حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في العراق

ما ستتعلمه

الأهداف

أن تعرف دوال المتغيرات المتعددة وتفسر تمثيلاتها البيانية في بعدين وثلاثة أبعاد
أن تحسب المشتقات الجزئية لدوال متعددة المتغيرات باستخدام قواعد الاشتقاق الجزئي
أن تطبق التكاملات المتعددة لحساب المساحات والحجوم في سياقات عراقية حقيقية
أن تفهم أساسيات الحقول المتجهة وتطبيقاتها في الفيزياء والهندسة العراقية
أن تحل مسائل عملية تتعلق بالواقع العراقي مثل حساب الإنتاج النفطي أو الموارد المائية

المتطلبات السابقة

حساب التفاضل والتكامل في متغير واحد
الجبر الخطي الأساسي
الهندسة التحليلية

الوقت المقدر: 60 د المستوى: ●●○○ متوسط

هل تساءلت يوماً كيف يمكن حساب كمية النفط التي تنتجها حقول البصرة يومياً؟ أو كيف نحدد كمية المياه اللازمة لري حقول النخيل في النجف؟ حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات هو المفتاح لفهم هذه الظواهر. في هذا الدرس، سنتعلم كيف نتعامل مع دوال تعتمد على عدة متغيرات، وكيف نستخدمها لحل مشاكل حقيقية في العراق، من أسواق بغداد إلى حقول النفط في البصرة.

ما هو حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات؟

عندما كنت طالباً في جامعة بغداد، سألني أستاذي سؤالاً لم أنساه أبداً: "إذا كان سعر كيلو الطماطم في سوق السعدون يعتمد على اليوم من الأسبوع والسوق الذي تشتري منه، فكيف نحسب معدل تغير السعر؟" في حساب التفاضل والتكامل التقليدي (متغير واحد)، نتعامل مع دالة تعتمد على متغير واحد فقط مثل الزمن t. أما في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، نتعامل مع دوال تعتمد على عدة متغيرات مثل f(x,y) أو حتى f(x,y,z). هذا النوع من الحساب هو ما نستخدمه لفهم الظواهر التي تعتمد على أكثر من عامل واحد في حياتنا اليومية.

حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

En clair : حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات هو فرع من الرياضيات يدرس الدوال التي تعتمد على أكثر من متغير واحد، مثل f(x,y) أو f(x,y,z). إنه امتداد طبيعي لحساب التفاضل والتكامل التقليدي الذي ندرسه في المتغير الواحد.

Définition : حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات هو فرع من الرياضيات يعمم مفاهيم الاشتقاق والتكامل للدوال التي تعتمد على عدة متغيرات، حيث تُدرس الدوال من ℝⁿ إلى ℝᵐ. في هذا السياق، نتعامل مع دوال مثل f: D ⊆ ℝ² → ℝ التي تمثل سطوحاً في فضاء ثلاثي الأبعاد، أو دوال من ℝ³ إلى ℝ³ التي تمثل حقولاً متجهة في فضاء ثلاثي الأبعاد.

À ne pas confondre : حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ليس مجرد حساب تفاضل وتكامل تقليدي مع متغيرات إضافية. إنه يتطلب فهمًا أعمق للهندسة في الأبعاد العليا وللطرق الحسابية المختلفة التي تختلف جذرياً عن الحالة أحادية البعد.

هذا التعريف سيساعدك على فهم الأساس النظري قبل الانتقال إلى التطبيقات العملية.

حساب كمية النفط في حقل غرب القرنة 2

أنت مهندس نفط في شركة نفط الجنوب في البصرة. tasked بمهمة حساب كمية النفط الخام التي يمكن استخراجها من حقل غرب القرنة 2 بناءً على عمق الحفر وسماكة الطبقة النفطية.

