حساباتي الأول: النهايات والمشتقات في العراق

Q: ما الفرق بين النهاية والدالة نفسها؟

النهاية هي القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب المتغير من نقطة معينة، بينما الدالة نفسها قد لا تكون معرفة عند تلك النقطة. على سبيل المثال، الدالة $ >$ غير معرفة عند $ >$، لكن نهايتها عند هذه النقطة موجودة وتساوي 2.

Q: كيف أعرف متى أستخدم قاعدة السلسلة في الاشتقاق؟

استخدم قاعدة السلسلة عندما ترى دالة داخل دالة أخرى. مثلاً، في $ >$، الدالة الخارجية هي $ >$ والدالة الداخلية هي $ >$. تذكر: قاعدة السلسلة هي $ >$.

Q: ما هي أكثر الأخطاء شيوعاً في مسائل النهايات؟

الأخطاء الشائعة هي: 1) عدم محاولة التعويض المباشر أولاً، 2) نسيان vérifier وجود النهاية (النهايات اليمنى واليسرى)، 3) الخلط بين عدم وجود نهاية وعدم وجود دالة عند النقطة، 4) عدم تحليل الدوال الكسرية بشكل صحيح عند الحصول على 0/0.

Q: كيف أطبق المشتقات على مسائل من الحياة الواقعية؟

ابدأ دائماً بترجمة المسألة إلى دالة رياضية. مثلاً، إذا كان لديك سعر نفط كدالة زمن، فإن مشتقته تعطيك معدل تغير السعر. إذا كان لديك دخل وتكلفة كدالتين زمن، فإن مشتقة الفرق تعطيك معدل تغير الربح. toujours traduisez le problème réel en fonction mathématique avant de dériver.

Q: ما الفرق بين الاستمرارية والنهايات؟

الدالة مستمرة عند نقطة إذا تحققت ثلاث شروط: 1) الدالة معرفة عند تلك النقطة، 2) النهاية موجودة عند تلك النقطة، 3) الدالة تساوي نتهايتها عند تلك النقطة. بعبارة أخرى، الاستمرارية تتطلب وجود النهاية وتساويها مع قيمة الدالة، بينما وجود النهاية لا يكفي وحده لجعل الدالة مستمرة.

Q: كيف أتعامل مع مسائل المشتقات المعقدة في الامتحان؟

ابدأ دائماً بتحديد نوع الدالة (خطية، تربيعية، كسرية، مثلثية، إلخ). ثم اختر القاعدة المناسبة. لا تحاول حفظ كل القواعد - فهمها!记住: قاعدة القوة هي الأساس، وقاعدة السلسلة هي الأكثر استخداماً في الدوال المركبة. دائماً قم بتبسيط الدالة قبل الاشتقاق إذا أمكن.

ما ستتعلمه

الأهداف

استكشف مفهوم النهاية باستخدام أمثلة من الحياة اليومية في العراق
احسب النهايات باستخدام طرق التعويض والتحليل
افهم العلاقة بين الاستمرارية والنهايات من خلال الرسوم البيانية
استنتج قاعدة اشتقاق الدوال الأساسية باستخدام التعريف الأول للمشتقة
طبق المشتقات على مسائل واقعية مثل حساب سرعة سيارة أو نمو استثمار مالي

المتطلبات السابقة

الدوال الخطية والتربيعية
قراءة الرسوم البيانية
مفاهيم basic في الجبر

الوقت المقدر: 60 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل تساءلت يوماً كيف يتنبأ خبراء الأرصاد بحالة الطقس في بغداد غداً؟ أو كيف يحسب المهندسون سرعة سيارة تتحرك على جسر الأئمة؟ السر يكمن في مفهوم رياضي بسيط لكنه عميق: النهاية. في هذا الدرس، سنكتشف معاً كيف تستخدم النهايات لحساب المشتقات، وكيف تساعدنا هذه الأخيرة في حل مشكلات من واقعنا العراقي - من أسواق بغداد إلى جسر الأئمة في الموصل.

