البكالوريا العراقية 2025: تدريب الرياضيات - نماذج محلولة | ORBITECH

ORBITECH AI Academy

ما ستتعلمه

الأهداف

حل مسائل حول المتتاليات الحسابية والهندسية باستخدام الدوال في سياقات عراقية مثل توزيع الموارد
تحليل الدوال المثلثية وحساب مشتقاتها وتطبيقها على ظواهر طبيعية في العراق مثل حركة الشمس
استخدام الهندسة التحليلية لحل مسائل على القطوع المخروطية في تخطيط البنية التحتية العراقية
تطبيق نظرية الاحتمالات في مسائل واقعية مثل توزيع الطلبة في الجامعات العراقية
حساب التكاملات المحددة لحساب المساحات في مشاريع زراعية عراقية حقيقية

المتطلبات السابقة

المتتاليات الحسابية
الدوال المثلثية
الهندسة التحليلية
نظرية الاحتمالات
التكامل

الوقت المقدر: 90 د المستوى: ●●○○ متوسط

في كل صباح، يستيقظ طلاب العراق وهم يعرفون أن الرياضيات هي المفتاح لحل مشاكل وطنهم: من توزيع مياه دجلة والفرات إلى تخطيط جسور بغداد الجديدة. هل أنت مستعد لاختبار مهاراتك في الرياضيات وفقاً لمنهج البكالوريا العراقية؟ هذا التدريب يحاكي الامتحان الحقيقي بتمارين مستوحاة من واقع مدنك: بغداد التي لا تنام، والبصرة التي تحتضن النفط، وأربيل التي تصعد نحو المستقبل. لنبدأ!

المتتاليات الحسابية والهندسية: تطبيق على توزيع الموارد في المحافظات العراقية (4 نقاط)

15 minالمتتاليات الحسابيةالمتتاليات الهندسيةالدوال المتتالية

في عام 2025، قررت وزارة التخطيط العراقية توزيع مبلغ 500 مليون دينار عراقي على المحافظات الست الأكثر اكتظاظاً بالسكان (بغداد، البصرة، نينوى، أربيل، السليمانية، ديالى)按照 تسلسل حسابي. إذا علمت أن المبلغ المخصص لمحافظة بغداد هو 150 مليون دينار، وحصل كل محافظ لاحق على 10 ملايين دينار أقل من سابقه، فاحسب المبلغ المخصص لكل محافظة.

المجموع الكلي للمخصصات: 500 مليون دينار عراقي
المبلغ المخصص لمحافظة بغداد: 150 مليون دينار
الفرق بين كل محافظة والتي تليها: 10 ملايين دينار (تناقص حسابي)

احسب المبلغ المخصص لمحافظة البصرة
احسب المبلغ المخصص لمحافظة نينوى
احسب المبلغ المخصص لمحافظة أربيل
إذا قررت الوزارة زيادة المبلغ الإجمالي بنسبة 12% في العام التالي، فاحسب المبلغ الجديد لمحافظة بغداد

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المبلغ المخصص لمحافظة البصرة

المعطيات — المبلغ المخصص لبغداد a₁ = 150 مليون دينار، الفرق المشترك d = -80/3 مليون دينار.
حساب البصرة — البصرة هي المحافظة الثانية، لذا a₂ = a₁ + d = 150 - 80/3 = 370/3 مليون دينار.
$a_{2} = 150 + (- \frac{80}{3}) = \frac{450 - 80}{3} = \frac{370}{3} \approx 123.33 مليون دينار$

$\frac{370}{3} مليون دينار$

← 370/3 مليون دينار عراقي (حوالي 123.33 مليون دينار)

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المبلغ المخصص لمحافظة نينوى

المعطيات — نينوى هي المحافظة الثالثة.
حساب نينوى — a₃ = a₂ + d = 370/3 - 80/3 = 290/3 مليون دينار.
$a_{3} = \frac{370}{3} - \frac{80}{3} = \frac{290}{3} \approx 96.67 مليون دينار$

$\frac{290}{3} مليون دينار$

← 290/3 مليون دينار عراقي (حوالي 96.67 مليون دينار)

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب المبلغ المخصص لمحافظة أربيل

المعطيات — أربيل هي المحافظة الرابعة.
حساب أربيل — a₄ = 70 مليون دينار (كما هو موضح في الخطوات العامة).
$a_{4} = 70 مليون دينار$

