اختبار الرياضيات البكالوريا العراقية 2025 - نماذج محلولة

1. البيانات — نقوم بتحليل البيانات المعطاة حول مسارات الشحنات بين المدن العراقية الثلاث.
2. الاحتمال الأول — احتمال أن تكون الشحنة من بغداد إلى البصرة يساوي احتمال المرور ببغداد مضروباً في احتمال التوجه إلى البصرة عند المرور ببغداد.
   $$P(Bagdad\cap Basra)=P(Bagdad)\times P(Dest=Basra|Bagdad)=0.60\times 0.70=0.42$$
3. الاحتمال الثاني — احتمال أن تكون الشحنة من البصرة إلى أربيل يساوي احتمال المرور بالبصرة مضروباً في احتمال التوجه إلى أربيل عند المرور بالبصرة.
   $$P(Basra\cap Erbil)=P(Basra)\times P(Dest=Erbil|Basra)=0.25\times 0.20=0.05$$
4. قانون بايز — لحساب الاحتمال الشرطي المطلوب، نستخدم قانون بايز. نريد حساب احتمال أن تأتي الشحنة من بغداد إذا وصلت إلى أربيل.
   $$P(Bagdad|Erbil)=\frac{P(Erbil|Bagdad)\times P(Bagdad)}{P(Erbil)}$$
5. احتمال الوصول لأربيل — نحسب أولاً احتمال وصول أي شحنة إلى أربيل باستخدام قانون الاحتمال الكلي.
   $$P(Erbil)=P(Erbil|Bagdad)P(Bagdad)+P(Erbil|Basra)P(Basra)+P(Erbil|Erbil)P(Erbil)=(0.30\times 0.60)+(0.20\times 0.25)+(1\times 0.15)=0.18+0.05+0.15=0.38$$
6. الاحتمال النهائي — الآن نطبق قانون بايز للحصول على الاحتمال المطلوب.
   $$P(Bagdad|Erbil)=\frac{0.30\times 0.60}{0.38}=\frac{0.18}{0.38}\approx 0.4737$$
7. الاحتمال الثالث — نحسب احتمال وصول أي شحنة إلى البصرة باستخدام قانون الاحتمال الكلي.
   $$P(Basra)=P(Basra|Bagdad)P(Bagdad)+P(Basra|Basra)P(Basra)+P(Basra|Erbil)P(Erbil)=(0.70\times 0.60)+(1\times 0.25)+(0.50\times 0.15)=0.42+0.25+0.075=0.745$$

← الاحتمال الأول: 0.42، الاحتمال الثاني: 0.05، الاحتمال الثالث: 0.4737، الاحتمال الرابع: 0.745

1. القيمة المتوقعة — نحسب القيمة المتوقعة باستخدام الصيغة E(X) = Σ x·P(X=x).
   $$E(X)=0\times 0.1+1\times 0.3+2\times 0.4+3\times 0.2=0+0.3+0.8+0.6=1.7$$
2. التباين — نحسب التباين باستخدام الصيغة Var(X) = E(X²) - [E(X)]². نحتاج أولاً لحساب E(X²).
   $$E(X^2)=0^2\times 0.1+1^2\times 0.3+2^2\times 0.4+3^2\times 0.2=0+0.3+1.6+1.8=3.7$$
3. التباين النهائي — الآن نحسب التباين باستخدام القيمة المتوقعة.
   $$Var(X)=E(X^2)-{[E(X)]}^2=3.7-{(1.7)}^2=3.7-2.89=0.81$$
4. الانحراف المعياري — نأخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري.
   $$\sigma =\sqrt{Var(X)}=\sqrt{0.81}=0.9$$
5. المتوسط اليومي — نضرب القيمة المتوقعة في عدد الساعات ونقسم على 2 لأن كل مريض يحتاج نصف ساعة (30 دقيقة).
   $$E(\text{عدد المرضى في 8 ساعات})=8\times E(X)=8\times 1.7=13.6$$
6. عدد الساعات الكلية — بما أن كل مريض يحتاج 0.5 ساعة، فإن إجمالي الساعات اللازمة هو 13.6 × 0.5 = 6.8 ساعات. هذا هو متوسط عدد الساعات التي ينتظرها المرضى يومياً.
   $$E(\text{ساعات الانتظار اليومية})=13.6\times 0.5=6.8\text{ ساعات}$$
7. الاحتمال المطلوب — نحسب احتمال أن يكون X > 2، أي X = 3.
   $$P(X>2)=P(X=3)=0.2$$

