رياضيات البكالوريا العراقي: تمارين شاملة مع الحلول 2025

1. صياغة المعادلة — المبيعات الإجمالية هي مجموع سعر تمر البرحي مضروباً في كميته وسعر تمر الزهدي مضروباً في كميته. لذا فإن المعادلة هي 12000x + 8000y = 150000
   $$12000x+8000y=150000$$
2. حل من أجل y — نقوم بتبسيط المعادلة بقسمة جميع الحدود على 1000 للحصول على أرقام أصغر: 12x + 8y = 150. ثم نحل من أجل y: 8y = 150 - 12x → y = (150 - 12x)/8
   $$y=\frac{150-12x}{8}$$
3. تعويض x = 5 — عندما x = 5، فإن y = (150 - 12×5)/8 = (150 - 60)/8 = 90/8 = 11.25 كغم
   $$y=\frac{150-60}{8}=\frac{90}{8}=11.25\text{ كغم}$$
4. التمثيل البياني — المعادلة y = (150 - 12x)/8 هي دالة خطية. يمكن تمثيلها برسم خط مستقيم في المستوى الإحداثي، حيث x تمثل كمية تمر البرحي وy تمثل كمية تمر الزهدي.
   $$y=\frac{150-12x}{8}$$
5. الحدود المنطقية — يجب أن تكون الكميات x وy غير سالبة، لذا: x ≥ 0 وy ≥ 0. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون y عدداً حقيقياً موجباً، لذا 150 - 12x ≥ 0 → x ≤ 12.5. لذا فإن المجال هو 0 ≤ x ≤ 12.5
   $$0\le x\le 12.5\text{و}y\ge 0$$

$$y=11.25\text{ كغم},0\le x\le 12.5\text{ كغم}$$

← عندما x = 5 كغم من تمر البرحي، فإن كمية تمر الزهدي المباعة هي 11.25 كغم. المجال الممكن هو 0 ≤ x ≤ 12.5 كغم.

1. المسافة بين بغداد والبصرة — بغداد عند (0,0) والبصرة عند (550,120). حسب قانون المسافة: المسافة = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
   $$d=\sqrt{{(550-0)}^2+{(120-0)}^2}$$
2. حساب المسافة بين بغداد والبصرة — d = √(550² + 120²) = √(302500 + 14400) = √316900 ≈ 563 كم
   $$d=\sqrt{302500+14400}=\sqrt{316900}\approx 563\text{ كم}$$
3. المسافة بين اربيل والموصل — اربيل عند (400,-200) والموصل عند (500,-350). حسب قانون المسافة: المسافة = √[(500-400)² + (-350-(-200))²]
   $$d=\sqrt{{(500-400)}^2+{(-350+200)}^2}$$
4. حساب المسافة بين اربيل والموصل — d = √(100² + (-150)²) = √(10000 + 22500) = √32500 ≈ 180.3 كم
   $$d=\sqrt{10000+22500}=\sqrt{32500}\approx 180.3\text{ كم}$$
5. المسافة بين بغداد والموصل — بغداد عند (0,0) والموصل عند (500,-350). المسافة = √(500² + (-350)²) = √(250000 + 122500) = √372500 ≈ 610.3 كم
   $$d=\sqrt{250000+122500}=\sqrt{372500}\approx 610.3\text{ كم}$$
6. المسافة الإجمالية للرحلة بغداد-الموصل-البصرة — المسافة الإجمالية = بغداد إلى الموصل + الموصل إلى البصرة = 610.3 + √[(550-500)² + (120-(-350))²] = 610.3 + √(50² + 470²) = 610.3 + √(2500 + 220900) = 610.3 + √223400 ≈ 610.3 + 472.7 = 1083 كم
   $$d_{\text{إجمالي}}=610.3+\sqrt{2500+220900}=610.3+472.7=1083\text{ كم}$$

$$d_{\text{ب}\text{غ}\text{د}\text{ا}\text{د}-\text{ا}\text{ل}\text{ب}\text{ص}\text{ر}\text{ة}}\approx 563\text{ كم},d_{\text{ا}\text{ر}\text{ب}\text{ي}\text{ل}-\text{ا}\text{ل}\text{م}\text{و}\text{ص}\text{ل}}\approx 180.3\text{ كم},d_{\text{ب}\text{غ}\text{د}\text{ا}\text{د}-\text{ا}\text{ل}\text{م}\text{و}\text{ص}\text{ل}}\approx 610.3\text{ كم},d_{\text{إجمالي}}\approx 1083\text{ كم}$$