حقل غرب القرنة 2 ينتج النفط من طبقة على عمق 3000-3500 متر تحت سطح الأرض
سماكة الطبقة النفطية المتوقعة هي 50 متراً
مساحة الحقل هي 12 كيلومتر مربع (12 × 10⁶ متر مربع)
معدل الإنتاج اليومي هو 250 000 برميل لكل 100 متر من سماكة الطبقة (عند عمق 3250 متر)
السعر الحالي لبرميل النفط هو 100 دولار أمريكي (يمكن تحويله إلى دينار عراقي بسعر صرف تقريبي 1460 دينار للدولار)

لحساب الكمية الإجمالية، نحتاج إلى استخدام دالة تعتمد على عمق الحفر وسماكة الطبقة، ثم نطبق مبادئ حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات لحساب الإنتاج الإجمالي.

عندما بدأت بدراسة هذا الموضوع، كنت دائماً أنسى أن المتغيرات مستقلة عن بعضها البعض. تذكر أن f(x,y) لا تعني أن y = x، بل يعني أن السعر يعتمد على اليوم والسوق بشكل مستقل.

دوال المتغيرات المتعددة وتمثيلاتها البيانية

هل سبق لك أن نظرت إلى خريطة الطقس في العراق؟ هذه الخريطة تعرض درجات الحرارة في مدن مختلفة مثل بغداد والبصرة والموصل. في الواقع، درجة الحرارة في أي لحظة تعتمد على موقعك (خط الطول، خط العرض) وعلى الزمن. هذا exactly مثال لدالة في متغيرين: f(x,y) حيث x هو خط الطول، y هو خط العرض، وf تمثل درجة الحرارة. في هذا القسم، سنتعلم كيف نتعامل مع مثل هذه الدوال وكيف نمثلها بيانياً.

دوال المتغيرات المتعددة

f : D \subseteq ℝ^{2} \to ℝ f (x, y) = z

الصيغة العامة لدالة في متغيرين

حساب درجة الحرارة في بغداد كدالة للموقع والزمن

أنت تعمل في دائرة الأرصاد الجوية العراقية في بغداد. tasked بمهمة حساب متوسط درجة الحرارة في بغداد بناءً على الوقت من السنة والموقع في المدينة. افترض أن درجة الحرارة T (بالدرجات المئوية) يمكن تمثيلها بالدالة: T(x,y) = 35 - 0.01x² - 0.005y² حيث x هو المسافة من وسط بغداد (بالكيلومتر) وy هو الوقت من بداية العام (بالأيام).

في وسط بغداد (x=0,y=0): T(0,0) = 35°C (درجة حرارة الصيف النموذجية)
على بعد 10 كم من المركز (x=10,y=0): T(10,0) = 35 - 0.01(100) = 34°C (انخفاض طفيف بسبب المساحات الخضراء)
في بداية يوليو (y=180): T(0,180) = 35 - 0.005(32400) = 35 - 162 = -127°C (هذا显然 خطأ، لذا نحتاج إلى تعديل الصيغة)
الصيغة المعدلة: T(x,y) = 35 - 0.0001x² - 0.0002y² (لتجنب القيم السلبية)
في وسط بغداد في يوليو: T(0,180) = 35 - 0.0002(32400) ≈ 28.5°C (معتدل)
على بعد 20 كم من المركز في يوليو: T(20,180) = 35 - 0.0001(400) - 0.0002(32400) ≈ 28.1°C

الدوال في متغيرين تسمح لنا بنمذجة الظواهر التي تعتمد على أكثر من عامل واحد، مثل درجة الحرارة التي تعتمد على الموقع والزمن.

أهمية المتغيرين في النماذج الاقتصادية في الاقتصاد العراقي، السعر لا يعتمد فقط على الكمية المتوفرة، بل أيضاً على الموسم والطلب المحلي. على سبيل المثال، سعر التمور في سوق الحلة لا يعتمد فقط على الكمية المعروضة، بل أيضاً على الموسم (شهر رمضان مثلاً) وعلى جودة التمور.

المشتقات الجزئية: مفتاح فهم التغير في عدة أبعاد

عندما كنت أدرس في كلية الهندسة بجامعة الموصل، سألنا أستاذنا سؤالاً مهماً: "إذا كانت كمية المياه اللازمة لري حقول الرز في ميسان تعتمد على درجة الحرارة وكمية الأمطار، فكيف نحسب معدل تغير هذه الكمية إذا تغيرت درجة الحرارة فقط؟" هنا يأتي دور المشتقات الجزئية. بينما المشتقة العادية تخبرنا عن معدل تغير الدالة بالنسبة لمتغير واحد، تخبرنا المشتقة الجزئية عن معدل تغير الدالة بالنسبة لمتغير واحد بينما نثبت المتغيرات الأخرى.