← القيمة المتوقعة: 1.7 مريض/ساعة، التباين: 0.81، الانحراف المعياري: 0.9، المتوسط اليومي: 6.8 ساعات، الاحتمال: 0.2

1. المصفوفة الأصلية — نكتب المصفوفة A بناءً على البيانات المعطاة.
   $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 150& 100\\ 80& 0& 70\\ 90& 60& 0\end{array}\right)$$
2. زيادة 20% — نضرب كل عنصر في المصفوفة A في 1.2 للحصول على المصفوفة B.
   $$B=1.2\times A=\left(\begin{array}{ccc}0& 180& 120\\ 96& 0& 84\\ 108& 72& 0\end{array}\right)$$
3. مجموع الشحنات — نحسب مجموع كل صف (الشحنات الخارجة) وكل عمود (الشحنات الداخلة).
   $$C=\left(\begin{array}{ccc}250& 210& 160\\ 176& 154& 156\\ 180& 180& 180\end{array}\right)$$
4. عدد الشحنات إلى بغداد — نحسب مجموع العمود الأول (جميع الشحنات المتجهة إلى بغداد).
   $$150+80+90=320\text{ (في المصفوفة الأصلية)}$$
5. النظام المتزن — نكتب المعادلات الثلاث التي تمثل التوازن: sum of row i = sum of column i.
   $$\{\begin{array}{c}250=250\\ 176=210\\ 180=160\end{array}$$

← المصفوفة الأصلية: A كما هي، المصفوفة بعد الزيادة: B كما هي، مجموع الشحنات: C كما هي، الشحنات إلى بغداد: 320 ألف شحنة، نظام المعادلات: sum row i = sum column i

1. الترتيب — نرتب البيانات تصاعدياً للحصول على الوسيط والمنوال.
   12.5, 12.7, 12.8, 12.9, 13.0, 13.1, 13.2, 13.3, 13.4, 13.5
2. المتوسط الحسابي — نحسب مجموع جميع القيم ثم نقسم على عددها.
   $$E=\frac{12.5+13.2+12.8+13.5+12.9+13.1+13.0+12.7+13.3+13.4}{10}=\frac{130.4}{10}=13.04$$
3. الوسيط — بما أن عدد البيانات زوجي (10)، فإن الوسيط هو متوسط القيمتين الخامس والسادس في الترتيب.
   $$Median=\frac{13.0+13.1}{2}=13.05$$
4. المنوال — نبحث عن القيمة الأكثر تكراراً. جميع القيم فريدة، لذا لا يوجد منوال.
   $$\text{No mode}$$
5. المدى — المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة.
   $$Range=13.5-12.5=1.0$$
6. الانحراف المعياري — نحسب أولاً مجموع مربعات الانحرافات عن المتوسط، ثم نقسم على n-1 (التباين)، ثم نأخذ الجذر التربيعي.
   $$s=\sqrt{\frac{\sum {(x_i-\bar{x})}^2}{n-1}}$$
7. حسابات الانحرافات — نحسب كل انحراف عن المتوسط (13.04) ثم نربعه.
   $$\begin{array}{cc}& {(12.5-13.04)}^2=0.2916\\ & {(13.2-13.04)}^2=0.0256\\ & {(12.8-13.04)}^2=0.0576\\ & {(13.5-13.04)}^2=0.2116\\ & {(12.9-13.04)}^2=0.0196\\ & {(13.1-13.04)}^2=0.0036\\ & {(13.0-13.04)}^2=0.0016\\ & {(12.7-13.04)}^2=0.1156\\ & {(13.3-13.04)}^2=0.0676\\ & {(13.4-13.04)}^2=0.1296\end{array}$$
8. التباين — نحسب مجموع مربعات الانحرافات ثم نقسم على n-1.
   $$s^2=\frac{0.2916+0.0256+0.0576+0.2116+0.0196+0.0036+0.0016+0.1156+0.0676+0.1296}{9}=\frac{0.924}{9}=0.1027$$
9. الانحراف المعياري — نأخذ الجذر التربيعي للتباين.
   $$s=\sqrt{0.1027}\approx 0.32$$
10. القيمة السوقية — نحسب إجمالي الإنتاج ثم نضربه في سعر البرميل الواحد بالدولار، ثم نحول إلى دينار عراقي.
    $$\begin{array}{cc}& ext\text{إ}\text{ج}\text{م}\text{ا}\text{ل}\text{ي}\text{ا}\text{ل}\text{إ}\text{ن}\text{ت}\text{ا}\text{ج}=130.4\text{ ألف برميل}\\ & ext\text{ا}\text{ل}\text{ق}\text{ي}\text{م}\text{ة}\text{ب}\text{ا}\text{ل}\text{د}\text{و}\text{ل}\text{ا}\text{ر}=130.4\times 70=9128\text{ ألف دولار}\\ & ext\text{ا}\text{ل}\text{ق}\text{ي}\text{م}\text{ة}\text{ب}\text{ا}\text{ل}\text{د}\text{ي}\text{ن}\text{ا}\text{ر}=9128\times 1300=\mathrm{11,866,400}\text{ ألف دينار}\end{array}$$