لماذا نحتاج إلى النهايات؟

تخيل أنك تسير في شارع الرشيد في بغداد، وترى بائعاً يبيع العصائر. سعر الكوب الواحد 2000 دينار عراقي. إذا اشتريت 3 أكواب، ستدفع 6000 دينار. لكن ماذا لو اشتريت 3.1 كوب؟ 3.01 كوب؟ 3.001 كوب؟ هنا تكمن فكرة النهاية: ما هو المبلغ الذي ستدفعه عندما يقترب عدد الأكواب من 3؟ هذا exactly ما تعنيه النهاية في الرياضيات. إنها الإجابة على السؤال: ما هو القيمة التي تقترب منها الدالة عندما تقترب المتغير من قيمة معينة؟

النهاية ليست القيمة نفسها النهاية L

ParseError:  Unexpected character: '' at position 1: 
̲TAG0 هي القيمة التي تقترب منها الدالة f(x)

ParseError:  Unexpected character: '' at position 1: 
̲TAG1 عندما يقترب x

ParseError:  Unexpected character: '' at position 1: 
̲TAG2 من c

ParseError:  Unexpected character: '' at position 1: 
̲TAG3. لكنها لا تعني بالضرورة أن f(c)

ParseError:  Unexpected character: '' at position 1: 
̲TAG4 موجودة أو تساوي L

ParseError:  Unexpected character: '' at position 1: 
̲TAG5!

حساب نهاية سعر العصائر

بائع في سوق السراي في بغداد يبيع الدجاج المشوي. سعر الكيلوغرام الواحد 25000 دينار. إذا اشتريت x ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 كيلوغراماً، فإن السعر الكلي هو P(x) = 25000x ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 دينار. لكن ماذا لو اشتريت 2.999 كيلوغرام؟ 3.001 كيلوغرام؟

عندما x ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 يقترب من 3 كيلوغرام، السعر يقترب من 75000 دينار
حتى لو لم يكن البائع قادراً على بيع 3 كيلوغرام بالضبط (ربما بسبب الدقة في الوزن)، فإن السعر سيقترب من 75000 دينار
هذا هو معنى النهاية: \lim_{x \to 3} P(x) = 75000 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دينار

النهاية تعطي القيمة المتوقعة حتى لو لم نصل إلى النقطة بالضبط.

النهايات لا توجد دائماً! ليس كل دالة لها نهاية عند كل نقطة. هناك ثلاث حالات رئيسية لا توجد فيها النهاية:

كيف تحسب النهايات؟ طرق عملية

الآن بعد أن عرفت لماذا نحتاج إلى النهايات، دعنا نتعلم كيف نحسبها. هناك ثلاث طرق رئيسية: التعويض المباشر، التحليل، والنهايات عند اللانهاية. في هذا الدرس، سنركز على الطريقتين الأوليين لأنهما الأكثر شيوعاً في مسائل البكالوريا العراقية. تذكر دائماً: حاول التعويض أولاً قبل أي شيء آخر!

طريقة التعويض المباشر

هذه هي الطريقة الأولى والأسرع. جرب دائماً هذه الطريقة أولاً قبل الانتقال إلى طرق أخرى.

عوّض بقيمة x ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 مباشرة في الدالة
إذا حصلت على قيمة محددة، فأنت انتهيت!
إذا حصلت على 0/0 (شكل غير محدد)، انتقل إلى طريقة التحليل
إذا حصلت على ∞/∞، قد تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على أعلى قوة لـ x ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0

إذا أعطاك التعويض قيمة محددة، فأنت حصلت على النهاية! إذا أعطاك 0/0، انتقل إلى التحليل.

