى ربح
   $$p_{\text{أمثل}}=62500$$

$$62500$$

← السعر الأمثل لبيع القلادة هو ٦٢٥٠٠ دينار عراقي

السؤال 1 (0 نقاط) — ارسم شكلاً توضيحياً يبين الزقورة والطالب وزاوية الارتفاع

1. الرسم البياني — المثلث القائم الزاوية: قاعدة = ١٠٠ م (المسافة)، ارتفاع = h (ارتفاع الزقورة)، زاوية عند القاعدة = ٣٥°

← رسم مثلث قائم الزاوية بزاوية ٣٥°، قاعدة ١٠٠ م، وارتفاع مجهول h

السؤال 2 (1 نقاط) — اكتب العلاقة المثلثية التي تربط بين ارتفاع الزقورة والمسافة وزاوية الارتفاع

1. تعريف العلاقة المثلثية — في المثلث القائم، ظل الزاوية = طول الضلع المقابل / طول الضلع المجاور
   $$\tan (\theta )=\frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}$$
2. تطبيق على المسألة — نضع θ = ٣٥°، المقابل = h، المجاور = ١٠٠ م
   $$\tan ({35}^{\circ })=\frac{h}{100}$$

$$\tan ({35}^{\circ })=\frac{h}{100}$$

← العلاقة هي tan(٣٥°) = h/100

السؤال 3 (2 نقاط) — احسب ارتفاع الزقورة باستخدام الدالة المثلثية المناسبة

1. حل المعادلة — نضرب طرفي المعادلة في ١٠٠ للحصول على ارتفاع الزقورة
   $$h=100\times \tan ({35}^{\circ })$$
2. الحساب — نستخدم الآلة الحاسبة لحساب القيمة: tan(٣٥°) ≈ ٠.٧٠٠٢
   $$h\approx 100\times 0.7002=70.02$$

$$70$$

← ارتفاع الزقورة هو ٧٠ متراً (مقرباً إلى أقرب متر)

السؤال 4 (1 نقاط) — إذا كان ارتفاع الطالب ١.٧ متر، فكيف يتغير ارتفاع الزقورة المحسوب؟

1. إضافة ارتفاع الطالب — إذا كان ارتفاع الطالب ١.٧ م، فإن الارتفاع الكلي يصبح مجموع ارتفاع الزقورة وارتفاع الطالب
   $$h_{\text{إجمالي}}=h+1.7=70+1.7$$

$$71.7$$

← الارتفاع الكلي يصبح ٧١.٧ متراً

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي لدرجات الطلاب في كل من المدن الأربع

1. المتوسط لبغداد — نجمع الدرجات: ٦٥+٧٠+٧٥+٨٠+٨٥ = ٣٧٥، ثم نقسم على ٥
   $${\mu }_{\text{بغداد}}=\frac{375}{5}=75$$
2. المتوسط للبصرة — نجمع الدرجات: ٥٥+٦٠+٦٥+٧٠+٧٥ = ٣٢٥، ثم نقسم على ٥
   $${\mu }_{\text{بصرة}}=\frac{325}{5}=65$$
3. المتوسط لإربيل — نجمع الدرجات: ٧٠+٧٥+٨٠+٨٥+٩٠ = ٤٠٠، ثم نقسم على ٥
   $${\mu }_{\text{إربيل}}=\frac{400}{5}=80$$
4. المتوسط للموصل — نجمع الدرجات: ٥٠+٥٥+٦٠+٦٥+٧٠ = ٣٠٠، ثم نقسم على ٥
   $${\mu }_{\text{موصل}}=\frac{300}{5}=60$$

$${\mu }_{\text{بغداد}}=75,{\mu }_{\text{بصرة}}=65,{\mu }_{\text{إربيل}}=80,{\mu }_{\text{موصل}}=60$$

← المتوسطات هي: بغداد ٧٥، البصرة ٦٥، إربيل ٨٠، الموصل ٦٠

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب الانحراف المعياري لدرجات بغداد

1. حساب الفروق عن المتوسط — نحسب الفرق بين كل درجة والمتوسط (٧٥): ٦٥-٧٥=-١٠، ٧٠-٧٥=-٥، ٧٥-٧٥=٠، ٨٠-٧٥=٥، ٨٥-٧٥=١٠
   $$x_i-\mu :-10,-5,0,5,10$$
2. تربيع الفروق — نربع كل فرق: (-١٠)²=١٠٠، (-٥)²=٢٥، ٠²=٠، ٥²=٢٥، ١٠²=١٠٠
   $${(x_i-\mu )}^2:100,25,0,25,100$$
3. مجموع المربعات — نجمع المربعات: ١٠٠+٢٥+٠+٢٥+١٠٠ = ٢٥٠
   $$\sum {(x_i-\mu )}^2=250$$
4. حساب الانحراف المعياري — نقسم على عدد الطلاب (٥) ثم نأخذ الجذر التربيعي
   $$\sigma =\sqrt{\frac{250}{5}}=\sqrt{50}\approx 7.07$$