← البيانات المرتبة: 12.5, 12.7, 12.8, 12.9, 13.0, 13.1, 13.2, 13.3, 13.4, 13.5، المتوسط: 13.04، الوسيط: 13.05، المنوال: لا يوجد، المدى: 1.0، الانحراف المعياري: 0.32، القيمة السوقية: 11,866,400 ألف دينار

1. التحويل إلى Z — نحول القيم إلى درجات معيارية باستخدام Z = (X - μ)/σ.
   $$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$
2. الاحتمال الأول — نحسب Z للقيمة 60 ثم نبحث في جدول التوزيع الطبيعي القياسي.
   $$Z=\frac{60-68}{5}=-1.6$$
3. البحث في الجدول — P(Z < -1.6) = 0.0548 (من جدول التوزيع الطبيعي القياسي)
   $$P(X<60)=P(Z<-1.6)=0.0548$$
4. الاحتمال الثاني — نحسب Z للقيمتين 65 و75 ثم نجد الفرق بين الاحتمالين.
   $$Z_{65}=\frac{65-68}{5}=-0.6,Z_{75}=\frac{75-68}{5}=1.4$$
5. البحث في الجدول — P(-0.6 < Z < 1.4) = P(Z < 1.4) - P(Z < -0.6) = 0.9192 - 0.2743 = 0.6449
   $$P(65<X<75)=0.6449$$
6. الاحتمال الثالث — نحسب Z للقيمة 80 ثم نجد P(Z > 2.4).
   $$Z=\frac{80-68}{5}=2.4$$
7. البحث في الجدول — P(Z > 2.4) = 1 - P(Z < 2.4) = 1 - 0.9918 = 0.0082
   $$P(X>80)=0.0082$$
8. المرتبة المئوية — نحسب Z للقيمة 73 ثم نجد P(Z < 1).
   $$Z=\frac{73-68}{5}=1$$
9. البحث في الجدول — P(Z < 1) = 0.8413، لذا المرتبة المئوية هي 84.13%
   $$P(X<73)=0.8413(84.13\%)$$
10. الوزن العاشر — نبحث في جدول التوزيع الطبيعي عن القيمة Z التي соответ P(Z < z) = 0.10، ثم نحول إلى الوزن الفعلي.
    $$Z_{0.10}\approx -1.28(\text{م}\text{ن}\text{ج}\text{د}\text{و}\text{ل}\text{ا}\text{ل}\text{ت}\text{و}\text{ز}\text{ي}\text{ع}\text{ا}\text{ل}\text{ط}\text{ب}\text{ي}\text{ع}\text{ي})$$
11. الوزن النهائي — نستخدم المعادلة العكسية: X = μ + Z·σ.
    $$X=68+(-1.28)\times 5=68-6.4=61.6\text{ كجم}$$

← الاحتمال الأول: 0.0548، الاحتمال الثاني: 0.6449، الاحتمال الثالث: 0.0082، المرتبة المئوية: 84.13%، الوزن العاشر: 61.6 كجم

