البكالوريا العراقية 2025 - الرياضيات: متتاليات ونمذجة اقتصادية | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

حل مسائل المتتاليات الحسابية والهندسية في سياقات اقتصادية محلية
تطبيق الدوال الأسية واللوغاريتمية في نماذج النمو السكاني والاقتصادي العراقي
استخدام الإحصاء الوصفي في تحليل بيانات حقيقية من محافظات عراقية
إيجاد القيم القصوى للدوال في مسائل هندسية واقتصادية
التحقق من صحة الحلول باستخدام طرق مختلفة والتفسير الاقتصادي للنتائج

المتطلبات السابقة

المتتاليات الحسابية
الدوال الأسية
الإحصاء الوصفي
حساب التفاضل

الوقت المقدر: 120 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل تساءلت يوماً كيف يمكن للرياضيات أن تحل مشاكل حقيقية تواجه بلدنا العراق؟ من تخطيط الطرق بين بغداد والموصل إلى حساب تكلفة مشاريع الإسكان في البصرة، تلعب الرياضيات دوراً حيوياً في اتخاذ القرارات الاقتصادية والاجتماعية. في هذا الامتحان التدريبي، سنختبر قدرتك على تطبيق المفاهيم الرياضية على سيناريوهات حقيقية من مدننا: بغداد، البصرة، أربيل، والموصل. خذ قهوتك (أو شايك) وابدأ الحل مع التركيز على الدقة - فالأرقام هنا تمثل واقعاً عراقياً ملموساً!

التمرين 1: استثمار مشروع سكني في البصرة (8 نقاط)

25 minالمتتاليات الحسابيةالفوائد المركبةالدوال الخطية

قررت شركة عراقية استثمار 50 مليون دينار عراقي في مشروع إسكان في محافظة البصرة. يتوقع أن تزداد الاستثمارات السنوية بمقدار 3 ملايين دينار عراقي بشكل منتظم. إذا علمت أن العائد السنوي على الاستثمار يبلغ 8% مركب سنوياً، فما هو إجمالي رأس المال بعد 5 سنوات؟

رأس المال الأولي = 50 000 000 دينار عراقي
الزيادة السنوية في الاستثمار = 3 000 000 دينار عراقي
العائد السنوي = 8%
المدة الزمنية = 5 سنوات

اكتب المتتالية الحسابية التي تمثل الاستثمار السنوي في السنوات الخمس
احسب رأس المال الإجمالي في نهاية السنة الخامسة قبل احتساب الفوائد
احسب القيمة المستقبلية لكل استثمار على حدة باستخدام الفائدة المركبة
جد إجمالي رأس المال في نهاية السنة الخامسة بعد إضافة جميع الفوائد

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المتتالية الحسابية التي تمثل الاستثمار السنوي في السنوات الخمس

صيغة المتتالية — الاستثمار السنوي يتزايد بمقدار ثابت كل سنة
$u_{n} = 50 000 000 + n \times 3 000 000$

$u_{n} = 50 000 000 + 3 000 000 n$

← $u_{n}$ = 50 000 000 + 3 000 000n

السؤال 2 (2 نقاط) — احسب رأس المال الإجمالي في نهاية السنة الخامسة قبل احتساب الفوائد

مجموع المتتالية — استخدم قانون مجموع المتتالية الحسابية لمدة 5 سنوات
$S_{5} = \frac{5}{2} \times (u_{0} + u_{4}) = \frac{5}{2} \times (50 000 000 + 62 000 000)$

$280 000 000 دينار عراقي$

← 280 مليون دينار عراقي

السؤال 3 (3 نقاط) — احسب القيمة المستقبلية لكل استثمار على حدة باستخدام الفائدة المركبة

حساب كل قيمة مستقبلية — طبق صيغة الفائدة المركبة على كل استثمار لمدة السنوات المتبقية
$A_{0} = 50 000 000 \times {1.08}^{5} = 73 466 404.48 A_{1} = 53 000 000 \times {1.08}^{4} = 72 756 117.12 A_{2} = 56 000 000 \times {1.08}^{3} = 71 989 141.12 A_{3} = 59 000 000 \times {1.08}^{2} = 70 601 520.00 A_{4} = 62 000 000 \times {1.08}^{1} = 66 960 000.00$