← المسافة بين بغداد والبصرة ≈ 563 كم. المسافة بين اربيل والموصل ≈ 180.3 كم. بغداد والموصل هما الأبعد بمسافة 610.3 كم. المسافة الإجمالية للرحلة ≈ 1083 كم.

1. صياغة الدالة الأسية — النمو المستمر يتبع الدالة الأسية: A(t) = P × e^(rt) حيث P هو رأس المال الأولي، r هو معدل النمو، t هو الزمن بالسنوات.
   $$A(t)=2000000\times e^{0.05t}$$
2. حساب رأس المال بعد 3 سنوات — A(3) = 2000000 × e^(0.05×3) = 2000000 × $e^0$.15 ≈ 2000000 × 1.1618 ≈ 2323600 دينار عراقي
   $$A(3)=2000000\times e^{0.15}\approx 2000000\times 1.1618\approx 2323600\text{ دينار عراقي}$$
3. الزمن اللازم للوصول إلى 3000000 دينار — نحل المعادلة 3000000 = 2000000 × e^(0.05t) → 1.5 = e^(0.05t) → ln(1.5) = 0.05t → t = ln(1.5)/0.05 ≈ 0.4055/0.05 ≈ 8.11 سنة → 8 سنوات
   $$3000000=2000000\times e^{0.05t}\Rightarrow t=\frac{\ln (1.5)}{0.05}\approx 8\text{ سنوات}$$
4. معدل النمو اللازم للوصول إلى 4000000 بعد 5 سنوات — نحل المعادلة 4000000 = 2000000 × e^(5r) → 2 = e^(5r) → ln(2) = 5r → r = ln(2)/5 ≈ 0.6931/5 ≈ 0.1386 = 13.86%
   $$4000000=2000000\times e^{5r}\Rightarrow r=\frac{\ln (2)}{5}\approx 0.1386=13.86\%$$

$$A(t)=2000000e^{0.05t},A(3)\approx 2323600\text{ دينار},t\approx 8\text{ سنوات},r\approx 13.86\%$$

← الدالة: A(t) = 2000000 × e^(0.05t). بعد 3 سنوات: ≈ 2323600 دينار. بعد 8 سنوات: ≈ 3000000 دينار. معدل النمو اللازم: 13.86%.

1. حساب المتوسط الحسابي — المتوسط = مجموع الدرجات ÷ عدد الطلاب = (78+85+92+65+74+88+95+70+82+77) ÷ 10 = 786 ÷ 10 = 78.6 درجة
   $$\mu =\frac{78+85+92+65+74+88+95+70+82+77}{10}=\frac{786}{10}=78.6\text{ درجة}$$
2. حساب الانحراف المعياري — أولاً نحسب الفرق بين كل درجة والمتوسط، ثم نربع الفروق، ثم نجمع المربعات، ثم نقسم على عدد الطلاب، ثم نأخذ الجذر التربيعي. Σ(xi-μ)² = (78-78.6)² + (85-78.6)² + ... + (77-78.6)² = 630.4. الانحراف المعياري = √(630.4/10) = √63.04 ≈ 7.94 درجة
   $$\sigma =\sqrt{\frac{\sum {(x_i-\mu )}^2}{n}}=\sqrt{\frac{630.4}{10}}=\sqrt{63.04}\approx 7.94\text{ درجة}$$
3. التحليل — الانحراف المعياري 7.94 درجة يشير إلى أن الدرجات متوسطة التشتت. معظم الدرجات تقع بين 70.66 و86.54 (المتوسط ± الانحراف المعياري). هذا التشتت معقول في اختبار مدرسي.
   $$\text{متوسط التشتت}$$
4. نسبة الطلاب الناجحين — عدد الطلاب الذين حصلوا على 70 درجة أو أكثر = 9 طلاب (جميعهم إلا من حصل على 65). النسبة = 9/10 = 90%
   $$\text{نسبة الناجحين}=\frac{9}{10}=90\%$$

$$\mu =78.6\text{ درجة},\sigma \approx 7.94\text{ درجة},\text{نسبة ناجحين}=90\%$$