$70 مليون دينار$

← 70 مليون دينار عراقي

السؤال 4 (1 نقاط) — إذا قررت الوزارة زيادة المبلغ الإجمالي بنسبة 12% في العام التالي، فاحسب المبلغ الجديد لمحافظة بغداد

زيادة المبلغ الإجمالي — زيادة 12% من 500 مليون = 500 × 1.12 = 560 مليون دينار.
$560 = \frac{6}{2} \times [2 a_{1}^{'} + 5 d] \Rightarrow 560 = 3 (2 a_{1}^{'} - 80 / 3) \Rightarrow 560 = 6 a_{1}^{'} - 80 \Rightarrow 6 a_{1}^{'} = 640 \Rightarrow a_{1}^{'} = \frac{320}{3}$
المبلغ الجديد لبغداد — المبلغ الجديد لبغداد هو 320/3 مليون دينار.
$a_{1}^{'} = \frac{320}{3} \approx 106.67 مليون دينار$

$\frac{320}{3} مليون دينار$

← 320/3 مليون دينار عراقي (حوالي 106.67 مليون دينار)

سلم التقدير

حساب الفرق المشترك للمتتالية الحسابية بشكل صحيح	1 نقاط
حساب المبالغ لكل محافظة باستخدام المتتالية الحسابية الصحيحة	2 نقاط
حساب المبلغ الجديد بعد الزيادة بنسبة 12% بشكل صحيح	1 نقاط

الدوال المثلثية: تحليل حركة الشمس في سماء البصرة (3 نقاط)

12 minالدوال المثلثيةالمشتقاتالدوال المثلثية العكسية

في مدينة البصرة، ترتفع الشمس بزاوية θ عن الأفق عند الظهر، حيث θ = $30 ° + 5 ° \times t$ ، حيث t هو عدد الساعات بعد شروق الشمس. إذا كان ارتفاع عمود الإنارة في ساحة السوق 20 متراً، فاحسب طول ظل العمود عند الساعة 3 بعد الظهر.

ارتفاع العمود: 20 متر
زاوية الارتفاع عند الساعة 3 بعد الظهر: θ = 30° + 5° × 3 = 45°
ارتفاع الشمس عن الأفق: θ = 45°

اكتب العلاقة بين طول الظل وارتفاع العمود وزاوية الارتفاع θ
احسب طول الظل عند الساعة 3 بعد الظهر
احسب معدل تغير طول الظل بالنسبة للزمن عند t=3

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب العلاقة بين طول الظل وارتفاع العمود وزاوية الارتفاع θ

العلاقة الأساسية — في المثلث القائم، ظل الزاوية هو النسبة بين طول الظل وارتفاع العمود.
$طول الظل = 20 \times \tan (θ)$

$20 \tan (θ) متر$

← طول الظل = 20 × تان(θ) متر

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب طول الظل عند الساعة 3 بعد الظهر

حساب θ — θ = 30° + 5° × 3 = 45°
$θ = 30 ° + 5 ° \times 3 = 45 °$
حساب الظل — tan(45°) = 1، لذا طول الظل = 20 × 1 = 20 متر.
$طول الظل = 20 \times \tan (45 °) = 20 \times 1 = 20 متر$

$20 متر$

← 20 متر

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب معدل تغير طول الظل بالنسبة للزمن عند t=3

اشتقاق طول الظل — طول الظل = 20 × تان(θ)، θ = 30° + 5°t، لذا dθ/dt = 5°/ساعة.
$\frac{d}{d t} طول الظل = 20 \times \sec^{2} (θ) \times \frac{d θ}{d t}$
التعويض — sec(45°) = √2، لذا معدل التغير = 20 × 2 × 5 = 200 متر/ساعة.
$20 \times {(\sqrt{2})}^{2} \times 5 = 20 \times 2 \times 5 = 200 متر/ساعة$

$200 متر/ساعة$

← 200 متر/ساعة

سلم التقدير

كتابة العلاقة المثلثية بين طول الظل وارتفاع العمود بشكل صحيح	1 نقاط
حساب طول الظل عند الساعة 3 بعد الظهر بشكل صحيح	1 نقاط
حساب معدل تغير طول الظل بالنسبة للزمن بشكل صحيح	1 نقاط

الهندسة التحليلية: تصميم جسر بين بغداد والبصرة (4 نقاط)

18 minالقطوع المخروطيةالمعادلات الدائريةالمسافة بين نقطتين

يراد إنشاء جسر مستقيم يربط بين مدينتي بغداد والبصرة، حيث تقع بغداد عند النقطة B(0,0) والبصرة عند النقطة S(360,0) على خريطة مرجعية (الوحدة: كيلومتر). إذا كان مسار الجسر يتبع معادلة دائرة مركزها عند (180, 120) ونصف قطرها 150 كيلومتر، فاحسب طول الجسر.

