تمارين رياضيات: الدوال المثلثية والهويات (Irak)

1. تحديد الحلول الأساسية — نعلم أن sin(π/6) = 0.5. لذا فإن إحدى الحلول هي x = π/6.
   $$x_1=\frac{\pi }{6}$$
2. إيجاد الحل الثاني في المجال — بما أن دالة الجيب موجبة في الربع الأول والربع الثاني، فإن الحل الثاني هو π - π/6 = 5π/6.
   $$x_2=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$$
3. كتابة جميع الحلول — الحلول في المجال [0, 2π] هي π/6 و5π/6.
   $$x\in \{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\}$$

$$x=\frac{\pi }{6}\text{ أو }x=\frac{5\pi }{6}$$

← الحلول هي x = π/6 وx = 5π/6 راديان.

1. حل المعادلة الأساسية — cos(2x) = 0.5. نعلم أن cos(π/3) = 0.5. لذا 2x = ±π/3 + 2kπ حيث k عدد صحيح.
   $$2x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$$
2. إيجاد x — بقسمة الطرفين على 2، نحصل على x = ±π/6 + kπ.
   $$x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$$
3. إيجاد الحلول في المجال [0, 2π] — نعوض k = 0 وk = 1 للحصول على جميع الحلول في المجال المطلوب.
   $$k=0:x=\frac{\pi }{6},k=1:x=\frac{7\pi }{6}k=0:x=-\frac{\pi }{6}\text{ (خارج المجال)},k=1:x=\frac{5\pi }{6}$$
4. كتابة جميع الحلول — الحلول في المجال [0, 2π] هي π/6، 5π/6، 7π/6، 11π/6.
   $$x\in \{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\}$$

$$x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$$

← الحلول هي x = π/6، 5π/6، 7π/6، 11π/6 راديان.

1. نقط البداية — نعتبر دائرة الوحدة (نصف قطرها 1) ومركزها عند الأصل (0,0). لكل زاوية x، النقطة P على الدائرة هي (cos(x), sin(x)).
   $$P=(\cos (x),\sin (x))$$
2. تطبيق مبرهنة فيثاغورس — المسافة من المركز إلى النقطة P تساوي 1 (نصف قطر الدائرة). حسب مبرهنة فيثاغورس: (cos(x))² + (sin(x))² = 1².
   $${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$$
3. نتيجة المتطابقة — إذن، المتطابقة sin²(x) + cos²(x) = 1 صحيحة لجميع قيم x الحقيقية.
   $${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$$

← المتطابقة صحيحة لجميع قيم x الحقيقية.

1. رسم الشكل — مثلث قائم الزاوية: الضلع المجاور (المسافة) = 100 متر، الضلع المقابل (الارتفاع) = h، الزاوية θ = 60 درجة.
2. كتابة العلاقة المثلثية — حسب تعريف الظل: tan(θ) = المقابل/المجاور = h/d.
   $$\tan (\theta )=\frac{h}{d}$$
3. حل المعادلة — نعوض القيم: tan(60°) = √3 ≈ 1.732. إذن h = d × tan(θ) = 100 × √3.
   $$h=d\times \tan (\theta )=100\times \tan ({60}^{\circ })=100\times \sqrt{3}$$
4. حساب القيمة العددية — ارتفاع البرج = 100 × 1.732 ≈ 173.2 متر.
   $$h\approx 173.2\text{ متر}$$

$$h\approx 173.2\text{ متر}$$

← ارتفاع برج سامراء حوالي 173.2 متر.

1. الحل الأساسي — tan(π/4) = 1. لذا x = π/4 + kπ حيث k عدد صحيح.
   $$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$$
2. إيجاد الحلول في المجال [0, 2π] — نعوض k = 0 وk = 1 للحصول على الحلول.
   $$k=0:x=\frac{\pi }{4}k=1:x=\frac{5\pi }{4}$$
3. كتابة الحلول — الحلول هي π/4 و5π/4.
   $$x\in \{\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\}$$

$$x=\frac{\pi }{4}\text{ أو }x=\frac{5\pi }{4}$$

← الحلول هي x = π/4 وx = 5π/4 راديان.

1. تطبيق المتطابقة — sin(3x) + sin(x) = 2 sin((3x + x)/2) cos((3x - x)/2) = 2 sin(2x) cos(x).
   $$\sin (3x)+\sin (x)=2\sin \left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos \left(\frac{3x-x}{2}\right)=2\sin (2x)\cos (x)$$
2. النتيجة النهائية — التعبير المبسط هو 2 sin(2x) cos(x).
   $$E=2\sin (2x)\cos (x)$$

$$2\sin (2x)\cos (x)$$

← التعبير المبسط هو 2 sin(2x) cos(x).

1. حساب السرعة الزاوية — السرعة الزاوية ω = 2π / T = 2π / 120 = π/60 راديان/ثانية.
   $$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{120}=\frac{\pi }{60}\text{ راديان/ثانية}$$
2. زاوية الدوران كدالة في الزمن — زاوية الدوران θ = ω × t = (π/60) × t.
   $$\theta (t)=\omega \times t=\frac{\pi }{60}t$$
3. الارتفاع كدالة في الزمن — الارتفاع = نصف قطر + نصف قطر × sin(θ - π/2) لأن النقطة تبدأ من أسفل. sin(θ - π/2) = -cos(θ).
   $$h(t)=R+R\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=R-R\cos (\theta )$$
4. الشكل النهائي — بالتعويض: h(t) = 20 - 20 cos(πt/60).
   $$h(t)=20-20\cos \left(\frac{\pi t}{60}\right)$$

$$h(t)=20-20\cos \left(\frac{\pi t}{60}\right)$$

← الارتفاع كدالة في الزمن هو h(t) = 20 - 20 cos(πt/60) متر.

1. إيجاد الضلع الثالث — باستخدام مبرهنة فيثاغورس: b = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 سم.
   $$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{144}=12\text{ سم}$$
2. حساب الزاوية باستخدام الجيب — sin(θ) = المقابل/الوتر = 5/13. لذا θ = arcsin(5/13).
   $$\sin (\theta )=\frac{5}{13}\Rightarrow \theta =\arcsin \left(\frac{5}{13}\right)$$
3. التقدير العددي — θ ≈ 0.3948 راديان (يمكن استخدام الآلة الحاسبة للتحويل من درجات إلى راديان إذا لزم الأمر).
   $$\theta \approx 0.3948\text{ راديان}$$

$$\theta \approx 0.3948$$

← قياس الزاوية الحادة الأخرى حوالي 0.3948 راديان.