$355 773 182.72 دينار عراقي$

← مجموع القيم المستقبلية = 355 773 182.72 دينار عراقي

السؤال 4 (1 نقاط) — جد إجمالي رأس المال في نهاية السنة الخامسة بعد إضافة جميع الفوائد

الإجمالي النهائي — هذا هو المبلغ النهائي بعد 5 سنوات مع احتساب الفوائد على جميع الاستثمارات
$355 773 182.72 دينار عراقي$

$355 773 182.72 دينار عراقي$

← 355 773 182.72 دينار عراقي

سلم التقدير

صياغة المتتالية الحسابية بشكل صحيح	2 نقاط
حساب مجموع الاستثمارات قبل الفوائد بدقة	2 نقاط
تطبيق الفائدة المركبة على كل استثمار بشكل صحيح	3 نقاط
إيجاد المبلغ النهائي بدقة	1 نقاط

التمرين 2: نمو السكان في أربيل والموصل (6 نقاط)

20 minالدوال الأسيةالنمو السكانيحل المعادلات اللوغاريتمية

تشير البيانات الرسمية إلى أن عدد سكان محافظة أربيل نما من 1.5 مليون نسمة في عام 2020 إلى 1.8 مليون نسمة في عام 2023 بمعدل نمو أسي ثابت. بينما نما عدد سكان محافظة الموصل من 2.2 مليون نسمة إلى 2.4 مليون نسمة خلال نفس الفترة. إذا استمر هذا المعدل، ففي أي سنة سيتساوى عدد سكان المحافظتين؟

أربيل 2020: 1.5 مليون نسمة
أربيل 2023: 1.8 مليون نسمة
الموصل 2020: 2.2 مليون نسمة
الموصل 2023: 2.4 مليون نسمة

اكتب الدالة الأسية التي تمثل نمو سكان أربيل
اكتب الدالة الأسية التي تمثل نمو سكان الموصل
حل المعادلة لإيجاد السنة التي يتساوى فيها عدد السكان
تحقق من صحة الحل بيانياً أو حسابياً

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب الدالة الأسية التي تمثل نمو سكان أربيل

صياغة الدالة — استخدم الصيغة العامة للدوال الأسية للنمو السكاني
$P_{اربيل} (t) = 1.5 e^{k t}$

$P_{اربيل} (t) = 1.5 e^{0.0608 t}$

← P_اربيل(t) = 1.5 $e^{0.0608 t}$

السؤال 2 (2 نقاط) — اكتب الدالة الأسية التي تمثل نمو سكان الموصل

الدالة للموصل — نفس الصيغة مع القيم الأولية للموصل
$P_{الموصل} (t) = 2.2 e^{0.0292 t}$

$P_{الموصل} (t) = 2.2 e^{0.0292 t}$

← P_الموصل(t) = 2.2 $e^{0.0292 t}$

السؤال 3 (1 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد السنة التي يتساوى فيها عدد السكان

حل المعادلة — استخدم اللوغاريتمات لحل المعادلة
$t = \frac{\ln (2.2 / 1.5)}{0.0608 - 0.0292} = \frac{\ln (1.4667)}{0.0316} = 12.3 سنوات$

$2032 (بعد 12.3 سنة من 2020)$

← السنة 2032 (بعد 12.3 سنة من 2020)

السؤال 4 (1 نقاط) — تحقق من صحة الحل بيانياً أو حسابياً

التحقق — احسب السكان لكلا المحافظتين في 2032.3 للتحقق من التساوي
$P_{اربيل} (12.3) = 1.5 e^{0.0608 \times 12.3} = 3.23 مليون نسمة P_{الموصل} (12.3) = 2.2 e^{0.0292 \times 12.3} = 3.23 مليون نسمة$