بغداد: B(0,0)
البصرة: S(360,0)
مركز الدائرة: C(180,120)
نصف القطر: 150 كم

اكتب معادلة الدائرة التي يمثلها مسار الجسر
تحقق مما إذا كانت نقطتا بغداد والبصرة تقعان على الدائرة
احسب طول الجسر (القطعة المستقيمة BS)
احسب المسافة بين مركز الدائرة وكل من بغداد والبصرة

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب معادلة الدائرة التي يمثلها مسار الجسر

المعطيات — المركز (180,120)، نصف القطر 150 كم.
كتابة المعادلة — معادلة الدائرة هي (x - 180)² + (y - 120)² = 22500.
${(x - 180)}^{2} + {(y - 120)}^{2} = 150^{2} = 22500$

${(x - 180)}^{2} + {(y - 120)}^{2} = 22500$

← (x - 180)² + (y - 120)² = 22500

السؤال 2 (1 نقاط) — تحقق مما إذا كانت نقطتا بغداد والبصرة تقعان على الدائرة

التعويض ببغداد — B(0,0): (0-180)² + (0-120)² = 32400 + 14400 = 46800 ≠ 22500
${(0 - 180)}^{2} + {(0 - 120)}^{2} = 32400 + 14400 = 46800 \neq 22500$
التعويض بالبصرة — S(360,0): (360-180)² + (0-120)² = 32400 + 14400 = 46800 ≠ 22500
${(360 - 180)}^{2} + {(0 - 120)}^{2} = 32400 + 14400 = 46800 \neq 22500$
النتيجة — النقطتان لا تقعان على الدائرة، لذا مسار الجسر ليس دائرة.
$النقطتان خارج الدائرة$

$خارج الدائرة$

← النقطتان خارج الدائرة

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب طول الجسر (القطعة المستقيمة BS)

قانون المسافة — طول القطعة BS = √[(360-0)² + (0-0)²] = 360 كم.
$B S = \sqrt{{(360 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{129600} = 360 كم$

$360 كم$

← 360 كيلومتر

السؤال 4 (1 نقاط) — احسب المسافة بين مركز الدائرة وكل من بغداد والبصرة

المسافة من المركز إلى بغداد — CB = √[(180-0)² + (120-0)²] = √(32400 + 14400) = √46800 = 60√13 كم.
$C B = \sqrt{180^{2} + 120^{2}} = \sqrt{32400 + 14400} = \sqrt{46800} = 60 \sqrt{13} كم$
المسافة من المركز إلى البصرة — CS = √[(360-180)² + (0-120)²] = √(32400 + 14400) = √46800 = 60√13 كم.
$C S = \sqrt{180^{2} + 120^{2}} = 60 \sqrt{13} كم$

$C B = C S = 60 \sqrt{13} كم$

← المسافة من المركز إلى بغداد: 60√13 كم، إلى البصرة: 60√13 كم

سلم التقدير

كتابة معادلة الدائرة بشكل صحيح	1 نقاط
التحقق من وقوع النقطتين على الدائرة بشكل صحيح	1 نقاط
حساب طول الجسر (BS) بشكل صحيح	1 نقاط
حساب المسافات من المركز للنقطتين بشكل صحيح	1 نقاط

نظرية الاحتمالات: توزيع الطلبة في الجامعات العراقية (3 نقاط)

15 minالاحتمالاتالتوزيعات الاحتماليةالمتغير العشوائي

في عام 2025، بلغ عدد الطلبة في الجامعات العراقية 1.2 مليون طالب، موزعين على 5 تخصصات رئيسية: الطب (20%)، الهندسة (25%)، العلوم (15%)، الآداب (25%)، إدارة الأعمال (15%). إذا اختير طالب عشوائياً، فما احتمال أن يكون متخصصاً في الطب أو الهندسة؟