المشتقات الجزئية

\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h} \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f (x, y + h) - f (x, y)}{h}

صيغة المشتقة الجزئية للدوال في متغيرين

كيفية حساب المشتقة الجزئية

إليك الطريقة السهلة التي استخدمها دائماً مع طلابي في جامعة بغداد:

حدد المتغير الذي تريد اشتقاقه (x أو y)
عامل المتغيرات الأخرى كقيم ثابتة (مثل الأرقام)
استخدم قواعد الاشتقاق العادية كما تعلمتها في حساب التفاضل والتكامل التقليدي
بعد الاشتقاق، أعد المتغيرات الأخرى إلى مكانها

تذكر دائماً: عند حساب ∂f/∂x، تعامل مع y كرقم ثابت، والعكس صحيح.

حساب معدل تغير سعر الطماطم في سوق السعدون

أنت بائع في سوق السعدون في بغداد. لاحظت أن سعر كيلو الطماطم (بالدينار العراقي) يمكن تمثيله بالدالة: P(x,y) = 2000 + 50x - 30y حيث x هو عدد الكيلوغرامات المباعة (بآلاف الكيلوغرامات) وy هو عدد الأيام منذ بداية الموسم.

عند بيع 10 000 كيلوغرام (x=10) في اليوم 5 (y=5): P(10,5) = 2000 + 500 - 150 = 2350 دينار/كغم
المشتقة الجزئية بالنسبة لعدد الكيلوغرامات المباعة: ∂P/∂x = 50 دينار/كغم لكل 1000 كغم مباع
المشتقة الجزئية بالنسبة لعدد الأيام: ∂P/∂y = -30 دينار/كغم لكل يوم يمر
التفسير: مع زيادة المبيعات، يزيد السعر (ربما بسبب ندرة العرض)، بينما مع مرور الأيام، ينخفض السعر (ربما بسبب زيادة العرض)
إذا قمت ببيع 11 000 كغم في اليوم 5: السعر المتوقع = 2000 + 50(11) - 30(5) = 2400 دينار/كغم

المشتقات الجزئية تخبرنا كيف يتغير السعر مع تغير كمية المبيعات أو مرور الزمن، مع تثبيت العامل الآخر.

أكثر خطأ أراه عند طلابي هو الخلط بين المشتقة الجزئية والمشتقة العادية. تذكر: ∂P/∂x ≠ dP/dx لأن y متغير مستقل أيضاً.

التكاملات المتعددة: من المساحات إلى الحجوم في العراق

هل تساءلت يوماً كيف يمكن حساب مساحة حقل زراعي في ديالى؟ أو كيف نحدد كمية المياه اللازمة لري حقول الرز في ميسان؟ في حساب التفاضل والتكامل التقليدي، نستخدم التكامل لحساب المساحات تحت المنحنيات. أما في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، نستخدم التكاملات المتعددة لحساب المساحات في بعدين والحجوم في ثلاثة أبعاد. هذا exactly ما نحتاجه لفهم الموارد الطبيعية في العراق.

التكاملات المتعددة

\iint_{D} f (x, y) d A = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x

صيغة التكامل المزدوج لحساب المساحة تحت سطح

حساب مساحة حقل زراعي في ديالى باستخدام التكامل المزدوج

أنت مهندس زراعي تعمل في مديرية زراعة ديالى. tasked بمهمة حساب مساحة حقل زراعي مستطيل الشكل يقع بين خطي الطول 44.5° و44.7° شرقاً وخطي العرض 33.5° و33.7° شمالاً. افترض أن المنطقة يمكن تمثيلها بالمنطقة D في المستوى x-y حيث x تتراوح من 0 إلى 2 كيلومتر وy تتراوح من 0 إلى 1.5 كيلومتر.