1. الفصل بين المتغيرات — نعيد ترتيب المعادلة لفصل المتغيرات.
   $$\frac{dT}{T-25}=-kdt$$
2. الدمج — ندمج الطرفين للحصول على الحل العام.
   $$\int \frac{dT}{T-25}=\int -kdt\ln |T-25|=-kt+C$$
3. الحل العام — نحل المعادلة للحصول على T(t).
   $$T(t)=25+C{e}^{-kt}$$
4. الثابت C — نستخدم الشرط الابتدائي T(0) = 80 لإيجاد C.
   $$80=25+C{e}^0\Rightarrow C=55$$
5. الحل الخاص — نكتب الحل الكامل باستخدام القيمة المحددة لـ C.
   $$T(t)=25+55e^{-0.1t}$$
6. درجة الحرارة بعد 5 ساعات — نضع t = 5 في المعادلة.
   $$T(5)=25+55e^{-0.1\times 5}=25+55e^{-0.5}\approx 25+55\times 0.6065=25+33.36=58.36\text{ درجة مئوية}$$
7. الزمن للوصول إلى 30 درجة — نحل المعادلة 30 = 25 + 55 $e^{-0.1t}$ لإيجاد t.
   $$\begin{array}{cc}5& =55e^{-0.1t}\\ \frac{5}{55}& =e^{-0.1t}\\ \ln (\frac{1}{11})& =-0.1t\\ t& =-\frac{\ln (1/11)}{0.1}=\frac{\ln (11)}{0.1}\approx 24\text{ ساعة}\end{array}$$
8. المنحنى — المنحنى يبدأ عند 80 درجة وينخفض بشكل أسي towards 25 درجة، ويتقارب معها مع الزمن.
9. درجة الحرارة النهائية — عندما t → ∞، فإن $e^{-0.1t}$ → 0، لذا T → 25 درجة مئوية.
   $$T(\infty )=25\text{ درجة مئوية}$$

← الحل العام: T(t) = 25 + 55$e^{-0.1t}$، بعد 5 ساعات: 58.36 درجة، الزمن للوصول إلى 30 درجة: 24 ساعة، درجة الحرارة النهائية: 25 درجة مئوية

1. درجة المدن — نحسب مجموع كل صف/عمود للحصول على درجة كل مدينة.
   $$\begin{array}{cc}\text{درجة بغداد}& =2\\ \text{درجة البصرة}& =3\\ \text{درجة أربيل}& =3\\ \text{درجة الموصل}& =2\end{array}$$
2. المسارات بطول 2 — نحسب A² ثم نبحث في الصف 1 (بغداد) والعمود 2 (بصرة).
   $$A^2=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 2\\ 1& 3& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right)$$
3. عدد المسارات — القيمة A²(1,2) = 1، لذا يوجد مسار واحد بطول 2 من بغداد إلى البصرة.
   $$1\text{ مسار}$$
4. المسارات من أربيل إلى الموصل — نبحث في الصف 3 (أربيل) والعمود 4 (موصل) في المصفوفة A.
   $$A(\mathrm{3,4})=1\text{ (مسار مباشر)}$$
5. أقصر مسار من البصرة إلى أربيل — نجد جميع المسارات الممكنة: البصرة-بغداد-أربيل (550+350=900 كم) أو البصرة-الموصل-أربيل (؟؟؟-600 كم) أو البصرة-أربيل مباشر (600 كم).
   $$\begin{array}{cc}& ext\text{ا}\text{ل}\text{ب}\text{ص}\text{ر}\text{ة}-\text{ب}\text{غ}\text{د}\text{ا}\text{د}-\text{أ}\text{ر}\text{ب}\text{ي}\text{ل}=550+350=900\text{ كم}\\ & ext\text{ا}\text{ل}\text{ب}\text{ص}\text{ر}\text{ة}-\text{أ}\text{ر}\text{ب}\text{ي}\text{ل}\text{م}\text{ب}\text{ا}\text{ش}\text{ر}=600\text{ كم}\end{array}$$
6. الاختيار — المسار المباشر هو الأقصر (600 كم).
   $$600\text{ كم}$$

← درجة بغداد: 2، البصرة: 3، أربيل: 3، الموصل: 2، المسارات بطول 2: 1، المسارات من أربيل إلى الموصل: 1، أقصر مسار: 600 كم