امتحان البكالوريا العراقي: أساسيات التفاضل والتكامل 2025

1. حساب المشتقة باستخدام قاعدة القسمة — نقوم بتطبيق قاعدة القسمة على الدالة $f(t)=\frac{u(t)}{v(t)}$ حيث $u(t)=3t^2+5t+2$ و$v(t)=t+1$. تذكر أن قاعدة القسمة تقول: $f^{\prime }(t)=\frac{u^{\prime }(t)v(t)-u(t)v^{\prime }(t)}{{[v(t)]}^2}$
   $$f^{\prime }(t)=\frac{(6t+5)(t+1)-(3t^2+5t+2)(1)}{{(t+1)}^2}$$
2. تبسيط التعبير — نقوم بتبسيط البسط: $(6t+5)(t+1)=6t^2+6t+5t+5=6t^2+11t+5$. ثم نطرح $3t^2+5t+2$ للحصول على $3t^2+6t+3$.
   $$f^{\prime }(t)=\frac{3t^2+6t+3}{{(t+1)}^2}=\frac{3(t^2+2t+1)}{{(t+1)}^2}=\frac{3{(t+1)}^2}{{(t+1)}^2}=3$$
3. حساب القيمة عند الزمن المطلوب — نلاحظ أن $f^{\prime }(t)=3$ لأي قيمة لـ $t$ (باستثناء $t=-1$ حيث الدالة غير معرفة). هذا يعني أن معدل تغير الإنتاج ثابت دائماً.
   $$f^{\prime }(4)=3$$

$$3$$

← المعدل هو 3 وحدات إنتاج في الساعة

1. اختيار التعويض المناسب — نلاحظ أن البسط $5q$ هو مشتقة المقام $q^2+9$ (باستثناء ثابت). نضع $u=q^2+9$، إذن $du=2qdq$ أو $qdq=\frac{du}{2}$
   $$u=q^2+9\Rightarrow du=2qdq\Rightarrow qdq=\frac{du}{2}$$
2. إعادة كتابة التكامل — نعيد كتابة التكامل باستخدام التعويض: $\int \frac{5q}{q^2+9}dq=5\int \frac{qdq}{q^2+9}=5\int \frac{du/2}{u}=\frac{5}{2}\int \frac{1}{u}du$
   $$\int \frac{5q}{q^2+9}dq=\frac{5}{2}\int \frac{1}{u}du$$
3. حساب التكامل — نحسب التكامل: $\frac{5}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{5}{2}\ln |u|+K=\frac{5}{2}\ln (q^2+9)+K$
   $$\frac{5}{2}\ln |u|+K=\frac{5}{2}\ln (q^2+9)+K$$
4. تطبيق الشرط الابتدائي — عند $q=0$، $T(0)=0$. بالتعويض: $0=\frac{5}{2}\ln (0+9)+K=\frac{5}{2}\ln (9)+K$. نجد $K=-\frac{5}{2}\ln (9)$
   $$K=-\frac{5}{2}\ln (9)$$

$$5\ln (5)$$

← إجمالي التكلفة لبيع 4 كيلوغرامات هو $5\ln (5)$ دينار عراقي

1. حساب التكامل المحدد — نحسب التكامل المحدد للدالة $P(t)$ من 0 إلى 8: ${\int }_0^8(-0.5t^2+6t+10)dt$. نستخدم القاعدة الأساسية للتكامل.
   $$\int (-0.5t^2+6t+10)dt=-\frac{0.5t^3}{3}+3t^2+10t+K$$
2. تطبيق حدود التكامل — نقوم بتقييم التكامل عند الحدود 0 و8: $[-\frac{0.5{(8)}^3}{3}+3{(8)}^2+10(8)]-[-\frac{0.5{(0)}^3}{3}+3{(0)}^2+10(0)]=[-\frac{256}{3}+192+80]-[0]=-85.33+272=186.67$ كيلوواط ساعة
   $$[-\frac{0.5\cdot 8^3}{3}+3\cdot 8^2+10\cdot 8]-[-\frac{0.5\cdot 0^3}{3}+3\cdot 0^2+10\cdot 0]=186.67$$
3. مقارنة القيم عند t=4 وt=11 — نقوم بحساب $P(4)=-0.5(16)+24+10=-8+34=26$ كيلوواط ساعة. و$P(11)=-0.5(121)+66+10=-60.5+76=15.5$ كيلوواط ساعة. الطاقة في الساعة 9 صباحاً (t=4) كانت أكبر من الساعة 4 مساءً (t=11).
   $$P(4)=26\text{و}P(11)=15.5$$