$3.23 مليون نسمة في 2032.3$

← التحقق صحيح: كلا المحافظتين سيكون لهما 3.23 مليون نسمة في منتصف 2032

سلم التقدير

صياغة الدوال الأسية بشكل صحيح لكل محافظة	2 نقاط
حساب ثوابت النمو k وm بدقة	2 نقاط
حل المعادلة لإيجاد السنة بشكل صحيح	1 نقاط
التحقق من صحة الحل	1 نقاط

التمرين 3: تحليل حركة الحافلات بين بغداد والبصرة (7 نقاط)

25 minالمشتقاتالقيم القصوىالهندسة التحليلية

تتصل مدينة بغداد بمحافظة البصرة بطريق مستقيمة بطول 400 كيلومتر. قررت شركة نقل أن تسير حافلة على هذا الطريق بسرعة v(km/h) تتوقف على المسافة x من بغداد حسب العلاقة v(x) = 60 + 0.1x - 0.0005x². إذا علمت أن تكلفة تشغيل الحافلة تتناسب مع مربع السرعة (C = kv²)، فما هي السرعة المثلى التي يجب أن تسير بها الحافلة عند كل نقطة x لتقليل التكلفة الإجمالية؟

طول الطريق = 400 كيلومتر
سرعة الحافلة: v(x) = 60 + 0.1x - 0.0005x²
تكلفة التشغيل: C = kv² حيث k ثابت

اكتب التعبير الرياضي للتكلفة الإجمالية $C_{t} o t a l$ بدلالة x
جد المشتقة الأولى لدالة التكلفة
أوجد النقاط الحرجة للدالة
حدد السرعة المثلى عند كل نقطة x
احسب السرعة المثلى عند منتصف الطريق (x=200 كم)

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب التعبير الرياضي للتكلفة الإجمالية $C_{t} o t a l$ بدلالة x

صياغة دالة التكلفة — التكلفة الإجمالية هي تكامل مربع السرعة مضروباً في الثابت k
$C_{total} = k \int_{0}^{400} {(60 + 0.1 x - 0.0005 x^{2})}^{2} d x$

$C_{total} = k \int_{0}^{400} {(60 + 0.1 x - 0.0005 x^{2})}^{2} d x$

← $C_{t} o t a l$ = k∫(60 + 0.1x - 0.0005x²)²dx من 0 إلى 400

السؤال 2 (1 نقاط) — جد المشتقة الأولى لدالة التكلفة

المشتقة الأولى — لتقليل التكلفة، نحتاج إلى إيجاد النقاط التي تجعل المشتقة تساوي صفراً
$\frac{d C}{d x} = 2 k v (x) \frac{d v}{d x}$

$\frac{d C}{d x} = 2 k v (x) \frac{d v}{d x}$

← dC/dx = 2kv(x)v'(x)

السؤال 3 (2 نقاط) — أوجد النقاط الحرجة للدالة

النقاط الحرجة — حل المعادلة 2kv(x)v'(x) = 0
$v^{'} (x) = 0.1 - 0.001 x = 0 \Rightarrow x = 100 كم$

$x = 100 كم$

← النقطة الحرجة عند x = 100 كم

السؤال 4 (1 نقاط) — حدد السرعة المثلى عند كل نقطة x

السرعة المثلى — عند النقطة الحرجة، السرعة المثلى هي v(100)
$v (100) = 60 + 0.1 (100) - 0.0005 {(100)}^{2} = 60 + 10 - 5 = 65 كم/ساعة$

$65 كم/ساعة$

← السرعة المثلى عند x=100 كم هي 65 كم/ساعة

السؤال 5 (1 نقاط) — احسب السرعة المثلى عند منتصف الطريق (x=200 كم)

السرعة عند منتصف الطريق — احسب السرعة عند x=200 كم
$v (200) = 60 + 0.1 (200) - 0.0005 {(200)}^{2} = 60 + 20 - 20 = 60 كم/ساعة$

$60 كم/ساعة$

← السرعة عند منتصف الطريق هي 60 كم/ساعة

سلم التقدير

صياغة دالة التكلفة الإجمالية بشكل صحيح	2 نقاط
حساب المشتقة الأولى بشكل صحيح	1 نقاط
إيجاد النقاط الحرجة بدقة	2 نقاط
حساب السرعة المثلى عند النقاط المطلوبة	2 نقاط

