البكالوريا العراقية 2025 - الرياضيات: نموذج تدريبي لنادي إغناتيا | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

حساب النسب المئوية بدقة في سياقات واقعية مثل نسبة حضور المباريات أو نسب الإيرادات.
تطبيق قوانين المساحات والأحجام على أشكال هندسية واقعية مثل ملاعب كرة القدم.
تحليل البيانات الإحصائية باستخدام المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال في سياقات رياضية.
استخدام الهندسة التحليلية لحساب المسافات بين المدن باستخدام الإحداثيات الجغرافية.
إيجاد القيم القصوى للدوال التربيعية في مسائل تحسين الإيرادات أو التكاليف.

المتطلبات السابقة

النسب المئوية
حساب المساحات
الإحصاء الوصفي
الهندسة التحليلية
الدوال التربيعية

الوقت المقدر: 180 د المستوى: ●●●○ صعب

مرحباً بك في النموذج التدريبي الأول من سلسلة امتحانات البكالوريا العراقية! في هذا الامتحان، لن نحل مسائل رياضية مجردة فقط، بل سنستخدم بيانات حقيقية من نادي إغناتيا الرغوزيني الألباني - نادي صغير في مدينة روجوزينه حقق إنجازات كبيرة مؤخراً. لماذا نستخدم كرة القدم؟ لأنها لغة عالمية تجمع بين الرياضة والرياضيات في آن واحد. تخيل أنك مدير تسويق للنادي، أو مهندس تصمم الملعب، أو خبير إحصاء تحلل أداء الفريق... كل هذه الأدوار تتطلب مهارات رياضية حقيقية. هل أنت مستعد لاختبار مهاراتك؟ خذ نفساً عميقاً، واحضر آلة حاسبة (إذا سمحت التعليمات)، ودعنا نبدأ! ملاحظة مهمة: هذا نموذج تدريبي محاكي (simulé) وليس امتحاناً رسمياً. البيانات المستخدمة تقديرية بناءً على مصادر موثوقة، وتم تصميم المسائل لتتناسب مع منهج الرياضيات في البكالوريا العراقية.

استخدام النسب المئوية: نسبة حضور مباراة في إغناتيا (3 نقاط)

15 minالنسب المئويةالإيراداتحساب النسبة المئوية

خلال مباراة مهمة في الدوري الألباني، استضاف نادي إغناتيا الرغوزيني فريق دينامو تيرانا في استاد إغناتيا أرينا. يتسع الملعب لـ 4000 متفرج، بينما بلغ عدد الحضور الفعلي 3200 متفرجاً. سعر تذكرة الدخول 7500 دينار عراقي.

سعة الملعب: 4000 متفرج
عدد الحضور الفعلي: 3200 متفرج
سعر التذكرة: 7500 دينار عراقي

احسب نسبة حضور المباراة بالنسبة لسعة الملعب (النسبة المئوية).
احسب الإيراد الإجمالي من بيع التذاكر لهذه المباراة.
إذا قرر النادي تخفيض سعر التذكرة بنسبة 20% في المباراة القادمة، فكم سيكون سعر التذكرة الجديد؟ وما سيكون الإيراد الإجمالي إذا حضر نفس عدد المتفرجين (3200)؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب نسبة حضور المباراة بالنسبة لسعة الملعب (النسبة المئوية).

حساب النسبة — نسبة الحضور = (عدد الحضور / السعة) × 100
$p = \frac{3200}{4000} \times 100 = 80 %$

80\%

← 80%

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب الإيراد الإجمالي من بيع التذاكر لهذه المباراة.