مساحة الحقل = طول × عرض = 2 كم × 1.5 كم = 3 كم² (3 000 000 م²)
إذا أردنا حساب كمية المياه اللازمة لري هذا الحقل (بافتراض 5000 م³/كم²): الكمية الإجمالية = 3 × 5000 = 15 000 م³
إذا كان الحقل ليس مستطيلاً بل حدوده محددة بمنحنى y = 0.75x² (حيث x من 0 إلى 2):
مساحة الحقل = ∫₀² ∫₀^{0.75x²} dy dx = ∫₀² 0.75x² dx = 0.75 × (x³/3)|₀² = 0.75 × (8/3) = 2 كم²
كمية المياه اللازمة = 2 × 5000 = 10 000 م³

التكاملات المتعددة تسمح لنا بحساب المساحات والحجوم بدقة حتى عندما تكون الحدود غير منتظمة، وهو أمر شائع في الحقول الزراعية العراقية.

تطبيق عملي: حساب كمية المياه في بحيرة الثرثار بحيرة الثرثار شمال بغداد هي أحد أهم مصادر المياه العذبة في العراق. باستخدام التكاملات المتعددة، يمكننا حساب حجم المياه في البحيرة بناءً على عمقها ومساحتها. افترض أن عمق البحيرة يمكن تمثيله بالدالة h(x,y) = 10 - 0.001x² - 0.0005y² حيث x وy هما الإحداثيات في البحيرة (بالكيلومترات) وh هو العمق (بالأمتار). لحساب حجم المياه، نحتاج إلى حساب التكامل الثلاثي: V = ∬_D h(x,y) dA حيث D هي منطقة البحيرة.

حساب المتجهات: من الفيزياء إلى هندسة النفط العراقية

عندما كنت أدرس في جامعة البصرة، سألنا أستاذنا سؤالاً أثار فضولي: "كيف يمكن حساب سرعة تدفق النفط في أنابيب شركة نفط الجنوب؟" هنا يأتي دور حساب المتجهات. الحقول المتجهة هي دوال تعطي لكل نقطة في الفضاء متجهاً (مثل السرعة أو القوة). في هذا القسم، سنتعلم كيف نتعامل مع هذه الحقول وكيف نستخدمها في تطبيقات عملية مثل هندسة النفط والبناء.

الحقول المتجهة والمشتقات المتجهة

\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) div 𝐅 = \nabla \cdot 𝐅 curl 𝐅 = \nabla \times 𝐅

المؤثر دل (nabla) والمشتقات المتجهة

حساب سرعة تدفق المياه في نهر دجلة باستخدام الحقول المتجهة

أنت مهندس بيئي تعمل في وزارة الموارد المائية في بغداد. tasked بمهمة حساب سرعة تدفق المياه في نهر دجلة بالقرب من جسر الأئمة. افترض أن حقل السرعة يمكن تمثيله بالدالة المتجهة: v(x,y,z,t) = (2z, 0, 0) م/ث حيث z هو العمق (بالمتر) وx وy هما الإحداثيات الأفقية وt هو الزمن.

عند السطح (z=0): v(0,y,0,t) = (0,0,0) م/ث (السرعة صفر عند السطح بسبب الاحتكاك بالهواء)
عند عمق 5 أمتار (z=5): v(5,y,5,t) = (10,0,0) م/ث (سرعة 10 م/ث عند هذا العمق)
عند عمق 10 أمتار (z=10): v(10,y,10,t) = (20,0,0) م/ث (سرعة 20 م/ث عند هذا العمق)
التدفق الحجمي (كمية المياه المتحركة في الثانية) عبر مستوي عمودي على النهر: Q = ∬_S v · n dS حيث n هو المتجه العمودي على السطح
لسطح مستطيل عرضه 50 متر وارتفاع 10 أمتار: Q = ∫₀¹⁰ ∫₀⁵⁰ 2z dy dz = 50 × ∫₀¹⁰ 2z dz = 50 × [z²]₀¹⁰ = 50 × 100 = 5000 م³/ث

الحقول المتجهة تسمح لنا بنمذجة تدفقات السوائل بدقة، وهو أمر حيوي لإدارة الموارد المائية في العراق.