التمرين 4: توزيع طلاب الجامعات في المحافظات العراقية (9 نقاط)

30 minالإحصاء الوصفيالمتوسط الحسابيالانحراف المعياريالمدرجات التكرارية

أجرت وزارة التعليم العالي المسح التالي لعدد طلاب الجامعات في أربع محافظات عراقية رئيسية (بغداد، البصرة، أربيل، الموصل) خلال العام الدراسي 2023-2024: بغداد (125 000 طالب)، البصرة (45 000 طالب)، أربيل (38 000 طالب)، الموصل (42 000 طالب). إذا علمت أن التكاليف الإدارية تتناسب مع مربع عدد الطلاب (C = kN²)، فما هو الانحراف المعياري لعدد الطلاب؟ وإذا تم إنشاء جامعة جديدة في محافظة ما لخفض التكاليف، فما هو الحد الأدنى لعدد الطلاب الذين يجب أن تستوعبهم هذه الجامعة الجديدة لتقليل التكلفة الإجمالية؟

بغداد: 125 000 طالب
البصرة: 45 000 طالب
أربيل: 38 000 طالب
الموصل: 42 000 طالب

احسب المتوسط الحسابي لعدد الطلاب في المحافظات الأربع
احسب التباين والانحراف المعياري لعدد الطلاب
اكتب دالة التكلفة الإجمالية بدلالة عدد الطلاب في كل محافظة
جد عدد الطلاب الذين يجب أن تستوعبهم الجامعة الجديدة لتقليل التكلفة الإجمالية إلى الحد الأدنى
احسب التوفير في التكلفة إذا تم إنشاء الجامعة الجديدة لاستيعاب 20 000 طالب

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي لعدد الطلاب في المحافظات الأربع

حساب المتوسط — اجمع جميع القيم واقسم على عدد المحافظات
$μ = \frac{250000}{4} = 62500 طالب$

$62 500 طالب$

← 62 500 طالب

السؤال 2 (3 نقاط) — احسب التباين والانحراف المعياري لعدد الطلاب

التباين — احسب مجموع مربعات الانحرافات ثم اقسم على عدد المحافظات
$σ^{2} = \frac{3906250000000 + 306250000000 + 590625000000 + 422500000000}{4} = 1306250000000$
الانحراف المعياري — استخرج الجذر التربيعي للتباين
$σ = \sqrt{1306250000000} = 36142 طالب$

$36 142 طالب$

← الانحراف المعياري = 36 142 طالب

السؤال 3 (1 نقاط) — اكتب دالة التكلفة الإجمالية بدلالة عدد الطلاب في كل محافظة

دالة التكلفة — التكلفة الإجمالية هي مجموع تكاليف جميع المحافظات
$C_{total} = k (125000^{2} + 45000^{2} + 38000^{2} + 42000^{2})$

$C_{total} = k (15 625 000 000 + 2 025 000 000 + 1 444 000 000 + 1 764 000 000)$

← $C_{t} o t a l$ = k(15 625 000 000 + 2 025 000 000 + 1 444 000 000 + 1 764 000 000)

السؤال 4 (2 نقاط) — جد عدد الطلاب الذين يجب أن تستوعبهم الجامعة الجديدة لتقليل التكلفة الإجمالية إلى الحد الأدنى

عدد الطلاب المثالي — للتقليل من التكلفة، يجب أن يكون عدد الطلاب في كل محافظة متساوياً
$N_{مثالي} = \frac{250000}{5} = 50000 طالب لكل محافظة$

$50 000 طالب لكل محافظة$

← 50 000 طالب لكل محافظة (بما في ذلك الجامعة الجديدة)

السؤال 5 (1 نقاط) — احسب التوفير في التكلفة إذا تم إنشاء الجامعة الجديدة لاستيعاب 20 000 طالب