حساب الإيراد — الإيراد = عدد التذاكر × سعر التذكرة
$R = 3200 \times 7500 = 24000000 دينار$

$24000000 دينار$

← 24,000,000 دينار عراقي

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا قرر النادي تخفيض سعر التذكرة بنسبة 20% في المباراة القادمة، فكم سيكون سعر التذكرة الجديد؟ وما سيكون الإيراد الإجمالي إذا حضر نفس عدد المتفرجين (3200)؟

حساب السعر الجديد — السعر الجديد = السعر الأصلي × (1 - نسبة التخفيض)
$p_{جديد} = 7500 \times (1 - 0.20) = 6000 دينار$
حساب الإيراد الجديد — الإيراد الجديد = عدد التذاكر × السعر الجديد
$R_{جديد} = 3200 \times 6000 = 19200000 دينار$

$p = 6000 دينار, R = 19200000 دينار$

← السعر الجديد: 6000 دينار، الإيراد الجديد: 19,200,000 دينار

سلم التقدير

حساب نسبة الحضور بشكل صحيح (80%)	1 نقاط
حساب الإيراد الإجمالي بشكل صحيح (24,000,000 دينار)	1 نقاط
حساب السعر الجديد والإيراد بعد التخفيض بشكل صحيح	1 نقاط

حساب مساحة ملعب كرة القدم (3 نقاط)

15 minالمساحاتحساب المساحاتالتحويل بين الوحدات

ملعب نادي إغناتيا مستطيل الشكل، طوله 105 أمتار وعرضه 68 متراً. قرر النادي تجديد العشب الصناعي للملعب، مع العلم أن سعر المتر المربع الواحد من العشب هو 15 ديناراً عراقياً.

الطول: 105 أمتار
العرض: 68 أمتار
سعر العشب: 15 دينار/م²

احسب مساحة الملعب بالمتر المربع.
ما هي تكلفة تغطية الملعب بالكامل بالعشب الصناعي؟
إذا قرر النادي تحويل الملعب إلى شكل دائري بنفس المساحة، فاحسب نصف قطر الملعب الدائري (مقرباً إلى أقرب متر).

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب مساحة الملعب بالمتر المربع.

مساحة الملعب — مساحة الملعب = الطول × العرض
$A = 105 \times 68 = 7140 م^{2}$

$7140 م^{2}$

← 7140 متر مربع

السؤال 2 (1 نقاط) — ما هي تكلفة تغطية الملعب بالكامل بالعشب الصناعي؟

تكلفة العشب — تكلفة التغطية = المساحة × سعر المتر المربع
$C = 7140 \times 15 = 107100 دينار$

$107100 دينار$

← 107,100 دينار عراقي

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا قرر النادي تحويل الملعب إلى شكل دائري بنفس المساحة، فاحسب نصف قطر الملعب الدائري (مقرباً إلى أقرب متر).

نصف قطر الملعب الدائري — نصف القطر = الجذر التربيعي للمساحة مقسومة على π
$r = \sqrt{\frac{7140}{π}} \approx 48 م$

$48 م$

← 48 متر (مقرباً)

سلم التقدير

حساب مساحة الملعب بشكل صحيح (7140 م²)	1 نقاط
حساب تكلفة العشب بشكل صحيح (107,100 دينار)	1 نقاط
حساب نصف قطر الملعب الدائري بشكل صحيح (48 م)	1 نقاط

تحليل إيرادات النادي من المباريات (4 نقاط)

20 minالإحصاء الوصفيالمتوسط الحسابيالنسب المئويةالتحليل المالي

خلال 5 مباريات متتالية، حقق نادي إغناتيا إيرادات مختلفة من بيع التذاكر: 24,000,000 دينار، 18,000,000 دينار، 30,000,000 دينار، 21,000,000 دينار، 27,000,000 دينار.

الإيرادات: 24,000,000، 18,000,000، 30,000,000، 21,000,000، 27,000,000 دينار

احسب المتوسط الحسابي للإيرادات الخمسة.
احسب النسبة المئوية لكل إيراد بالنسبة للمجموع الكلي للإيرادات.
إذا كان النادي يهدف إلى زيادة الإيرادات الإجمالية بنسبة 15% في الموسم القادم، فما هو الهدف المالي الذي يجب تحقيقه؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي للإيرادات الخمسة.