تطبيقات حساب المتجهات في هندسة النفط العراقية في حقول النفط العراقية، نستخدم الحقول المتجهة لحساب تدفق النفط في المكامن النفطية. على سبيل المثال، في حقل الرميلة، نستخدم الحقول المتجهة لحساب سرعة تدفق النفط في الطبقة النفطية بناءً على الضغط والمسامية. هذا يساعدنا على تحديد أفضل مواقع الحفر وأفضل طرق الاستخراج.

تطبيقات عملية: من أسواق بغداد إلى حقول النفط في البصرة

في العراق، كل شيء تقريباً يعتمد على أكثر من متغير واحد. سعر الطماطم في سوق السعدون يعتمد على الكمية المعروضة والموسم والجودة. كمية النفط المستخرجة من حقل غرب القرنة 2 تعتمد على عمق الحفر وسماكة الطبقة النفطية وضغط المكمن. كمية المياه اللازمة لري حقول الرز في ميسان تعتمد على درجة الحرارة وكمية الأمطار. في هذا القسم، سنجمع كل ما تعلمناه ونطبقه على مشاكل حقيقية من الواقع العراقي.

المجال	المتغيرات	الدالة	المشتقات الجزئية	التكاملات المتعددة	الحقول المتجهة
سوق الطماطم في بغداد	الكمية، الزمن، الجودة	P(x,y,z) = 2000 + 50x - 30y + 100z	∂P/∂x = 50، ∂P/∂y = -30	∬ P(x,y,z) dA (لحساب السعر الإجمالي)	v(x,y) = (50, -30) (معدل تغير السعر)
حقل نفط غرب القرنة 2	العمق، السماكة، الضغط	Q(d,s,p) = 250000 × d × s × p	∂Q/∂d = 250000 × s × p	∬ Q(d,s,p) dA (لحساب الإنتاج الإجمالي)	F(d,s,p) = (250000 × s × p, 250000 × d × p, 250000 × d × s)
حقول الرز في ميسان	درجة الحرارة، الأمطار، المساحة	W(t,r,a) = 5000 × a × (1 + 0.02t - 0.01r)	∂W/∂t = 100 × a	∬ W(t,r,a) dA (لحساب المياه الإجمالية)	v(t,r) = (100 × a, -50 × a)
نهر دجلة في بغداد	العمق، العرض، السرعة	v(z,w) = (2z, 0.5w) م/ث	∂v/∂z = 2، ∂v/∂w = 0.5	∬ v(z,w) dA (لحساب التدفق الإجمالي)	F(z,w) = (2z, 0.5w)

مسألة شاملة: حساب كمية المياه اللازمة لري حقول الرز في ميسان

احسب الكمية الإجمالية للمياه اللازمة لري هذه الحقول طوال الموسم باستخدام التكامل المزدوج.

x تتراوح من 0 إلى 50 (آلاف الهكتارات)
y تتراوح من 0 إلى 120 (أيام)
W(x,y) = 1000 + 20x - 15y (ألف م³)

Solution

تعريف التكامل المزدوج — نحتاج إلى حساب التكامل المزدوج للدالة W(x,y) على المنطقة D.
$V = \iint_{D} W (x, y) d A = \int_{0}^{120} \int_{0}^{50} (1000 + 20 x - 15 y) d x d y$
حساب التكامل الداخلي بالنسبة لـ x — ن首先 ندمج بالنسبة لـ x مع تثبيت y.
$\int_{0}^{50} (1000 + 20 x - 15 y) d x = {[1000 x + 10 x^{2} - 15 x y]}_{0}^{50}$
تعويض الحدود — نعوض الحدود من 0 إلى 50.
$= (1000 \times 50 + 10 \times 50^{2} - 15 \times 50 y) - (0 + 0 - 0) = 50000 + 25000 - 750 y = 75000 - 750 y$
حساب التكامل الخارجي بالنسبة لـ y — الآن ندمج النتيجة بالنسبة لـ y من 0 إلى 120.
$V = \int_{0}^{120} (75000 - 750 y) d y = {[75000 y - 375 y^{2}]}_{0}^{120}$
تعويض الحدود النهائية — نعوض الحدود من 0 إلى 120.
$= (75000 \times 120 - 375 \times 120^{2}) - (0 - 0) = 9000000 - 375 \times 14400 = 9000000 - 5400000 = 3600000$

→ الكمية الإجمالية للمياه اللازمة هي 3 600 000 ألف م³، أي 3.6 مليار م³ طوال الموسم.

