حدود ومشتقات: دليل المبتدئين (العراق)

السؤال 1 (4 نقاط) — احسب قيمة الحد $\lim$_{x $\to$ 3} f(x)

1. التعويض المباشر — عند التعويض x=3 مباشرة، نحصل على 0/0 وهو شكل غير معرّف.
   $$\frac{3^2-9}{3-3}=\frac{0}{0}$$
2. التبسيط — نحلل البسط ونبسط الكسر.
   $$f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3(x\ne 3)$$
3. حساب الحد النهائي — نحسب الحد للدالة المبسطة.
   $$\underset{x\to 3}{\lim }(x+3)=6$$

6

← الحد يساوي 6

السؤال 2 (2 نقاط) — ماذا تلاحظ عند التعويض المباشر؟ كيف يمكنك حل هذه المشكلة؟

1. ملاحظة الشكل — عند التعويض المباشر، نحصل على الشكل غير المعرّف 0/0، مما يدل على وجود حد وليس دالة معرّفة عند تلك النقطة.
2. الحل — يجب تبسيط الدالة قبل حساب الحد، وهذا ما قمنا به بملاحظة العامل المشترك (x-3).

← عند التعويض المباشر حصلنا على 0/0 (شكل غير معرّف). حللنا الدالة بتبسيطها إلى x+3 ثم حسبنا الحد.

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب تعبير السرعة اللحظية باستخدام تعريف المشتقة

1. كتابة التعريف — نستخدم تعريف المشتقة الهندسي.
   $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
2. التعويض — نعوض الدالة المعطاة.
   $$f^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{(t+h)}^2+4(t+h)-(t^2+4t)}{h}$$

$$f^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$

← السرعة اللحظية هي f'(t) = li$m_{h\to 0}$ [f(t+h) - f(t)]/h

السؤال 2 (4 نقاط) — احسب f'(2) باستخدام تعريف المشتقة

1. حساب f'(x) — نحسب المشتقة باستخدام التعريف كما في الخطوات أعلاه.
   $$f^{\prime }(x)=2x+4$$
2. التعويض عند t=2 — نعوض t=2 في المشتقة.
   $$f^{\prime }(2)=2(2)+4=8$$

$$8\text{ م/ث}$$

← السرعة اللحظية عند t=2 ساعة هي 8 م/ث

السؤال 3 (1 نقاط) — فسر النتيجة في سياق المشكلة

1. التفسير — السرعة اللحظية 8 م/ث تعني أن الحافلة تتحرك بسرعة 8 أمتار كل ثانية عند t=2 ساعة. لتحويلها إلى كم/ساعة: 8 × 3.6 = 28.8 كم/ساعة.
   $$8\text{ م/ث}=8\times 3.6=28.8\text{ كم/ساعة}$$

← السرعة اللحظية 8 م/ث (28.8 كم/ساعة) عند t=2 ساعة، مما يعني أن الحافلة تتحرك بسرعة ثابتة تقريباً في تلك اللحظة.

السؤال 1 (4 نقاط) — احسب f'(x) باستخدام قواعد الاشتقاق

1. تطبيق القاعدة — نشتق كل حد باستخدام قاعدة القوة.
   $$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[0.5x^3]-\frac{d}{dx}[2x^2]+\frac{d}{dx}[5x]+\frac{d}{dx}[100]$$
2. النتيجة النهائية — بعد الاشتقاق، نحصل على f'(x).
   $$f^{\prime }(x)=1.5x^2-4x+5$$

$$f^{\prime }(x)=1.5x^2-4x+5$$

← f'(x) = 1.5x² - 4x + 5

السؤال 2 (3 نقاط) — أوجد f'(10) وفسر معناها في سياق المشكلة

1. التعويض عند x=10 — نعوض x=10 في f'(x).
   $$f^{\prime }(10)=1.5{(10)}^2-4(10)+5=1.5(100)-40+5=150-40+5=115$$

$$115\text{ دينار/يوم}$$

← معدل تغير السعر عند اليوم العاشر هو 115 دينار عراقي لكل يوم

السؤال 3 (1 نقاط) — ماذا يحدث لسعر الطماطم بعد 10 أيام؟ (تزايد أم تناقص)

1. التحليل — بما أن f'(10) = 115 > 0، فإن السعر يتزايد بمعدل 115 دينار يومياً بعد 10 أيام من بداية الموسم.
   $$f^{\prime }(10)=115>0\Rightarrow \text{السعر يتزايد}$$