حساب نهاية سعر الكهرباء في البصرة

شركة كهرباء البصرة تفرض رسوماً على الاستهلاك الشهري وفقاً للدالة C(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دينار، حيث x ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 هو الاستهلاك بالكيلوواط. ما هي تكلفة الاستهلاك عند 3 كيلوواط بالساعة؟

عند التعويض المباشر: C(3) = \frac{9-9}{3-3} = \frac{0}{0} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 (شكل غير محدد)
نقوم بتحليل البسط: x^2 - 9 = (x-3)(x+3) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
تصبح الدالة: C(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 (عندما x ≠ 3 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1)
الآن عند التعويض: lim_{x→3} C(x) = 3+3 = 6 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دينار/كيلوواط

حتى لو لم تكن الدالة معرفة عند النقطة نفسها، فإن النهاية موجودة وقيمتها 6 دينار/كيلوواط.

النهاية عند اللانهاية

l i m_{x \to \infty} \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}}{b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + b_{0}} = {\begin{matrix} 0 & إذا n < m \\ \frac{a_{n}}{b_{m}} & إذا n = m \\ \infty & إذا n > m \end{matrix}

عندما تقترب x ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 من ما لا نهاية، نستخدم هذه القواعد البسيطة:

تمرين: حساب نهاية سعر النفط

احسب النهاية التالية: \lim_{t \to 1} \frac{2t^2 + 5t - 3}{t + 3} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دولار

الدالة: P(t) = \frac{2t^2 + 5t - 3}{t + 3} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
النقطة: t = 1 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0

Solution

التعويض المباشر — اولاً، جرب التعويض المباشر في الدالة
$P (1) = \frac{2 {(1)}^{2} + 5 (1) - 3}{1 + 3} = \frac{2 + 5 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
النتيجة — لأن التعويض أعطى قيمة محددة، فإن النهاية موجودة وتساوي هذه القيمة.
$\lim_{t \to 1} P (t) = 1$

→ النهاية تساوي 1 دولار

الاستمرارية والنهايات: متى تتوقف الدالة؟

الآن بعد أن عرفت كيف تحسب النهايات، دعنا نربطها بمفهوم الاستمرارية. الدالة المستمرة هي تلك التي يمكنك رسمها بدون رفع قلمك عن الورقة. لكن كيف ترتبط الاستمرارية بالنهايات؟ الجواب بسيط: الدالة f ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 مستمرة عند النقطة c ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 إذا تحققت ثلاث شروط: 1) f(c) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2 معرفة، 2) \lim_{x→c} f(x) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG3 موجودة، 3) الاثنان متساويان. في هذا الدرس، سنركز على العلاقة بين الاستمرارية والنهايات، لأن هذا المفهوم مهم جداً في حساب المشتقات.

<<term:الدالة المستمرة>>

En clair : الدالة المستمرة هي تلك التي لا يوجد بها قفزات أو ثقوب في الرسم البياني. يمكنك رسمها بدون رفع قلمك عن الورقة.

Définition : الدالة f ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 مستمرة عند النقطة c ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 في مجالها إذا تحققت الشروط الثلاثة التالية: 1) f(c) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2 معرفة، 2) \lim_{x→c} f(x) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG3 موجودة، 3) f(c) = \lim_{x→c} f(x) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG4.

À ne pas confondre : الدالة f(x) = \frac{1}{x} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 عند x=0 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 ليست مستمرة لأن f(0) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2 غير معرفة.

تحقق دائماً من الشروط الثلاثة قبل أن تقول أن دالة ما مستمرة عند نقطة معينة.

استمرارية سعر النفط في كركوك

شركة نفط كركوك تعلن عن سعر برميل النفط بالدالة P(t) = \begin{cases} 50t + 100 & \text{إذا } t < 5 \\ 350 & \text{إذا } t ≥ 5 \end{cases} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دولار، حيث t ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 هو الزمن بالساعات. هل هذه الدالة مستمرة عند t=5 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2؟

عند t=5 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0: P(5) = 350 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 دولار (معلومة)
النهاية اليمنى: \lim_{t→5^+} P(t) = 350 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دولار
النهاية اليسرى: \lim_{t→5^-} P(t) = 50(5)+100 = 350 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دولار
بما أن P(5) = \lim_{t→5} P(t) = 350 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0، فإن الدالة مستمرة عند t=5 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1

الدالة مستمرة عند النقطة 5 لأن جميع شروط الاستمرارية متحققة.