أستطيع تعريف دالة في متغيرين وتمثيلها بيانياً
أعرف كيف أحسب المشتقات الجزئية للدوال في متغيرين أو ثلاثة متغيرات
أستطيع تطبيق قواعد الاشتقاق الجزئي على دوال بسيطة مثل f(x,y) = x²y + sin(y)
أعرف كيف أحسب التكاملات المزدوجة لحساب المساحات والحجوم
أستطيع تحديد حدود التكامل في المسائل المختلفة
أعرف كيف أستخدم الحقول المتجهة في مسائل الفيزياء والهندسة
أستطيع حل مسائل عملية تتعلق بالواقع العراقي باستخدام حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات
أعرف الفرق بين المشتقة الجزئية والمشتقة العادية
أستطيع تفسير المعنى الفيزيائي للمشتقات الجزئية والتكاملات المتعددة
أعرف كيف أتحقق من إجاباتي باستخدام وحدات القياس المناسبة

FAQ

ما الفرق بين حساب التفاضل والتكامل في متغير واحد وحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات؟

في حساب التفاضل والتكامل في متغير واحد، نتعامل مع دوال تعتمد على متغير واحد مثل f(x). أما في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، نتعامل مع دوال تعتمد على عدة متغيرات مثل f(x,y) أو f(x,y,z). هذا يعني أننا نحتاج إلى فهم أعمق للهندسة في الأبعاد العليا وللطرق الحسابية المختلفة.

كيف يمكنني معرفة متى أستخدم المشتقة الجزئية ومتى أستخدم المشتقة العادية؟

استخدم المشتقة العادية عندما تعتمد الدالة على متغير واحد فقط. استخدم المشتقة الجزئية عندما تعتمد الدالة على عدة متغيرات وتريد حساب معدل تغيرها بالنسبة لمتغير واحد مع تثبيت المتغيرات الأخرى. تذكر: ∂f/∂x تعني أنك تتغير x فقط بينما y остается ثابتاً.

ما هي أهم التطبيقات العملية لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في العراق؟

أهم التطبيقات تشمل: حساب كمية النفط المستخرجة من الحقول، إدارة الموارد المائية (مثل بحيرة الثرثار ونهر دجلة)، تخطيط الزراعة (مثل حقول الرز في ميسان)، هندسة البناء (مثل تصاميم الجسور في بغداد)، واقتصاد السوق (مثل سعر الطماطم في أسواق بغداد). كل هذه التطبيقات تعتمد على دوال في عدة متغيرات.

كيف يمكنني التحضير لامتحان البكالوريوس العراقي في مادة الرياضيات باستخدام هذا الموضوع؟

ركز على فهم المفاهيم الأساسية مثل الدوال في عدة متغيرات والمشتقات الجزئية والتكاملات المتعددة. حل الكثير من التمارين العملية باستخدام أمثلة عراقية (مثل أسعار السوق أو حقول النفط). راجع قائمة المراجعة في نهاية الدرس وتأكد من أنك قادر على حل المسائل بنفسك دون النظر إلى الحلول.

ما هي الأخطاء الشائعة التي يجب أن أحذر منها في هذا الموضوع؟

أكثر الأخطاء شيوعاً هي: الخلط بين المشتقة الجزئية والمشتقة العادية، عدم تثبيت المتغيرات الأخرى عند حساب المشتقة الجزئية، عدم تحديد مجال الدالة بشكل صحيح، واستخدام قوانين الاشتقاق العادي في المشتقات الجزئية دون تعديل. تذكر دائماً أن المتغيرات مستقلة عن بعضها البعض.

هل يمكنني استخدام الآلة الحاسبة في حل مسائل حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في الامتحان؟

هذا يعتمد على تعليمات الامتحان.一般来说، يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة الأساسية لحساب القيم العددية، لكنك ستحتاج إلى كتابة جميع الخطوات الرياضية يدوياً. تأكد من مراجعة تعليمات الامتحان قبل الدخول.