التوفير في التكلفة — قارن التكلفة قبل وبعد إنشاء الجامعة
$C_{قبل} = k (15625000000000) (قبل إضافة الجامعة) C_{بعد} = k (4 \times 50000000^{2}) = k (10000000000000) ا ل ت و ف ي ر = C_{قبل} - C_{بعد} = k (5625000000000)$

$5.625 \times 10^{12} k دينار عراقي$

← التوفير = 5.625 × 10¹² k دينار عراقي (حيث k هو ثابت التكلفة)

سلم التقدير

حساب المتوسط الحسابي بدقة	2 نقاط
حساب التباين والانحراف المعياري بشكل صحيح	3 نقاط
صياغة دالة التكلفة الإجمالية	1 نقاط
إيجاد عدد الطلاب المثالي لتقليل التكلفة	2 نقاط
حساب التوفير في التكلفة	1 نقاط

التمرين 5: مشروع جسر بين بغداد وأربيل (10 نقاط)

40 minالهندسة التحليليةالمتجهاتالدوال المثلثيةالتكامل

يراد إنشاء جسر معلق بين بغداد وأربيل بطول 350 كيلومتراً. تم تصميم الكابلات الرئيسية للجسر على شكل قطع مكافئ. إذا كان ارتفاع الكابلات عند منتصف الجسر (النقطة المتوسطة) 50 متراً عن سطح الجسر، وكان ارتفاعها عند كل طرف 10 أمتار، فما هو ارتفاع الكابلات عند نقطة تبعد 100 كيلومتر عن بغداد؟ استخدم نظام إحداثيات حيث بغداد عند (0,0) وأربيل عند (350,0).

طول الجسر = 350 كيلومتر
ارتفاع الكابلات عند بغداد = 10 أمتار
ارتفاع الكابلات عند أربيل = 10 أمتار
ارتفاع الكابلات عند منتصف الجسر = 50 متراً
النقطة المطلوبة: 100 كيلومتر من بغداد

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يمثل الكابلات
جد قيمة الثابت a في معادلة القطع المكافئ y = ax² + bx + c
اكتب المعادلة النهائية للقطع المكافئ
احسب ارتفاع الكابلات عند النقطة المطلوبة (x=100 كم)
إذا كان عرض الجسر 20 متراً، فما هو طول الكابل اللازم لكل جانب من الجسر عند هذه النقطة؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يمثل الكابلات

نظام الإحداثيات — ضع بغداد عند (0,0) وأربيل عند (350,0)
$y = a x^{2} + b x + c$

$y = a x^{2} + b x + c$

← y = ax² + bx + c

السؤال 2 (3 نقاط) — جد قيمة الثابت a في معادلة القطع المكافئ y = ax² + bx + c

تعويض النقاط — استخدم النقاط الثلاث لإيجاد قيم a وb وc
$c = 10 50 = a {(175)}^{2} + b (175) + 10 0 = a {(350)}^{2} + b (350)$

$a = 0.001282, b = - 0.4487$

← a = 0.001282, b = -0.4487

السؤال 3 (1 نقاط) — اكتب المعادلة النهائية للقطع المكافئ

المعادلة النهائية — اكتب المعادلة الكاملة بعد إيجاد المعاملات
$y = 0.001282 x^{2} - 0.4487 x + 10$

$y = 0.001282 x^{2} - 0.4487 x + 10$

← y = 0.001282x² - 0.4487x + 10

السؤال 4 (2 نقاط) — احسب ارتفاع الكابلات عند النقطة المطلوبة (x=100 كم)

الارتفاع عند x=100 — عوّض x=100 في المعادلة
$y (100) = 0.001282 {(100)}^{2} - 0.4487 (100) + 10 = 12.82 - 44.87 + 10 = - 22.05$

$- 22.05 متر (تحت مستوى الجسر)$

← -22.05 متر (أي 22.05 متر تحت مستوى الجسر)

السؤال 5 (3 نقاط) — إذا كان عرض الجسر 20 متراً، فما هو طول الكابل اللازم لكل جانب من الجسر عند هذه النقطة؟