الثقوب والقفزات: أعداء الاستمرارية هناك نوعان رئيسيان من عدم الاستمرارية التي يجب أن تعرفهما لاجتياز البكالوريا:

المشتقات: معدل التغير اللحظي

أخيراً، وصلنا إلى قلب حساب التفاضل: المشتقات! تخيل أنك تقود سيارة في شارع فلسطين في بغداد، وتسير بسرعة 60 كيلومتر في الساعة. بعد 10 دقائق، أصبحت سرعتك 70 كيلومتر في الساعة. كيف تحسب معدل تغير سرعتك؟ هذا exactly ما تعنيه المشتقة: معدل التغير اللحظي لدالة ما. في هذا الدرس، سنستخدم تعريف النهاية لحساب المشتقة، ثم نتعلم القواعد الأساسية لحسابها بسرعة.

<<term:المشتقة>>

En clair : المشتقة تخبرك كم تتغير الدالة بسرعة عند نقطة معينة. مثل سرعة سيارتك، تخبرك كم تتغير المسافة بسرعة.

Définition : المشتقة للدالة f ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 عند النقطة x=a ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 هي: f'(a) = \lim_{h→0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2. هذه النسبة تسمى 'معدل التغير اللحظي'.

À ne pas confondre : الدالة f(x) = |x| ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 عند x=0 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 لها مشتقة يسارية ومشتقة يمينية مختلفتين، لذا لا يوجد لها مشتقة عند هذه النقطة.

استخدم تعريف المشتقة لحسابها عندما لا تعرف القواعد الأساسية بعد.

حساب سرعة سيارة في شارع المتنبي

سيارة تسير في شارع المتنبي في بغداد، والمسافة المقطوعة بالدالة s(t) = t^2 + 2t ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 كيلومتر، حيث t ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 هو الزمن بالساعات. احسب سرعة السيارة عند t=2 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2 ساعة.

المسافة المقطوعة بعد 2 ساعة: s(2) = 4 + 4 = 8 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 كيلومتر
المسافة بعد 2+h ساعة: s(2+h) = (2+h)^2 + 2(2+h) = 4 + 4h + h^2 + 4 + 2h = h^2 + 6h + 8 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 كيلومتر
معدل التغير: \frac{s(2+h)-s(2)}{h} = \frac{h^2 + 6h}{h} = h + 6 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 كيلومتر/ساعة
المشتقة: s'(2) = \lim_{h→0} (h+6) = 6 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 كيلومتر/ساعة

سرعة السيارة عند الساعة الثانية هي 6 كيلومتر في الساعة.

قواعد الاشتقاق الأساسية

c^{'} = 0 (مشتقة الثابت) n f^{'} (x) = n x^{n - 1} (قاعدة القوة) n {(f + g)}^{'} = f^{'} + g^{'} (مشتقة الجمع) n {(f g)}^{'} = f^{'} g + f g^{'} (قاعدة الضرب) n {(\frac{f}{g})}^{'} = \frac{f^{'} g - f g^{'}}{g^{2}} (قاعدة القسمة) n {(f \circ g)}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) (قاعدة السلسلة)

بعد أن عرفت تعريف المشتقة، دعنا نتعلم القواعد الأساسية لحسابها بسرعة. هذه القواعد ستوفر عليك الكثير من الوقت في الامتحانات:

قواعد الاشتقاق: اختصار الطريق إلى النجاح

الآن بعد أن عرفت قواعد الاشتقاق الأساسية، دعنا نطبقها على مسائل واقعية. تذكر دائماً: القواعد هي اختصار للطريقة الطويلة باستخدام تعريف المشتقة. كلما تدربت أكثر، أصبحت أسرع في حل المسائل. في هذا الدرس، سنركز على تطبيقات القواعد الأساسية التي ستواجهها في البكالوريا العراقية.