إجمالي عدد الطلبة: 1.2 مليون طالب
نسب التخصصات: الطب 20%، الهندسة 25%، العلوم 15%، الآداب 25%، إدارة الأعمال 15%

احسب عدد الطلبة في كل تخصص
احسب احتمال أن يكون الطالب متخصصاً في الطب
احسب احتمال أن يكون الطالب متخصصاً في الهندسة
احسب احتمال أن يكون الطالب متخصصاً في الطب أو الهندسة

الحل الكامل

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب عدد الطلبة في كل تخصص

الطب — 20% من 1.2 مليون = 0.2 × 1200000 = 240000 طالب.
$0.20 \times 1200000 = 240000 طالب$
الهندسة — 25% من 1.2 مليون = 0.25 × 1200000 = 300000 طالب.
$0.25 \times 1200000 = 300000 طالب$
العلوم — 15% من 1.2 مليون = 180000 طالب.
$0.15 \times 1200000 = 180000 طالب$
الآداب — 25% من 1.2 مليون = 300000 طالب.
$0.25 \times 1200000 = 300000 طالب$
إدارة الأعمال — 15% من 1.2 مليون = 180000 طالب.
$0.15 \times 1200000 = 180000 طالب$

$240000, 300000, 180000, 300000, 180000 طالب$

← الطب: 240000، الهندسة: 300000، العلوم: 180000، الآداب: 300000، إدارة الأعمال: 180000

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب احتمال أن يكون الطالب متخصصاً في الطب

حساب الاحتمال — الاحتمال = 240000 / 1200000 = 0.2 = 20%.
$P (الطب) = \frac{240000}{1200000} = 0.2 = 20 %$

$0.2 أو 20 %$

← 0.2 أو 20%

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب احتمال أن يكون الطالب متخصصاً في الهندسة

حساب الاحتمال — الاحتمال = 300000 / 1200000 = 0.25 = 25%.
$P (الهندسة) = \frac{300000}{1200000} = 0.25 = 25 %$

$0.25 أو 25 %$

← 0.25 أو 25%

السؤال 4 (1 نقاط) — احسب احتمال أن يكون الطالب متخصصاً في الطب أو الهندسة

قانون الاحتمال الكلي — احتمال الطب أو الهندسة = 0.2 + 0.25 = 0.45 = 45%.
$P (الطب أو الهندسة) = 0.2 + 0.25 = 0.45 = 45 %$

$0.45 أو 45 %$

← 0.45 أو 45%

سلم التقدير

حساب عدد الطلبة في كل تخصص بشكل صحيح	1 نقاط
حساب احتمال الطب بشكل صحيح	1 نقاط
حساب احتمال الهندسة بشكل صحيح	1 نقاط
حساب احتمال الطب أو الهندسة بشكل صحيح	1 نقاط

التكامل المحدد: حساب مساحة الحقول الزراعية في محافظة ديالى (6 نقاط)

30 minالتكامل المحددمساحة تحت المنحنىالدوال متعددة الحدود

في محافظة ديالى، يوجد حقل زراعي شكله يمكن تمثيله بالمنحنى y = -x² + 10x + 200 بين x=0 وx=20 (الوحدة: متر). احسب مساحة الحقل بالأ hectare (1 hectare = 10,000 متر مربع).

معادلة الحقل: y = -x² + 10x + 200
الحدود: x=0 إلى x=20
1 hectare = 10,000 متر مربع

احسب المساحة تحت المنحنى بين x=0 وx=20 باستخدام التكامل المحدد
حول المساحة من متر مربع إلى هكتار
إذا تم حفر قناة على طول المحور x، فما مساحة القناة (عرضها 2 متر)؟
احسب معدل تغير المساحة بالنسبة لـ x عند x=10

الحل الكامل

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب المساحة تحت المنحنى بين x=0 وx=20 باستخدام التكامل المحدد

التكامل — نجد التابع غير المحدد للدالة.
$\int (- x^{2} + 10 x + 200) d x = - \frac{x^{3}}{3} + 5 x^{2} + 200 x + C$
التعويض — نعوض الحدود ونطرح.
$[- \frac{20^{3}}{3} + 5 {(20)}^{2} + 200 (20)] - [- \frac{0^{3}}{3} + 5 {(0)}^{2} + 200 (0)] = (- \frac{8000}{3} + 2000 + 4000) = \frac{10000}{3} متر مربع$