← السعر يتزايد بعد 10 أيام بمعدل 115 دينار يومياً

السؤال 1 (4 نقاط) — احسب h'(t) باستخدام قواعد الاشتقاق المثلثي

1. تطبيق القاعدة — نشتق كل جزء من الدالة.
   $$h^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}[50]+\frac{d}{dt}[10\sin (t)]=0+10\cos (t)$$

$$h^{\prime }(t)=10\cos (t)$$

← h'(t) = 10cos(t)

السؤال 2 (3 نقاط) — أوجد h'(π/2) وفسر معناها في سياق المشكلة

1. التعويض عند t=π/2 — نعوض t=π/2 في h'(t).
   $$h^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=10\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=10\times 0=0$$

$$0\text{ م/ساعة}$$

← معدل تغير ارتفاع الظل عند الظهيرة هو 0 م/ساعة

السؤال 3 (2 نقاط) — ماذا يحدث لارتفاع الظل عند الظهيرة؟

1. التفسير — عندما h'(t) = 0، فهذا يعني أن ارتفاع الظل يتوقف عن التغير عند تلك اللحظة (الظهيرة). الظل يكون في أقصى ارتفاع له ثم يبدأ في الانخفاض بعد ذلك.

← عند الظهيرة، يتوقف ارتفاع الظل عن التغير (يكون في أقصى ارتفاع له).

السؤال 1 (3 نقاط) — احسب C'(x)

1. تطبيق قاعدة القوة — نشتق كل حد من حدود الدالة.
   $$C^{\prime }(x)=0.03x^2-x+10$$

$$C^{\prime }(x)=0.03x^2-x+10$$

← C'(x) = 0.03x² - x + 10

السؤال 2 (3 نقاط) — جد النقاط الحرجة للدالة C(x) في الفترة [0, 50]

1. حل المعادلة C'(x) = 0 — نستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية: ax² + bx + c = 0 → x = [-b ± √(b²-4ac)]/(2a)
   $$x=\frac{1\pm \sqrt{1-4(0.03)(10)}}{2(0.03)}=\frac{1\pm \sqrt{1-1.2}}{0.06}=\frac{1\pm \sqrt{-0.2}}{0.06}$$
2. تحليل النتائج — نلاحظ أن المميز سالب (√(-0.2) ليس حقيقياً)، مما يعني عدم وجود نقاط حرجة حقيقية في المجال الحقيقي. لذلك، يجب فحص الأطراف.
   $$\mathrm{\Delta }={(-1)}^2-4(0.03)(10)=1-1.2=-0.2<0$$

← لا توجد نقاط حرجة حقيقية لأن المعادلة C'(x)=0 ليس لها حلول حقيقية.

السؤال 3 (4 نقاط) — حدد الكمية التي تقلل التكلفة اليومية

1. فحص الأطراف — بما أنه لا توجد نقاط حرجة، نبحث عن الحد الأدنى في أطراف الفترة [0, 50].
   $$C(0)=5000,C(50)=0.01(125000)-0.5(2500)+10(50)+5000=1250-1250+500+5000=5500$$
2. مقارنة القيم — نجد أن C(0) = 5000 < C(50) = 5500، لذا فإن الحد الأدنى للتكلفة يحدث عند x=0.

$$0\text{ طن}$$

← الكمية التي تقلل التكلفة اليومية هي 0 طن (إيقاف الإنتاج)

السؤال 4 (2 نقاط) — تحقق من أن هذه الكمية هي indeed الحد الأدنى

1. التحقق — بما أن C'(x) > 0 لكل x في [0,50] (لأن C'(0)=10 > 0 والمميز سالب)، فإن الدالة متزايدة في هذه الفترة. لذا، الحد الأدنى يحدث عند الطرف الأيسر x=0.
   $$C^{\prime }(x)=0.03x^2-x+10>0\forall x\in [\mathrm{0,50}]$$

← الدالة متزايدة في الفترة [0,50]، لذا الحد الأدنى عند x=0.