طريقة حل مسائل الاشتقاق

هذه الخطوات الخمس ستساعدك على حل أي مسألة اشتقاق بسرعة:

حدد نوع الدالة (خطية، تربيعية، كسرية، مثلثية، إلخ)
اختر القاعدة المناسبة (قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة السلسلة، إلخ)
اكتب الدالة بوضوح قبل الاشتقاق
طبق القاعدة خطوة بخطوة دون تخطي أي خطوة
تحقق من إجابتك بتعويض قيمة بسيطة (مثل x=1) في الدالة الأصلية والمشتقة

ابدأ دائماً بتحديد القاعدة المناسبة ثم طبقها خطوة بخطوة.

اشتقاق دالة سعر النفط في الناصرية

سعر برميل النفط في الناصرية يعطى بالدالة P(t) = 5t^3 - 2t^2 + 10t + 100 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دولار، حيث t ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 هو الزمن بالأيام. احسب معدل تغير السعر عند t=2 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2 أيام.

نشتق الدالة باستخدام قاعدة القوة: P'(t) = 15t^2 - 4t + 10 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
عند t=2 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0: P'(2) = 15(4) - 4(2) + 10 = 60 - 8 + 10 = 62 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 دولار/يوم
هذا يعني أن السعر يتغير بمعدل 62 دولار لكل يوم عند اليوم الثاني

معدل تغير سعر النفط عند اليوم الثاني هو 62 دولار لكل يوم.

تمرين: اشتقاق دالة استثمار في السليمانية

اشتق الدالة التالية واحسب قيمتها عند t=1 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0: I(t) = (2t + 1)(t^2 - 3t + 5) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1

الدالة: I(t) = (2t + 1)(t^2 - 3t + 5) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
النقطة: t = 1 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0

Solution

اختيار القاعدة — الدالة هي حاصل ضرب دالتين، لذا نستخدم قاعدة الضرب.
اشتقاق كل جزء — الجزء الأول: u = 2t + 1 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0، مشتقته u' = 2 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1
$u = 2 t + 1 \Rightarrow u^{'} = 2$
الجزء الثاني — الجزء الثاني: v = t^2 - 3t + 5 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0، مشتقته v' = 2t - 3 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1
$v = t^{2} - 3 t + 5 \Rightarrow v^{'} = 2 t - 3$
تطبيق قاعدة الضرب — مشتقة حاصل الضرب: I'(t) = u'v + uv' ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
$I^{'} (t) = u^{'} v + u v^{'} = 2 (t^{2} - 3 t + 5) + (2 t + 1) (2 t - 3)$
تبسيط — نقوم بتبسيط التعبير: I'(t) = 2t^2 - 6t + 10 + 4t^2 - 6t + 2t - 3 = 6t^2 - 10t + 7 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
$I^{'} (t) = 6 t^{2} - 10 t + 7$
التعويض عند t=1 — عند t=1 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0: I'(1) = 6 - 10 + 7 = 3 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1
$I^{'} (1) = 3$

→ معدل تغير الاستثمار عند الشهر الأول هو 3 دينار عراقي لكل شهر

سرع حسابك: قاعدة السلسلة قاعدة السلسلة هي أهم قاعدة في الاشتقاق! تعلمها جيداً وستوفر الكثير من الوقت. تذكر: عندما ترى دالة داخل دالة (مثل f(g(x))

ParseError:  Unexpected character: '' at position 1: 
̲TAG0)، استخدم قاعدة السلسلة: (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

ParseError:  Unexpected character: '' at position 1: 
̲TAG1.

تطبيقات المشتقات: من الرياضيات إلى الواقع العراقي

أخيراً، وصلنا إلى الجزء الأكثر إثارة: تطبيقات المشتقات في الحياة الواقعية! المشتقات ليست مجرد رياضيات نظرية - إنها أدوات قوية تحل مشكلات حقيقية. في هذا الدرس، سنطبق ما تعلمناه على مسائل من واقعنا العراقي: من أسواق بغداد إلى جسر الأئمة في الموصل. هذه التطبيقات ستساعدك على فهم أهمية حساب التفاضل في حياتنا اليومية.

