تكامل II: تمارين وحلول للبكالوريا العراقية

1. تعريف التكامل المحدد — التكامل المحدد لحساب المساحة تحت المنحنى يعطى بالعلاقة: $A={\int }_a^{b}f(x)dx$ حيث $f(x)$ هي الدالة و$[a,b]$ هو الفاصل الزمني.
   $$A={\int }_a^{b}f(x)dx$$
2. حساب التكامل — نقوم بحساب التكامل المحدد للدالة المعطاة من 0 إلى 10 باستخدام قاعدة القوة للتكامل.
   $$\int (0.01x^3-0.3x^2+2.5x)dx=0.01\frac{x^4}{4}-0.3\frac{x^3}{3}+2.5\frac{x^2}{2}+C$$
3. تطبيق الحدود — نقوم بتطبيق الحدود العليا والدنيا لحساب القيمة المحددة.
   $${[0.0025x^4-0.1x^3+1.25x^2]}_0^{10}$$

$$125{\text{m}}^2$$

← المساحة تحت المنحنى هي 125 متر مربع

1. اختيار التعويض — نلاحظ أن الدالة تحتوي على $\sin (0.2t)$. نضع $u=0.2t$، إذن $du=0.2dt$ أو $dt=\frac{du}{0.2}$
   $$u=0.2t\Rightarrow du=0.2dt\Rightarrow dt=\frac{du}{0.2}$$
2. تغيير الحدود — عندما $t=0$، $u=0$ وعندما $t=15$، $u=3$
   $$t=0\Rightarrow u=0;t=15\Rightarrow u=3$$
3. إعادة كتابة التكامل — نقوم بإعادة كتابة التكامل باستخدام المتغير الجديد $u$.
   $${\int }_0^{15}50\sin (0.2t)dt={\int }_0^{3}50\sin (u)\cdot \frac{du}{0.2}=250{\int }_0^3\sin (u)du$$
4. حساب التكامل — نقوم بحساب تكامل $\sin (u)$ ثم نطبق الحدود.
   $$250{\int }_0^3\sin (u)du=250{[-\cos (u)]}_0^3=250(-\cos (3)+\cos (0))$$

$$250(-\cos (3)+1)\text{لتر}$$

← الكمية الإجمالية للنفط المضخوخ هي 250(-cos(3) + 1) لتر (حوالي 475.5 لتر)

1. تعريف التكامل بالأجزاء — نستخدم القاعدة: $\int udv=uv-\int vdu$. نختار $u=t$ و$dv=e^{0.1t}dt$.
   $$\int udv=uv-\int vdu$$
2. حساب $du$ و$v$ — إذا كان $u=t$، فإن $du=dt$. إذا كان $dv=e^{0.1t}dt$، فإن $v=\frac{1}{0.1}{e}^{0.1t}=10e^{0.1t}$
   $$u=t\Rightarrow du=dtdv=e^{0.1t}dt\Rightarrow v=\frac{1}{0.1}{e}^{0.1t}=10e^{0.1t}$$
3. تطبيق القاعدة — نقوم بتطبيق قاعدة التكامل بالأجزاء.
   $$\int t\cdot e^{0.1t}dt=t\cdot 10e^{0.1t}-\int 10e^{0.1t}dt=10t{e}^{0.1t}-100e^{0.1t}+C$$
4. حساب عدد السكان — نقوم بحساب $P(5)$ باستخدام $P(0)=50$.
   $$P(t)=10t{e}^{0.1t}-100e^{0.1t}+CP(0)=50=10(0)e^0-100e^0+C\Rightarrow C=150P(5)=10(5)e^{0.5}-100e^{0.5}+150$$

$$150-50e^{0.5}\text{ألف شخص}$$

← عدد السكان بعد 5 سنوات هو 150 - 50$e^{0.5}$ ألف شخص (حوالي 79.3 ألف شخص)

1. تحليل المقام — نلاحظ أن المقام يمكن تحليله إلى $t^2(t+1)$
   $$t^3+t^2=t^2(t+1)$$
2. الكسور الجزئية — نكتب الدالة على شكل: $\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t+1}$
   $$\frac{2t^2+3t+1}{t^2(t+1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t+1}$$
3. إيجاد الثوابت — بضرب الطرفين في المقام، نحصل على: $2t^2+3t+1=At(t+1)+B(t+1)+C{t}^2$. نعوض بقيم $t$ مختلفة لإيجاد $A$, $B$, $C$.
   $$2t^2+3t+1=At(t+1)+B(t+1)+C{t}^2$$
4. حساب التكامل — نقوم بحساب تكامل كل جزء ثم نطبق الحدود من 1 إلى 3.
   $$\int f(t)dt=\int (\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t+1})dt$$

$$\ln (3)-\ln (2)+0.5$$

← التكامل المحدد من 1 إلى 3 هو ln(3) - ln(2) + 0.5 (حوالي 1.193)

1. تحديد نوع المتكامل — نقوم بفحص الدالة عند الحدود. عند $t=2$، الدالة غير معرفة (تنقسم على صفر). لذا، المتكامل غير محدد عند $t=2$.
   $$\underset{t\to 2}{\lim }\frac{1}{{(t-2)}^2}=+\infty$$
2. حساب المتكامل غير المحدود — نقوم بحساب المتكامل من 3 إلى 5 باستخدام التكامل المحدد.
   $${\int }_3^5\frac{1}{{(t-2)}^2}dt={[-\frac{1}{t-2}]}_3^5$$

0.5

← المتكامل محدد في الفترة [3,5] وقيمته هي 0.5

1. رسم المنحنيين — نقوم برسم الدالتين. $y_2=2x$ هي خط مستقيم، و$y_1=x^2$ هي قطع مكافئ. في الفترة [0,2]، $y_2$ أعلى من $y_1$.
   $$y_2=2x>y_1=x^2\text{لـ}x\in [\mathrm{0,2}]$$
2. تعريف المساحة — المساحة بين منحنيين تعطى بالعلاقة: $A={\int }_a^b(y_{top}-y_{bottom})dx$
   $$A={\int }_a^b(y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}})dx$$
3. حساب التكامل — نقوم بحساب الفرق بين الدالتين ثم نكامل من 0 إلى 2.
   $$A={\int }_0^2(2x-x^2)dx={[x^2-\frac{x^3}{3}]}_0^2$$

$$\frac{4}{3}{\text{m}}^2$$

← المساحة الكلية للحديقة هي 4/3 متر مربع (حوالي 1.333 م²)