المتوسط الحسابي — المتوسط = مجموع القيم ÷ عددها
$M = \frac{120000000}{5} = 24000000 دينار$

$24000000 دينار$

← 24,000,000 دينار عراقي

السؤال 2 (2 نقاط) — احسب النسبة المئوية لكل إيراد بالنسبة للمجموع الكلي للإيرادات.

النسب المئوية — النسب: 24M=20%, 18M=15%, 30M=25%, 21M=17.5%, 27M=22.5%
$p = [20 %, 15 %, 25 %, 17.5 %, 22.5 %]$

[20\%, 15\%, 25\%, 17.5\%, 22.5\%]

← 20%, 15%, 25%, 17.5%, 22.5%

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا كان النادي يهدف إلى زيادة الإيرادات الإجمالية بنسبة 15% في الموسم القادم، فما هو الهدف المالي الذي يجب تحقيقه؟

الهدف المالي — الهدف = الإيرادات الحالية × 1.15
$T = 120000000 \times 1.15 = 138000000 دينار$

$138000000 دينار$

← 138,000,000 دينار عراقي

سلم التقدير

حساب المتوسط الحسابي بشكل صحيح (24,000,000 دينار)	1 نقاط
حساب جميع النسب المئوية بشكل صحيح (5 نسب)	2 نقاط
حساب الهدف المالي الجديد بشكل صحيح (138,000,000 دينار)	1 نقاط

إحصائيات المباريات: معدل الأهداف (3 نقاط)

15 minالإحصاءالمتوسط الحسابيالوسيطالتنبؤ

في آخر 10 مباريات، سجل نادي إغناتيا الأهداف التالية: 2، 1، 3، 1، 2، 1، 2، 2، 1، 3 أهداف.

الأهداف: 2، 1، 3، 1، 2، 1، 2، 2، 1، 3

احسب المتوسط الحسابي لعدد الأهداف في المباراة الواحدة.
احسب الوسيط لعدد الأهداف.
إذا أراد النادي الوصول إلى معدل 2.0 هدف في المباراة خلال الموسم، فكم هدفاً يجب أن يسجل في المباراة القادمة؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي لعدد الأهداف في المباراة الواحدة.

المتوسط الحسابي — المتوسط = مجموع الأهداف ÷ عدد المباريات
$M = \frac{18}{10} = 1.8 هدف/مباراة$

$1.8 هدف/مباراة$

← 1.8 هدف في المباراة

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب الوسيط لعدد الأهداف.

الوسيط — ترتيب الأهداف: 1,1,1,1,2,2,2,2,3,3 → الوسيط = (2+2)/2
$m = \frac{2 + 2}{2} = 2 هدف$

$2 هدف$

← 2 هدف

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا أراد النادي الوصول إلى معدل 2.0 هدف في المباراة خلال الموسم، فكم هدفاً يجب أن يسجل في المباراة القادمة؟

الأهداف اللازمة — عدد الأهداف في 11 مباراة = 2.0 × 11 = 22 هدفاً. الأهداف اللازمة = 22 - 18 = 4 أهداف
$x = 2.0 \times 11 - 18 = 4 أهداف$

$4 أهداف$

← 4 أهداف

سلم التقدير

حساب المتوسط الحسابي بشكل صحيح (1.8 هدف/مباراة)	1 نقاط
حساب الوسيط بشكل صحيح (2 هدف)	1 نقاط
حساب الأهداف اللازمة للوصول إلى المعدل 2.0 بشكل صحيح (4 أهداف)	1 نقاط

حساب المسافات بين المدن العراقية والألبانية (3 نقاط)

20 minالهندسة التحليليةالمسافة بين نقطتينالتحويل بين الوحدات

يرغب نادي إغناتيا في تنظيم جولة ودية في العراق لزيادة شعبيته. تم تحديد ثلاث مدن عراقية لاستضافة المباريات: بغداد، البصرة، وأربيل. إذا اعتبرنا إحداثيات هذه المدن (تقريبية) كالتالي: بغداد (33.3°N, 44.4°E)، أربيل (36.2°N, 44.0°E)، البصرة (30.5°N, 47.8°E). تقع مدينة إغناتيا في ألبانيا عند الإحداثيات (40.7°N, 20.4°E). (ملاحظة: الإحداثيات بالدرجات، ولحساب المسافة نستخدم صيغة المسافة في المستوى الديكارتي بعد تحويل الدرجات إلى كيلومترات).