أقصى ربح لتاجر في سوق الشورجة

تاجر في سوق الشورجة في بغداد يبيع السجاد. دخله بالدالة R(x) = 100x - 0.5x^2 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دينار، حيث x ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 هو عدد السجاد المباع. تكلفته بالدالة C(x) = 20x + 100 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2 دينار. ما هو عدد السجاد الذي يجب أن يبيعه لتحقيق أقصى ربح؟

الربح = الدخل - التكلفة: P(x) = R(x) - C(x) = (100x - 0.5x^2) - (20x + 100) = -0.5x^2 + 80x - 100 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
نشتق دالة الربح: P'(x) = -x + 80 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
لأقصى ربح، نضع المشتقة = 0: -x + 80 = 0 → x = 80 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
نحقق أن هذه نقطة عظمى: P''(x) = -1 < 0 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 (مشتقة ثانية سالبة = عظمى)
الربح الأقصى: P(80) = -0.5(6400) + 80(80) - 100 = -3200 + 6400 - 100 = 3100 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دينار

يجب على التاجر بيع 80 سجادة لتحقيق أقصى ربح قدره 3100 دينار.

أقصى سرعة على جسر الأئمة

جسر الأئمة في الموصل يتحمل وزناً أقصى قدره 500 طن. وزن المركبات بالدالة W(t) = 2t^3 - 15t^2 + 36t + 100 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 طن، حيث t ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 هو الزمن بالساعات بعد منتصف الليل. متى يكون الوزن على الجسر أقصى ما يمكن؟

نشتق دالة الوزن: W'(t) = 6t^2 - 30t + 36 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
نضع المشتقة = 0: 6t^2 - 30t + 36 = 0 → t^2 - 5t + 6 = 0 → (t-2)(t-3)=0 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
الحلول: t=2 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 أو t=3 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 ساعة بعد منتصف الليل
نشتق مرة ثانية: W''(t) = 12t - 30 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
عند t=2 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0: W''(2) = 24-30 = -6 < 0 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 → عظمى
عند t=3 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0: $< < v a r : W^{''} (3) = 36 - 30 = 6 > 0 > >$ → صغرى
الوزن الأقصى: W(2) = 16 - 60 + 72 + 100 = 128 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 طن (ضمن السعة القصوى)

أقصى وزن على الجسر يحدث بعد ساعتين من منتصف الليل، وهو 128 طن.

تمرين: أقصى ربح لمصنع في أربيل

احسب عدد الأجهزة التي يجب على المصنع إنتاجها لتحقيق أقصى ربح.

دالة الدخل: R(x) = 500x - 2x^2 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
دالة التكلفة: C(x) = 100x + 5000 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0

Solution

دالة الربح — الربح = الدخل - التكلفة: P(x) = R(x) - C(x) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
$P (x) = (500 x - 2 x^{2}) - (100 x + 5000) = - 2 x^{2} + 400 x - 5000$
مشتقة الربح — نشتق دالة الربح: P'(x) = -4x + 400 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
$P^{'} (x) = - 4 x + 400$
النقطة الحرجة — نضع المشتقة = 0: -4x + 400 = 0 → x = 100 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 أجهزة
$- 4 x + 400 = 0 \Rightarrow x = 100$
التحقق من العظمى — مشتقة ثانية: P''(x) = -4 < 0 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 → هذه نقطة عظمى
$P^{''} (x) = - 4 < 0 (عظمى)$
الربح الأقصى — الربح عند 100 جهاز: P(100) = -2(10000) + 400(100) - 5000 = -20000 + 40000 - 5000 = 15000 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 دينار
$P (100) = 15000 دينار$

