امتحان الرياضيات للبكالوريا العراقية 2025 - نماذج تدريبية

1. فهم المسألة — لدينا قطعة أرض مستطيلة. لنفرض أن عرضها هو $x$ متراً وطولها هو $y$ متراً. نعلم أن محيط المستطيل = 2 × (الطول + العرض) ومساحته = الطول × العرض.
2. صياغة المعادلات — من المحيط: $2(x+y)=120$ → $x+y=60$ → $y=60-x$. من المساحة: $x\times y=800$. بالتعويض: $x(60-x)=800$.
   $$x(60-x)=800$$
3. حل المعادلة التربيعية — نفتح القوس: $60x-x^2=800$ → ننقل كل الحدود إلى جهة واحدة: $x^2-60x+800=0$. نحل باستخدام القانون العام: $x=\frac{60\pm \sqrt{3600-3200}}{2}=\frac{60\pm \sqrt{400}}{2}=\frac{60\pm 20}{2}$.
   $$x=\frac{60\pm \sqrt{{60}^2-4\times 1\times 800}}{2}=\frac{60\pm \sqrt{3600-3200}}{2}$$
4. إيجاد الحلين — إذاً، $x_1=\frac{60+20}{2}=40$ و $x_2=\frac{60-20}{2}=20$. بما أن الطول > العرض، فإن العرض = 20 متراً والطول = 40 متراً.
   $$x_1=40\text{ m},x_2=20\text{ m}$$

$$20\text{ m}\times 40\text{ m}$$

← الأبعاد الممكنة هي 20 متراً (العرض) و40 متراً (الطول)

1. فهم الشكل الهندسي — لدينا دائرة نصف قطرها $r=150$ متراً، وثلاثة أبراج تشكل مثلثاً متساوي الأضلاع محاطاً بالدائرة (أي أن رؤوس المثلث تقع على محيط الدائرة).
2. طول ضلع المثلث — في مثلث متساوي الأضلاع محاط بدائرة، يرتبط طول الضلع $a$ بنصف القطر $r$ بالعلاقة: $a=r\sqrt{3}$. إذاً، $a=150\times \sqrt{3}\approx 150\times 1.732=259.8$ متراً.
   $$a=r\sqrt{3}=150\sqrt{3}\approx 259.8\text{ m}$$
3. مساحة الدائرة — مساحة الدائرة = $\pi r^2=\pi \times {150}^2=22500\pi \approx 70686$ متراً مربعاً.
   $$A_{\text{d cercle}}=\pi r^2=22500\pi \approx 70686{\text{ m}}^2$$
4. مساحة المثلث متساوي الأضلاع — مساحة المثلث متساوي الأضلاع = $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$. بالتعويض: $\frac{\sqrt{3}}{4}\times {(150\sqrt{3})}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 22500\times 3=\frac{67500\sqrt{3}}{4}\approx 29228$ متراً مربعاً.
   $$A_{\text{triangle}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{67500\sqrt{3}}{4}\approx 29228{\text{ m}}^2$$
5. مساحة المنطقة المحصورة — مساحة المنطقة = مساحة الدائرة - مساحة المثلث = $22500\pi -\frac{67500\sqrt{3}}{4}\approx 70686-29228=41458$ متراً مربعاً.
   $$A_{\text{région}}=22500\pi -\frac{67500\sqrt{3}}{4}\approx 41458{\text{ m}}^2$$

$$a\approx 259.8\text{ m},A\approx 41458{\text{ m}}^2$$

← طول ضلع المثلث ≈ 259.8 متراً، ومساحة المنطقة المحصورة ≈ 41458 متراً مربعاً

1. تبسيط الدالة — لدينا $C(x)=\frac{5000x+20000}{x+10}$. نقسم البسط والمقام على $x$: $C(x)=\frac{5000+\frac{20000}{x}}{1+\frac{10}{x}}$.
   $$C(x)=\frac{5000x+20000}{x+10}=\frac{5000+\frac{20000}{x}}{1+\frac{10}{x}}$$
2. حساب النهاية عند اللانهاية — عندما $x\to +\infty$، فإن $\frac{20000}{x}\to 0$ و$\frac{10}{x}\to 0$. وبالتالي، $C(x)\to \frac{5000+0}{1+0}=5000$.
   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }C(x)=\frac{5000+0}{1+0}=5000$$
3. التفسير الاقتصادي — عندما تنتج الشركة عدداً كبيراً جداً من الوحدات، فإن تكلفة الوحدة الواحدة تقترب من 5000 دينار عراقي. هذا يعني أن التكاليف الثابتة (20000 دينار) تصبح مهملة مقارنة بالتكاليف المتغيرة.