السؤال 1 (2 نقاط) — احسب f'(x)

1. تطبيق قاعدة القوة — نشتق كل حد باستخدام قاعدة القوة.
   $$f^{\prime }(x)=4x^3-9x^2+4x$$

$$f^{\prime }(x)=4x^3-9x^2+4x$$

← f'(x) = 4x³ - 9x² + 4x

السؤال 2 (2 نقاط) — احسب f''(x)

1. الاشتقاق الثاني — نشتق f'(x) للحصول على f''(x).
   $$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-18x+4$$

$$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-18x+4$$

← f''(x) = 12x² - 18x + 4

السؤال 3 (2 نقاط) — أوجد f''(1)

1. التعويض عند x=1 — نعوض x=1 في f''(x).
   $$f^{\prime \prime }(1)=12{(1)}^2-18(1)+4=12-18+4=-2$$

$$-2$$

← f''(1) = -2

السؤال 1 (2 نقاط) — اكتب تعبير الحد

1. كتابة الحد — الحد هو نهاية الدالة عندما t تؤول إلى ما لا نهاية.
   $$\underset{t\to \infty }{\lim }P(t)=\underset{t\to \infty }{\lim }500000{(1.02)}^t$$

$$\underset{t\to \infty }{\lim }500000{(1.02)}^t$$

← $\lim$_{t $\to$ $\infty$} P(t) = $\lim$_{t $\to$ $\infty$} 500000(1.02)^t

السؤال 2 (4 نقاط) — احسب $\lim$_{t $\to$ $\infty$} P(t)

1. حساب النهاية — بما أن 1.02 > 1، فإن (1.02)^t تؤول إلى ∞ عندما t→∞.
   $$\underset{t\to \infty }{\lim }{(1.02)}^t=+\infty \Rightarrow \underset{t\to \infty }{\lim }P(t)=+\infty$$

$$+\infty$$

← الحد يساوي ∞

السؤال 3 (2 نقاط) — ماذا يمثل هذا الحد في سياق المشكلة؟

1. التفسير — هذا يعني أن عدد السكان سينمو بلا حدود مع مرور الوقت، وهو أمر غير واقعي على المدى الطويل بسبب محدودية الموارد. في الواقع، ينمو السكان بشكل أسي حتى يصل إلى حد أقصى ثم يستقر.

← يمثل هذا الحد نمو السكان بلا حدود، وهو نموذج نظري قد لا ينطبق على الواقع بسبب القيود البيئية والاقتصادية.

السؤال 1 (3 نقاط) — اكتب دالة التكلفة لكل طالب T(x)

1. حساب T(x) — نقسم التكلفة الإجمالية على 50 طالباً.
   $$T(x)=\frac{20000x+5000\sqrt{x}}{50}=400x+100x^{1/2}$$

$$T(x)=400x+100\sqrt{x}$$

← T(x) = 400x + 100√x

السؤال 2 (3 نقاط) — احسب T'(x)

1. اشتقاق T(x) — نشتق كل حد باستخدام قاعدة القوة.
   $$T^{\prime }(x)=400+100\times \frac{1}{2}{x}^{-1/2}=400+\frac{50}{\sqrt{x}}$$

$$T^{\prime }(x)=400+\frac{50}{\sqrt{x}}$$

← T'(x) = 400 + 50/√x

السؤال 3 (3 نقاط) — جد النقاط الحرجة للدالة T(x)

1. إيجاد النقاط الحرجة — نضع T'(x) = 0 ونحل المعادلة.
   $$400+\frac{50}{\sqrt{x}}=0\Rightarrow \frac{50}{\sqrt{x}}=-400$$
2. تحليل الحل — المعادلة ليس لها حل لأن الطرف الأيسر موجب دائماً (√x > 0). لذلك، نبحث عن الحد الأدنى في الطرف الأيسر (x=0).

← لا توجد نقاط حرجة لأن T'(x) > 0 لكل x > 0.

السؤال 4 (4 نقاط) — حدد عدد الكيلومترات الإضافية التي تقلل التكلفة لكل طالب

1. فحص الطرف الأيسر — بما أن T'(x) > 0 لكل x > 0، فإن الدالة T(x) متزايدة في مجالها. لذا، الحد الأدنى يحدث عند أصغر قيمة ممكنة لـ x، وهي x=0.
   $$T^{\prime }(x)=400+\frac{50}{\sqrt{x}}>0\forall x>0$$
2. حساب التكلفة عند x=0 — T(0) = 400(0) + 100√0 = 0 دينار لكل طالب.
   $$T(0)=0$$

$$0\text{ كم}$$

← عدد الكيلومترات الإضافية التي تقلل التكلفة هو 0 كم (المسافة الأساسية فقط)

السؤال 5 (2 نقاط) — تحقق من أن هذه الكمية هي indeed الحد الأدنى

1. التحقق — بما أن الدالة متزايدة، فإن أي زيادة في x تزيد من التكلفة لكل طالب. لذا، الخيار الأمثل هو عدم إضافة أي كيلومترات إضافية.