→ يجب على المصنع إنتاج 100 جهازاً لتحقيق أقصى ربح قدره 15000 دينار

تعرف على تعريف النهاية: \lim_{x→c} f(x) = L ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 تعني أن f(x) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 تقترب من L ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2 عندما يقترب x ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG3 من c ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG4
تحقق دائماً من وجود النهاية قبل حسابها (النهايات اليمنى واليسرى متساوية)
الدالة المستمرة يجب أن تكون لها نهاية عند كل نقطة في مجالها وتساوي قيمتها عند تلك النقطة
المشتقة هي معدل التغير اللحظي للدالة، وتعطى بتعريف: f'(a) = \lim_{h→0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0
استخدم القواعد الأساسية للاشتقاق (القوة، الضرب، القسمة، السلسلة) بدلاً من تعريف المشتقة كلما أمكن
لأقصى أو أدنى قيمة لدالة، ضع المشتقة = 0 ثم تحقق من المشتقة الثانية
في مسائل التطبيقات، ترجم المسألة إلى دالة رياضية ثم طبق ما تعلمته

FAQ

ما الفرق بين النهاية والدالة نفسها؟

النهاية هي القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب المتغير من نقطة معينة، بينما الدالة نفسها قد لا تكون معرفة عند تلك النقطة. على سبيل المثال، الدالة f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0 غير معرفة عند x=1 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1، لكن نهايتها عند هذه النقطة موجودة وتساوي 2.

كيف أعرف متى أستخدم قاعدة السلسلة في الاشتقاق؟

استخدم قاعدة السلسلة عندما ترى دالة داخل دالة أخرى. مثلاً، في f(x) = \sin(2x+1) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG0، الدالة الخارجية هي \sin(u) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG1 والدالة الداخلية هي u=2x+1 ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG2. تذكر: قاعدة السلسلة هي (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) ParseError: Unexpected character: '' at position 1: ̲TAG3.

ما هي أكثر الأخطاء شيوعاً في مسائل النهايات؟

الأخطاء الشائعة هي: 1) عدم محاولة التعويض المباشر أولاً، 2) نسيان vérifier وجود النهاية (النهايات اليمنى واليسرى)، 3) الخلط بين عدم وجود نهاية وعدم وجود دالة عند النقطة، 4) عدم تحليل الدوال الكسرية بشكل صحيح عند الحصول على 0/0.

كيف أطبق المشتقات على مسائل من الحياة الواقعية؟

ابدأ دائماً بترجمة المسألة إلى دالة رياضية. مثلاً، إذا كان لديك سعر نفط كدالة زمن، فإن مشتقته تعطيك معدل تغير السعر. إذا كان لديك دخل وتكلفة كدالتين زمن، فإن مشتقة الفرق تعطيك معدل تغير الربح. toujours traduisez le problème réel en fonction mathématique avant de dériver.

ما الفرق بين الاستمرارية والنهايات؟

الدالة مستمرة عند نقطة إذا تحققت ثلاث شروط: 1) الدالة معرفة عند تلك النقطة، 2) النهاية موجودة عند تلك النقطة، 3) الدالة تساوي نتهايتها عند تلك النقطة. بعبارة أخرى، الاستمرارية تتطلب وجود النهاية وتساويها مع قيمة الدالة، بينما وجود النهاية لا يكفي وحده لجعل الدالة مستمرة.

كيف أتعامل مع مسائل المشتقات المعقدة في الامتحان؟

ابدأ دائماً بتحديد نوع الدالة (خطية، تربيعية، كسرية، مثلثية، إلخ). ثم اختر القاعدة المناسبة. لا تحاول حفظ كل القواعد - فهمها!记住: قاعدة القوة هي الأساس، وقاعدة السلسلة هي الأكثر استخداماً في الدوال المركبة. دائماً قم بتبسيط الدالة قبل الاشتقاق إذا أمكن.

لماذا نحتاج إلى النهايات؟

كيف تحسب النهايات؟ طرق عملية

تمرين: حساب نهاية سعر النفط

الاستمرارية والنهايات: متى تتوقف الدالة؟

المشتقات: معدل التغير اللحظي

قواعد الاشتقاق: اختصار الطريق إلى النجاح

تمرين: اشتقاق دالة استثمار في السليمانية

تطبيقات المشتقات: من الرياضيات إلى الواقع العراقي

تمرين: أقصى ربح لمصنع في أربيل

FAQ

المصادر