$$186.67$$

← إجمالي الطاقة المنتجة خلال 8 ساعات الأولى هو 186.67 كيلوواط ساعة

1. كتابة المعادلة التفاضلية — نفترض أن $P(t)$ هو عدد السكان عند الزمن $t$ (بالسنوات). معدل تغير السكان يتناسب مع عدد السكان الحاليين: $\frac{dP}{dt}=-kP$ حيث $k$ هو ثابت موجب يمثل معدل الانخفاض.
   $$\frac{dP}{dt}=-kP$$
2. حل المعادلة باستخدام الفصل المتغيرات — نقسم المتغيرات ونكامل: $\int \frac{dP}{P}=-k\int dt$ مما يعطي $\ln |P|=-kt+C$. نرفع للأساس e للحصول على $P(t)=A{e}^{-kt}$ حيث $A=e^C$.
   $$P(t)=A{e}^{-kt}$$
3. تطبيق الشروط الابتدائية — عند t=0، P(0)=5000: $5000=A{e}^0=A$. عند t=2، P(2)=4500: $4500=5000e^{-2k}$. نجد $e^{-2k}=0.9$، ثم نأخذ اللوغاريتم الطبيعي: $-2k=\ln (0.9)$، لذا $k=-\frac{\ln (0.9)}{2}\approx 0.0527$.
   $$k=-\frac{\ln (0.9)}{2}\approx 0.0527$$
4. حساب عدد السكان بعد 5 سنوات — نستخدم المعادلة $P(5)=5000e^{-0.0527\times 5}=5000e^{-0.2635}\approx 5000\times 0.768=3840$ نسمة (تقريباً).
   $$P(5)=5000e^{-0.2635}\approx 3840$$

$$3840$$

← عدد السكان المتوقع بعد 5 سنوات هو 3840 نسمة (تقريباً)

1. حساب المسافة باستخدام التكامل — المسافة = التكامل المحدد لدالة السرعة من 0 إلى 4: ${\int }_0^4(80+10\sin (\frac{\pi t}{30}))dt$. نستخدم قاعدة القوة للدالة الخطية وقاعدة التعويض للدالة المثلثية.
   $${\int }_0^4(80+10\sin \left(\frac{\pi t}{30}\right))dt$$
2. حساب التكامل — نقسم التكامل إلى جزئين: $\int 80dt=80t$ و$\int 10\sin (\frac{\pi t}{30})dt$. نضع $u=\frac{\pi t}{30}$، إذن $du=\frac{\pi }{30}dt$، لذا $dt=\frac{30}{\pi }du$. يصبح التكامل $10\times \frac{30}{\pi }\int \sin (u)du=-\frac{300}{\pi }\cos (u)=-\frac{300}{\pi }\cos (\frac{\pi t}{30})$
   $$-\frac{300}{\pi }\cos \left(\frac{\pi t}{30}\right)$$
3. تقييم التكامل المحدد — نقوم بتقييم من 0 إلى 4: ${[80t-\frac{300}{\pi }\cos (\frac{\pi t}{30})]}_0^4=[320-\frac{300}{\pi }\cos (\frac{4\pi }{30})]-[0-\frac{300}{\pi }\cos (0)]=320-\frac{300}{\pi }\cos (24°)+\frac{300}{\pi }$
   $$320-\frac{300}{\pi }\cos (24°)+\frac{300}{\pi }\approx 320+\frac{300}{\pi }(1-0.9135)\approx 320+8.36=328.36$$
4. مقارنة المسافة المحسوبة بالمسافة الفعلية — المسافة المحسوبة هي 328.36 كم، بينما المسافة الفعلية بين بغداد والموصل هي 350 كم. الفرق هو 21.64 كم، والذي يمكن تفسيره بالتوقفات أو الازدحام المروري على الطريق.
   $$350-328.36=21.64$$