$$5000\text{ دينار عراقي}$$

← متوسط تكلفة الوحدة عند الإنتاج الكبير جداً هو 5000 دينار عراقي

1. حساب المتوسط الحسابي — المتوسط الحسابي = (مجموع القيم) / (عدد القيم) = (12+15+18+14+16+19+13+17+15+14) / 10 = 153 / 10 = 15.3 ألف طالب.
   $$\mu =\frac{12+15+18+14+16+19+13+17+15+14}{10}=\frac{153}{10}=15.3$$
2. حساب التباين — التباين = [ (12-15.3)^2 + (15-15.3)^2 + ... + (14-15.3)^2 ] / 10. نحسب الفروق المربعة: 10.89, 0.09, 7.29, 1.69, 0.49, 13.69, 5.29, 2.89, 0.09, 1.69. مجموعها = 44.1. التباين = 44.1 / 10 = 4.41.
   $${\sigma }^2=\frac{\sum {(x_i-\mu )}^2}{n}=\frac{44.1}{10}=4.41$$
3. حساب الانحراف المعياري — الانحراف المعياري = جذر التباين = جذر 4.41 = 2.1 ألف طالب.
   $$\sigma =\sqrt{4.41}=2.1$$
4. التفسير — الانحراف المعياري 2.1 يعني أن معظم أحياء البصرة يتراوح عدد طلابها بين 13.2 ألف و17.4 ألف طالب (15.3 ± 2.1). هذا التوزيع متجانس إلى حد ما، حيث لا توجد فروق كبيرة بين الأحياء.

$$\mu =15.3\text{ ألف طالب},\sigma =2.1\text{ ألف طالب}$$

← المتوسط = 15.3 ألف طالب، الانحراف المعياري = 2.1 ألف طالب. التوزيع متجانس نسبياً.

1. الرسم البياني — المئذنة والظل يشكلان مثلثاً قائم الزاوية. زاوية الارتفاع هي 45 درجة، لذا فإن زاوية المثلث عند قاعدة المئذنة هي 45 درجة أيضاً (لأن مجموع زوايا المثلث 180 درجة).
2. استخدام الدالة الظل — في المثلث القائم، $\tan (\theta )=\frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}$. هنا، $\theta =45°$، الضلع المقابل هو ارتفاع المئذنة ($h$)، والضلع المجاور هو طول الظل (20 متر).
   $$\tan (45°)=\frac{h}{20}$$
3. حساب الارتفاع — نعلم أن $\tan (45°)=1$، لذا: $1=\frac{h}{20}$ → $h=20$ متر. إذا اعتبرنا طول أحمد 1.75 متر، فإن الارتفاع الفعلي = 20 + 1.75 = 21.75 متر.
   $$h=20\text{ m}\text{(أو }21.75\text{ m مع أحمد)}$$

$$20\text{ m}\text{(أو }21.75\text{ m)}$$

← ارتفاع المئذنة = 20 متراً (أو 21.75 متراً مع أحمد)

1. السنة الأولى — الربح = 8% من 5,000,000 = 0.08 × 5,000,000 = 400,000 دينار. المبلغ الجديد = 5,000,000 + 400,000 = 5,400,000 دينار.
   $$M_1=\mathrm{5,000,000}\times (1+0.08)=\mathrm{5,400,000}\text{ دينار}$$
2. السنة الثانية — الخسارة = 5% من 5,400,000 = 0.05 × 5,400,000 = 270,000 دينار. المبلغ الجديد = 5,400,000 - 270,000 = 5,130,000 دينار.
   $$M_2=\mathrm{5,400,000}\times (1-0.05)=\mathrm{5,130,000}\text{ دينار}$$
3. السنة الثالثة — الربح = 10% من 5,130,000 = 0.10 × 5,130,000 = 513,000 دينار. المبلغ النهائي = 5,130,000 + 513,000 = 5,643,000 دينار.
   $$M_3=\mathrm{5,130,000}\times (1+0.10)=\mathrm{5,643,000}\text{ دينار}$$
4. الربح الإجمالي — الربح الإجمالي = المبلغ النهائي - رأس المال الأولي = 5,643,000 - 5,000,000 = 643,000 دينار. نسبة الربح الإجمالي = (643,000 / 5,000,000) × 100 ≈ 12.86%.
   $$P=\mathrm{5,643,000}-\mathrm{5,000,000}=\mathrm{643,000}\text{ دينار}$$

$$\mathrm{5,643,000}\text{ دينار},\mathrm{643,000}\text{ دينار (12.86\%)}$$

← المبلغ بعد ثلاث سنوات = 5,643,000 دينار عراقي، الربح الإجمالي = 643,000 دينار عراقي (12.86%)