إحداثيات بغداد: (33.3, 44.4)
إحداثيات أربيل: (36.2, 44.0)
إحداثيات البصرة: (30.5, 47.8)
إحداثيات إغناتيا: (40.7, 20.4)
1 درجة ≈ 111 كيلومتر (تقريباً)

احسب المسافة بين بغداد وإغناتيا باستخدام صيغة المسافة في المستوى الديكارتي (Δx و Δy).
إذا كانت طائرة تسير بسرعة ثابتة مقدارها 800 كيلومتر في الساعة، فكم ساعة تستغرق الرحلة المباشرة بين أربيل وإغناتيا (باستخدام المسافة المحسوبة)؟
قارن المسافة بين أربيل والبصرة. أيهما أقرب إلى بغداد؟

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المسافة بين بغداد وإغناتيا باستخدام صيغة المسافة في المستوى الديكارتي (Δx و Δy).

المسافة بين بغداد وإغناتيا — Δx = 40.7 - 44.4 = -3.7°, Δy = 33.3 - 20.4 = 12.9°
$d = \sqrt{{(- 3.7)}^{2} + {(12.9)}^{2}} \times 111 = \sqrt{13.69 + 166.41} \times 111 \approx 1490 كم$

$1490 كم$

← 1490 كيلومتر (تقريباً)

السؤال 2 (1 نقاط) — إذا كانت طائرة تسير بسرعة ثابتة مقدارها 800 كيلومتر في الساعة، فكم ساعة تستغرق الرحلة المباشرة بين أربيل وإغناتيا (باستخدام المسافة المحسوبة)؟

زمن الرحلة — المسافة أربيل-إغناتيا ≈ 1792 كم، السرعة = 800 كم/ساعة
$t = \frac{1792}{800} = 2.24 ساعة = 2 ساعة و 14 دقيقة$

$2.24 ساعة$

← 2.24 ساعة (2 ساعة و14 دقيقة)

السؤال 3 (1 نقاط) — قارن المسافة بين أربيل والبصرة. أيهما أقرب إلى بغداد؟

مقارنة المسافات — المسافة بغداد-أربيل ≈ 325 كم، بغداد-بصرة ≈ 550 كم → البصرة أبعد
$d_{بغداد-أربيل} = 325 كم, d_{بغداد-بصرة} = 550 كم$

$البصرة أبعد$

← البصرة أبعد من أربيل عن بغداد

سلم التقدير

حساب المسافة بين بغداد وإغناتيا بشكل صحيح (1490 كم)	1 نقاط
حساب زمن الرحلة بشكل صحيح (2.24 ساعة)	1 نقاط
مقارنة المسافات بشكل صحيح (البصرة أبعد من أربيل عن بغداد)	1 نقاط

تحسين الإيرادات: تسعير التذاكر (4 نقاط)

25 minالدوال التربيعيةالقيم القصوىالتفاضلتحسين الإيرادات

درس مديرو نادي إغناتيا العلاقة بين سعر تذكرة المباراة والإيرادات المتحققة. وجدوا أن الإيراد R (بالدينار العراقي) يمكن تمثيله بالدالة التربيعية: R(p) = -200p² + 2,500,000p، حيث p هو سعر التذكرة بالدينار.

الدالة: R(p) = -200p² + 2500000p

أوجد سعر التذكرة p الذي يحقق أقصى إيراد ممكن.
احسب أقصى إيراد ممكن يمكن أن يحققه النادي.
إذا كان سعر التذكرة الحالي 5000 دينار، فهل يجب على النادي رفع السعر أم خفضه لتحقيق إيراد أعلى؟ علل إجابتك.

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — أوجد سعر التذكرة p الذي يحقق أقصى إيراد ممكن.