طول الكابل عند النقطة — استخدم نظرية فيثاغورس لحساب طول الكابل من قمة القطع المكافئ إلى النقطة
$h = 50 - (- 22.05) = 72.05 متر (ارتفاع الكابل عن مستوى الجسر) L = \sqrt{10^{2} + {72.05}^{2}} = 72.76 متر لكل جانب$

$72.76 متر لكل جانب$

← 72.76 متر لكل جانب

سلم التقدير

تعريف نظام الإحداثيات بشكل صحيح	1 نقاط
حل النظام لإيجاد قيم a وb وc	3 نقاط
كتابة المعادلة النهائية للقطع المكافئ	1 نقاط
حساب الارتفاع عند النقطة المطلوبة	2 نقاط
حساب طول الكابل باستخدام نظرية فيثاغورس	3 نقاط

التمرين 1: استثمار مشروع سكني في البصرة (8 نقاط)

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب المتتالية الحسابية التي تمثل الاستثمار السنوي في السنوات الخمس

السؤال 2 (2 نقاط) — احسب رأس المال الإجمالي في نهاية السنة الخامسة قبل احتساب الفوائد

السؤال 3 (3 نقاط) — احسب القيمة المستقبلية لكل استثمار على حدة باستخدام الفائدة المركبة

السؤال 4 (1 نقاط) — جد إجمالي رأس المال في نهاية السنة الخامسة بعد إضافة جميع الفوائد

سلم التقدير

التمرين 2: نمو السكان في أربيل والموصل (6 نقاط)

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب الدالة الأسية التي تمثل نمو سكان أربيل

السؤال 2 (2 نقاط) — اكتب الدالة الأسية التي تمثل نمو سكان الموصل

السؤال 3 (1 نقاط) — حل المعادلة لإيجاد السنة التي يتساوى فيها عدد السكان

السؤال 4 (1 نقاط) — تحقق من صحة الحل بيانياً أو حسابياً

سلم التقدير

التمرين 3: تحليل حركة الحافلات بين بغداد والبصرة (7 نقاط)

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب التعبير الرياضي للتكلفة الإجمالية Ctotal بدلالة x

السؤال 2 (1 نقاط) — جد المشتقة الأولى لدالة التكلفة

السؤال 3 (2 نقاط) — أوجد النقاط الحرجة للدالة

السؤال 4 (1 نقاط) — حدد السرعة المثلى عند كل نقطة x

السؤال 5 (1 نقاط) — احسب السرعة المثلى عند منتصف الطريق (x=200 كم)

سلم التقدير

التمرين 4: توزيع طلاب الجامعات في المحافظات العراقية (9 نقاط)

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي لعدد الطلاب في المحافظات الأربع

السؤال 2 (3 نقاط) — احسب التباين والانحراف المعياري لعدد الطلاب

السؤال 3 (1 نقاط) — اكتب دالة التكلفة الإجمالية بدلالة عدد الطلاب في كل محافظة

السؤال 4 (2 نقاط) — جد عدد الطلاب الذين يجب أن تستوعبهم الجامعة الجديدة لتقليل التكلفة الإجمالية إلى الحد الأدنى

السؤال 5 (1 نقاط) — احسب التوفير في التكلفة إذا تم إنشاء الجامعة الجديدة لاستيعاب 20 000 طالب

سلم التقدير

التمرين 5: مشروع جسر بين بغداد وأربيل (10 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يمثل الكابلات

السؤال 2 (3 نقاط) — جد قيمة الثابت a في معادلة القطع المكافئ y = ax² + bx + c

السؤال 3 (1 نقاط) — اكتب المعادلة النهائية للقطع المكافئ

السؤال 4 (2 نقاط) — احسب ارتفاع الكابلات عند النقطة المطلوبة (x=100 كم)

السؤال 5 (3 نقاط) — إذا كان عرض الجسر 20 متراً، فما هو طول الكابل اللازم لكل جانب من الجسر عند هذه النقطة؟

سلم التقدير

المصادر

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب التعبير الرياضي للتكلفة الإجمالية $C_{t} o t a l$ بدلالة x