← المتوسط = 78.6 درجة. الانحراف المعياري ≈ 7.94 درجة. التوزيع متوسط التشتت. نسبة الناجحين = 90%.

1. احتمال السيارة من نوع SUV — النسبة المئوية للسيارات من نوع SUV هي 35%، لذا الاحتمال = 0.35
   $$P(\text{SUV})=0.35$$
2. احتمال السيارة حمراء إذا كانت SUV — النسبة المئوية للسيارات الحمراء بين الـ SUV هي 30%، لذا الاحتمال الشرطي = 0.30
   $$P(\text{حمراء}|\text{SUV})=0.30$$
3. الاحتمال المشترك (سيارة حمراء من نوع SUV) — الاحتمال = P(SUV) × P(حمراء|SUV) = 0.35 × 0.30 = 0.105 = 10.5%
   $$P(\text{SUV}\cap \text{حمراء})=0.35\times 0.30=0.105=10.5\%$$
4. استقلال الحدثين — للتحقق من الاستقلال، نقارن P(حمراء|SUV) مع P(حمراء). P(حمراء) = (0.4×0.2) + (0.35×0.3) + (0.25×0.25) = 0.08 + 0.105 + 0.0625 = 0.2475. بما أن P(حمراء|SUV) = 0.30 ≠ P(حمراء) = 0.2475، فإن الحدثين غير مستقلين.
   $$P(\text{حمراء})=0.2475\ne P(\text{حمراء}|\text{SUV})=0.30\Rightarrow \text{غير مستقلين}$$

$$P(\text{SUV})=35\%,P(\text{حمراء}|\text{SUV})=30\%,P(\text{SUV}\cap \text{حمراء})=10.5\%,\text{غير مستقلين}$$

← احتمال السيارة SUV = 35%. احتمال السيارة حمراء إذا كانت SUV = 30%. احتمال السيارة حمراء من نوع SUV = 10.5%. الحدثان غير مستقلين.

1. مركز الدائرة — في المستوى المركب، المعادلة |z - (a + bi)| = r تمثل دائرة مركزها (a,b) ونصف قطرها r. لذا فإن المركز هو (3,4) في الإحداثيات الديكارتية، أو 3 + 4i في الصورة المركبة.
   $$\text{المركز}=(\mathrm{3,4})\text{ أو }3+4i$$
2. نصف قطر الدائرة — النصف قطر هو 5، وهو القيمة الموجودة على يمين علامة المساواة في المعادلة.
   $$r=5$$
3. التحقق من النقطة 3 + 9i — نقوم بحساب |(3+9i) - (3+4i)| = |5i| = 5. بما أن النتيجة تساوي نصف القطر (5)، فإن النقطة تقع على الدائرة.
   $$|(3+9i)-(3+4i)|=|5i|=5=r\Rightarrow \text{تقع على الدائرة}$$
4. المعادلة الديكارتية — في الصورة الديكارتية، معادلة الدائرة هي (x - a)² + (y - b)² = r². لذا (x - 3)² + (y - 4)² = 25
   $${(x-3)}^2+{(y-4)}^2=25$$

$$\text{المركز}=(\mathrm{3,4}),r=5,\text{النقطة تقع على الدائرة},{(x-3)}^2+{(y-4)}^2=25$$

← المركز: (3,4) أو 3+4i. نصف القطر: 5. النقطة 3+9i تقع على الدائرة. المعادلة الديكارتية: (x-3)² + (y-4)² = 25.