$$328.36$$

← المسافة المقطوعة هي 328.36 كيلومتر

1. حساب المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة — نقوم باشتقاق الدالة $L(t)=50\sin (2\pi t)+100$. مشتقة $\sin (u)$ هي $\cos (u)\times u^{\prime }$، لذا $L^{\prime }(t)=50\cos (2\pi t)\times 2\pi =100\pi \cos (2\pi t)$
   $$L^{\prime }(t)=100\pi \cos (2\pi t)$$
2. حساب القيمة عند t=8 — عند t=8، $2\pi t=16\pi$، و$\cos (16\pi )=\cos (0)=1$ (لأن جيب التمام دورية بدورة $2\pi$). لذا $L^{\prime }(8)=100\pi \times 1=100\pi \approx 314.16$ متر/ساعة
   $$L^{\prime }(8)=100\pi \approx 314.16$$

$$314.16$$

← معدل الإنتاج عند الساعة 3 مساءً هو 314.16 متر في الساعة

1. حساب التكامل غير المحدود — نحسب التكامل $\int 5\cos (\frac{\pi t}{12})dt$. نضع $u=\frac{\pi t}{12}$، إذن $du=\frac{\pi }{12}dt$، لذا $dt=\frac{12}{\pi }du$. يصبح التكامل $5\times \frac{12}{\pi }\int \cos (u)du=\frac{60}{\pi }\sin (u)=\frac{60}{\pi }\sin (\frac{\pi t}{12})$
   $$W(t)=\frac{60}{\pi }\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)+K$$
2. تطبيق الشرط الابتدائي — عند t=0، W(0)=0: $0=\frac{60}{\pi }\sin (0)+K=0+K$، لذا $K=0$. الدالة الأصلية هي $W(t)=\frac{60}{\pi }\sin (\frac{\pi t}{12})$
   $$W(t)=\frac{60}{\pi }\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)$$
3. حساب الكمية بعد 6 ساعات — عند t=6، $W(6)=\frac{60}{\pi }\sin (\frac{6\pi }{12})=\frac{60}{\pi }\sin (\frac{\pi }{2})=\frac{60}{\pi }\times 1\approx 19.10$ متر مكعب
   $$W(6)=\frac{60}{\pi }\approx 19.10$$

$$19.10$$

← إجمالي كمية المياه المتدفقة بعد 6 ساعات هو 19.10 متر مكعب

1. حساب التسارع — التسارع هو مشتقة السرعة: $a(t)=v^{\prime }(t)=8t-3$. عند t=2، $a(2)=8(2)-3=16-3=13$ كم/س²
   $$a(2)=13$$
2. حساب المسافة باستخدام التكامل — المسافة = ${\int }_0^2(4t^2-3t+2)dt={[\frac{4t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t]}_0^2=[\frac{32}{3}-6+4]-[0]=10.67-2=8.67$ كم
   $${\int }_0^2(4t^2-3t+2)dt=8.67$$

$$a(2)=13{\text{ كم/س}}^2,\text{ المسافة }=8.67\text{ كم}$$

← التسارع عند t=2 ساعة هو 13 كم/س² والمسافة المقطوعة خلال الساعتين الأوليين هي 8.67 كم