سعر التذكرة الأمثل — سعر التذكرة الأمثل هو عند رأس القطع المكافئ (p = -b/(2a)).
$p = - \frac{2500000}{2 \times (- 200)} = 6250 دينار$

$6250 دينار$

← 6250 دينار عراقي

السؤال 2 (2 نقاط) — احسب أقصى إيراد ممكن يمكن أن يحققه النادي.

أقصى إيراد — تعويض سعر التذكرة الأمثل في الدالة التربيعية.
$R (6250) = - 200 {(6250)}^{2} + 2500000 (6250) = 7812500000 دينار$

$7812500000 دينار$

← 7,812,500,000 دينار عراقي

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا كان سعر التذكرة الحالي 5000 دينار، فهل يجب على النادي رفع السعر أم خفضه لتحقيق إيراد أعلى؟ علل إجابتك.

مقارنة السعر الحالي — السعر الحالي 5000 دينار أقل من السعر الأمثل 6250 دينار، لذا يجب رفع السعر.
$R (5000) = 7500000000 < R (6250) = 7812500000$

$يجب رفع السعر$

← يجب رفع السعر إلى 6250 دينار لزيادة الإيراد

سلم التقدير

إيجاد سعر التذكرة الأمثل بشكل صحيح (6250 دينار)	1 نقاط
حساب أقصى إيراد بشكل صحيح (7,812,500,000 دينار)	2 نقاط
مقارنة السعر الحالي بالسعر الأمثل بشكل صحيح مع التعليل	1 نقاط

استخدام النسب المئوية: نسبة حضور مباراة في إغناتيا (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب نسبة حضور المباراة بالنسبة لسعة الملعب (النسبة المئوية).

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب الإيراد الإجمالي من بيع التذاكر لهذه المباراة.

سلم التقدير

حساب مساحة ملعب كرة القدم (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب مساحة الملعب بالمتر المربع.

السؤال 2 (1 نقاط) — ما هي تكلفة تغطية الملعب بالكامل بالعشب الصناعي؟

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا قرر النادي تحويل الملعب إلى شكل دائري بنفس المساحة، فاحسب نصف قطر الملعب الدائري (مقرباً إلى أقرب متر).

سلم التقدير

تحليل إيرادات النادي من المباريات (4 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي للإيرادات الخمسة.

السؤال 2 (2 نقاط) — احسب النسبة المئوية لكل إيراد بالنسبة للمجموع الكلي للإيرادات.

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا كان النادي يهدف إلى زيادة الإيرادات الإجمالية بنسبة 15% في الموسم القادم، فما هو الهدف المالي الذي يجب تحقيقه؟

سلم التقدير

إحصائيات المباريات: معدل الأهداف (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المتوسط الحسابي لعدد الأهداف في المباراة الواحدة.

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب الوسيط لعدد الأهداف.

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا أراد النادي الوصول إلى معدل 2.0 هدف في المباراة خلال الموسم، فكم هدفاً يجب أن يسجل في المباراة القادمة؟

سلم التقدير

حساب المسافات بين المدن العراقية والألبانية (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المسافة بين بغداد وإغناتيا باستخدام صيغة المسافة في المستوى الديكارتي (Δx و Δy).

السؤال 2 (1 نقاط) — إذا كانت طائرة تسير بسرعة ثابتة مقدارها 800 كيلومتر في الساعة، فكم ساعة تستغرق الرحلة المباشرة بين أربيل وإغناتيا (باستخدام المسافة المحسوبة)؟

السؤال 3 (1 نقاط) — قارن المسافة بين أربيل والبصرة. أيهما أقرب إلى بغداد؟

سلم التقدير

تحسين الإيرادات: تسعير التذاكر (4 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — أوجد سعر التذكرة p الذي يحقق أقصى إيراد ممكن.

السؤال 2 (2 نقاط) — احسب أقصى إيراد ممكن يمكن أن يحققه النادي.

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا كان سعر التذكرة الحالي 5000 دينار، فهل يجب على النادي رفع السعر أم خفضه لتحقيق إيراد أعلى؟ علل إجابتك.

سلم التقدير

المصادر