← الدالة T(x) متزايدة، لذا الحد الأدنى عند x=0.

السؤال 1 (3 نقاط) — احسب الحد من اليمين $\lim$_{x $\to$ 2^+} f(x)

1. تعريف الحد من اليمين — نستخدم تعريف الحد من اليمين: x→2+
   $$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(3x-2)$$
2. حساب الحد — نعوض x=2 في الجزء الثاني من الدالة.
   $$=3(2)-2=4$$

4

← الحد من اليمين يساوي 4

السؤال 2 (3 نقاط) — احسب الحد من اليسار $\lim$_{x $\to$ 2^-} f(x)

1. تعريف الحد من اليسار — نستخدم تعريف الحد من اليسار: x→2-
   $$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }{x}^2$$
2. حساب الحد — نعوض x=2 في الجزء الأول من الدالة.
   $$=2^2=4$$

4

← الحد من اليسار يساوي 4

السؤال 3 (4 نقاط) — هل يوجد الحد $\lim$_{x $\to$ 2} f(x)؟ لماذا؟

1. وجود الحد — الحد $\lim$_{x $\to$ 2} f(x) موجود إذا تساوى الحدان من اليمين واليسار.
   $$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=4\Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$$
2. السبب — بما أن الدالة معرفة piecewise ولكنها متصلة عند x=2 (الحدان متساويان)، فإن الحد موجود ويساوي 4.

← نعم، الحد موجود ويساوي 4 لأن الحدين من اليمين واليسار متساويان.

السؤال 1 (3 نقاط) — ماذا يمثل V'(t) في هذه المشكلة؟

1. التفسير الفيزيائي — V'(t) يمثل معدل تدفق النفط، أي كمية النفط المتدفقة في الدقيقة الواحدة.

← V'(t) يمثل معدل تدفق النفط (كمية النفط المتدفقة في الدقيقة الواحدة)

السؤال 2 (4 نقاط) — احسب V'(t)

1. حساب V'(t) — نشتق الدالة V(t) باستخدام قاعدة القوة.
   $$V^{\prime }(t)=20t+5$$

$$V^{\prime }(t)=20t+5$$

← V'(t) = 20t + 5

السؤال 3 (4 نقاط) — أوجد V'(3) وفسر معناها في سياق المشكلة

1. التعويض عند t=3 — نعوض t=3 في V'(t).
   $$V^{\prime }(3)=20(3)+5=60+5=65$$

$$65{\text{ م}}^3\text{/دقيقة}$$

← معدل تدفق النفط عند t=3 دقائق هو 65 م³/دقيقة

السؤال 4 (5 نقاط) — إذا كان قطر الأنبوب 0.5 متر، احسب السرعة اللحظية للنفط (بالمتر/دقيقة) عند t=3 دقائق (تلميح: الحجم = مساحة المقطع × المسافة)

1. حساب السرعة اللحظية — الحجم = مساحة المقطع × المسافة → V = A × d → dV/dt = A × dd/dt → السرعة = (dV/dt)/A
   $$A=\pi r^2=\pi {(0.25)}^2=\frac{\pi }{16}{\text{ م}}^2$$
2. التعويض — السرعة = V'(3)/A = 65 / (π/16) = (65×16)/π ≈ 331.2 م/دقيقة
   $$\text{السرعة}=\frac{65}{\pi /16}=\frac{1040}{\pi }\approx 331.2\text{ م/دقيقة}$$

$$\frac{1040}{\pi }\text{ م/دقيقة}$$

← السرعة اللحظية للنفط عند t=3 دقائق هي 331.2 م/دقيقة

السؤال 5 (3 نقاط) — ماذا يحدث لمعدل تدفق النفط مع مرور الوقت؟ (تزايد أم تناقص)

1. تحليل V'(t) — V'(t) = 20t + 5 > 0 لكل t > 0، لذا فإن معدل تدفق النفط يتزايد مع مرور الوقت.
   $$V^{\prime }(t)=20t+5>0\forall t>0$$

← معدل تدفق النفط يتزايد مع مرور الوقت لأن V'(t) > 0.