$$\sigma \approx 7.07$$

← الانحراف المعياري لدرجات بغداد هو ٧.٠٧ تقريباً

السؤال 3 (1 نقاط) — أي مدينة كانت نتائجها أكثر تجانساً؟ علل إجابتك

1. حساب الانحرافات للمدن الأخرى — نكرر العملية لكل مدينة. البصرة: متوسط ٦٥، الفروق: -١٠، -٥، ٠، ٥، ١٠ → نفس الانحراف ٧.٠٧. إربيل: متوسط ٨٠، الفروق: -١٠، -٥، ٠، ٥، ١٠ → نفس الانحراف. الموصل: متوسط ٦٠، الفروق: -١٠، -٥، ٠، ٥، ١٠ → نفس الانحراف
   $${\sigma }_{\text{جميع المدن}}\approx 7.07$$
2. التجانس — جميع المدن لها نفس الانحراف المعياري تقريباً، مما يعني أن نتائجها متساوية في درجة التجانس

$$\text{جميع المدن متساوية في التجانس}$$

← جميع المدن الأربع كانت نتائجها متساوية في درجة التجانس (الانحراف المعياري ≈ ٧.٠٧)

السؤال 4 (1 نقاط) — ما هي النسبة المئوية للطلاب الذين حصلوا على ٧٥ درجة أو أكثر في بغداد؟

1. عدد الطلاب الذين حصلوا على ٧٥ أو أكثر — في بغداد، الدرجات التي ≥٧٥ هي: ٧٥، ٨٠، ٨٥ → ٣ طلاب من ٥
   $$\text{ع}\text{د}\text{د}\text{ا}\text{ل}\text{ط}\text{ل}\text{ا}\text{ب}=3,\text{إجمالي الطلاب}=5$$
2. حساب النسبة المئوية — نقسم عدد الطلاب على الإجمالي ثم نضرب في ١٠٠
   $$\text{النسبة}=\frac{3}{5}\times 100=60\%$$

$$60\%$$

← ٦٠% من الطلاب في بغداد حصلوا على ٧٥ درجة أو أكثر

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب نظام المعادلات الذي يمثل situation

1. النظام الأولي — نكتب المعادلتين بناءً على شراء أحمد وسارة
   $$3x+2y=1800005x+4y=320000$$

$$3x+2y=1800005x+4y=320000$$

← النظام: 3x + 2y = 180000 و 5x + 4y = 320000

السؤال 2 (2 نقاط) — حل النظام باستخدام طريقة الحذف أو التعويض

1. ضرب المعادلة الأولى — نضرب المعادلة الأولى في ٢ للحصول على ٤y في كلتا المعادلتين
   $$2\times (3x+2y)=2\times 180000\Rightarrow 6x+4y=360000$$
2. طرح المعادلتين — نطرح المعادلة الثانية الأصلية من المعادلة الجديدة: (6x+4y) - (5x+4y) = 360000 - 320000
   $$x=40000$$
3. تعويض قيمة x — نضع x = 40000 في المعادلة الأولى لحساب y
   $$3(40000)+2y=180000\Rightarrow 120000+2y=180000$$
4. حساب y — نطرح ١٢٠٠٠٠ من كلا الطرفين ثم نقسم على ٢
   $$2y=60000\Rightarrow y=30000$$

$$x=40000\text{ دينار/كغم طماطم}y=30000\text{ دينار/كغم باذنجان}$$

← سعر الطماطم ٤٠٠٠٠ دينار/كغم، وسعر الباذنجان ٣٠٠٠٠ دينار/كغم

السؤال 3 (0 نقاط) — إذا كان لدى محمد ٢٠٠٠٠٠ دينار لشراء ١ كغم طماطم و ١ كغم باذنجان، فهل يكفيه المبلغ؟

1. حساب تكلفة الشراء — محمد يريد شراء ١ كغم طماطم و ١ كغم باذنجان. نجمع السعرين
   $$40000+30000=70000$$
2. مقارنة بالمبلغ المتوفر — محمد معه ٢٠٠٠٠٠ دينار، وسعر الشراء ٧٠٠٠٠ دينار. ٢٠٠٠٠٠ > ٧٠٠٠٠ لذلك يكفيه المبلغ
   200000 > 70000

$$\text{نعم، يكفي المبلغ}$$

← نعم، يكفي محمد المبلغ لشراء ١ كغم من كل منهما

السؤال 4 (1 نقاط) — ما هو المبلغ المتبقي أو الناقص؟

1. حساب المبلغ المتبقي — نطرح تكلفة الشراء من المبلغ المتوفر
   $$200000-70000=130000$$

$$130000\text{ دينار}$$

← المبلغ المتبقي مع محمد بعد الشراء هو ١٣٠٠٠٠ دينار