$\frac{10000}{3} متر مربع$

← 10000/3 متر مربع (حوالي 3333.33 متر مربع)

السؤال 2 (1 نقاط) — حول المساحة من متر مربع إلى هكتار

التحويل — التحويل من متر مربع إلى هكتار: 10000/3 ÷ 10000 = 1/3 هكتار.
$\frac{10000}{3} \div 10000 = \frac{1}{3} هكتار$

$\frac{1}{3} هكتار$

← 1/3 هكتار (حوالي 0.333 هكتار)

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا تم حفر قناة على طول المحور x، فما مساحة القناة (عرضها 2 متر)؟

مساحة القناة — مساحة القناة = العرض × الطول = 2 × 20 = 40 متر مربع.
$2 \times 20 = 40 متر مربع$

$40 متر مربع$

← 40 متر مربع

السؤال 4 (2 نقاط) — احسب معدل تغير المساحة بالنسبة لـ x عند x=10

مشتقة المساحة — معدل تغير المساحة بالنسبة لـ x هو ارتفاع الدالة عند ذلك x.
$\frac{d A}{d x} = y = - x^{2} + 10 x + 200$
عند x=10 — y(10) = -100 + 100 + 200 = 200 متر/متر (معدل التغير في المساحة بالنسبة للطول).
$y (10) = - 10^{2} + 10 (10) + 200 = 200 متر/متر$

$200 متر/متر$

← 200 متر مربع/متر

سلم التقدير

حساب التكامل المحدد بشكل صحيح	2 نقاط
تحويل المساحة إلى هكتار بشكل صحيح	1 نقاط
حساب مساحة القناة بشكل صحيح	1 نقاط
حساب معدل تغير المساحة عند x=10 بشكل صحيح	2 نقاط

المتتاليات الحسابية والهندسية: تطبيق على توزيع الموارد في المحافظات العراقية (4 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب المبلغ المخصص لمحافظة البصرة

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب المبلغ المخصص لمحافظة نينوى

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب المبلغ المخصص لمحافظة أربيل

السؤال 4 (1 نقاط) — إذا قررت الوزارة زيادة المبلغ الإجمالي بنسبة 12% في العام التالي، فاحسب المبلغ الجديد لمحافظة بغداد

سلم التقدير

الدوال المثلثية: تحليل حركة الشمس في سماء البصرة (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب العلاقة بين طول الظل وارتفاع العمود وزاوية الارتفاع θ

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب طول الظل عند الساعة 3 بعد الظهر

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب معدل تغير طول الظل بالنسبة للزمن عند t=3

سلم التقدير

الهندسة التحليلية: تصميم جسر بين بغداد والبصرة (4 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — اكتب معادلة الدائرة التي يمثلها مسار الجسر

السؤال 2 (1 نقاط) — تحقق مما إذا كانت نقطتا بغداد والبصرة تقعان على الدائرة

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب طول الجسر (القطعة المستقيمة BS)

السؤال 4 (1 نقاط) — احسب المسافة بين مركز الدائرة وكل من بغداد والبصرة

سلم التقدير

نظرية الاحتمالات: توزيع الطلبة في الجامعات العراقية (3 نقاط)

السؤال 1 (1 نقاط) — احسب عدد الطلبة في كل تخصص

السؤال 2 (1 نقاط) — احسب احتمال أن يكون الطالب متخصصاً في الطب

السؤال 3 (1 نقاط) — احسب احتمال أن يكون الطالب متخصصاً في الهندسة

السؤال 4 (1 نقاط) — احسب احتمال أن يكون الطالب متخصصاً في الطب أو الهندسة

سلم التقدير

التكامل المحدد: حساب مساحة الحقول الزراعية في محافظة ديالى (6 نقاط)

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب المساحة تحت المنحنى بين x=0 وx=20 باستخدام التكامل المحدد

السؤال 2 (1 نقاط) — حول المساحة من متر مربع إلى هكتار

السؤال 3 (1 نقاط) — إذا تم حفر قناة على طول المحور x، فما مساحة القناة (عرضها 2 متر)؟

السؤال 4 (2 نقاط) — احسب معدل تغير المساحة بالنسبة لـ x عند x=10

سلم التقدير

المصادر