مسائل في علم العد: تمارين في التوافيق للثانوية العامة العراقية

1. فهم المسألة — المسألة تطلب حساب عدد الطرق المختلفة لاختيار قميص وبنطال من مجموعة محددة. كل اختيار قميص مستقل عن اختيار البنطال.
2. تطبيق مبدأ العد الأساسي — بما أن اختيار القميص واختيار البنطال حدثان مستقلان، نضرب عدد القمصان بعدد البنطال للحصول على العدد الإجمالي للتشكيلات الممكنة.
   $$N=n_c\times n_p$$
3. الحساب النهائي — نقوم بالتعويض بالقيم المعطاة لحساب النتيجة النهائية.
   $$N=5\times 4=20$$

$$20$$

← يمكن لأحمد ارتداء 20 تشكيلة مختلفة من القمصان والبنطال.

1. تحديد نوع المسألة — المسألة تطلب ترتيب جميع الطلاب الأربعة، مما يعني أننا نستخدم التباديل الكاملة.
2. تطبيق قانون التباديل — عدد التباديل الكاملة لعدد n من العناصر هو n! (ن عاملي).
   $$P=n!$$
3. حساب القيمة العددية — نقوم بحساب 4! = 4 × 3 × 2 × 1.
   $$P=4!=4\times 3\times 2\times 1=24$$

$$24$$

← يوجد 24 طريقة مختلفة لترتيب أسماء الطلاب الأربعة.

1. تحديد نوع المسألة — المسألة تطلب اختيار مجموعة من الطلاب دون مراعاة الترتيب، مما يعني أننا نستخدم التوافيق.
2. تطبيق قانون التوافيق — نستخدم القانون C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) لحساب عدد المجموعات الممكنة.
   $$C=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
3. حساب القيمة العددية — نقوم بالتعويض بالقيم: C(8,3) = 8! / (3!5!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 56
   $$C=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$$

$$56$$

← يمكن تشكيل 56 لجنة مختلفة من 3 طلاب من أصل 8.

1. فهم المسارات الممكنة — المسألة تتطلب حساب عدد المسارات في شبكة ثنائية الأبعاد، حيث يمكن السير فقط شرقاً أو شمالاً. كل مسار يتكون من 3 خطوات شرقاً (E) و2 خطوات شمالاً (N).
2. تطبيق مبدأ التوافيق — عدد المسارات يساوي عدد الطرق لترتيب 3 خطوات شرقاً و2 خطوات شمالاً في تسلسل من 5 خطوات. هذا هو C(5,3) أو C(5,2).
   $$N=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)=\frac{5!}{3!2!}$$
3. حساب القيمة — نقوم بحساب 5! / (3!2!) = (5×4)/(2×1) = 10
   $$N=\frac{5\times 4\times 3!}{3!\times 2\times 1}=10$$

$$10$$

← يوجد 10 مسارات مختلفة يمكن للطالب اختيارها للذهاب إلى مدرسته.

1. تحديد نوع المسألة — المسألة تسمح بتكرار نفس النوع من الفاكهة، مما يعني أننا نتعامل مع توافيق مع تكرار.
2. تطبيق قانون التوافيق مع التكرار — قانون التوافيق مع التكرار هو C(n+k-1, k) حيث n هو عدد الأنواع وk هو عدد العناصر المراد اختيارها.
   $$N=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+k-1}{k}\right)$$
3. حساب القيمة — نقوم بحساب C(8,4) = 8! / (4!4!) = 70
   $$N=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5+4-1}{4}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{4}\right)=\frac{8!}{4!4!}=70$$

$$70$$

← يوجد 70 طريقة مختلفة لاختيار 4 حبات فاكهة من 5 أنواع مع السماح بتكرار نفس النوع.

1. حساب عدد الطلاب الذين يمكنهم القيام بنشاطين أو ثلاثة — نحسب أولاً عدد الطلاب الذين يمكنهم القيام بنشاطين أو ثلاثة باستخدام مبدأ الإدراج-الإقصاء. نبدأ بجمع الأعداد الأولية، ثم نطرح الأعداد المشتركة، ثم نضيف العدد المشترك لجميع الثلاثة.
   $$N_{multi}=G+A+F-GA-GF+GAF$$
2. تعويض القيم — نقوم بالتعويض بالقيم المعطاة: 15 + 20 + 8 - 3 - 2 + 2 = 30
   $$N_{multi}=15+20+8-3-2+2=30$$
3. حساب عدد الطلاب الذين يمكنهم القيام بنشاط واحد فقط — نطرح عدد الطلاب الذين يمكنهم القيام بعدة أنشطة من العدد الإجمالي للطلاب.
   $$S=T-N_{multi}=50-30=20$$

$$20$$

← يمكن لـ 20 طالباً القيام بنشاط واحد فقط في المهرجان.

1. تحديد نوع المسألة — المسألة تتطلب حساب التباديل لكتب متطابقة في نفس المادة، مما يعني أننا نستخدم قانون التباديل مع عناصر متطابقة.
2. تطبيق القانون — قانون التباديل مع عناصر متطابقة هو n! مقسوماً على جداء مضروب كل مجموعة من العناصر المتطابقة.
   $$P=\frac{n!}{n_m!\times n_p!\times n_c!}$$
3. حساب القيمة — نقوم بحساب 6! / (3! 2! 1!) = 720 / (6 × 2 × 1) = 60
   $$P=\frac{6!}{3!\times 2!\times 1!}=\frac{720}{6\times 2\times 1}=60$$

$$60$$

← يوجد 60 ترتيب مختلف للكتب على الرف.

1. تحديد القيود — المسألة تحتوي على قيود: يجب أن يكون حارس مرمى واحد من 3 حراس متاحين في الفريق. بعد ذلك، نختار 10 لاعبين من 17 لاعباً غير حارس.
2. حساب اختيار الحارس — عدد طرق اختيار حارس مرمى واحد من 3 هو C(3,1) = 3.
   $$C_{goalkeeper}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{1}\right)=3$$
3. حساب اختيار اللاعبين الآخرين — عدد طرق اختيار 10 لاعبين من 17 هو C(17,10) = 19448.
   $$C_{players}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{17}{10}\right)=19448$$
4. حساب العدد الإجمالي للفرق — نضرب عدد طرق اختيار الحارس بعدد طرق اختيار اللاعبين الآخرين حسب مبدأ العد الأساسي.
   $$N=C_{goalkeeper}\times C_{players}=3\times 19448=58344$$

$$58344$$

← يمكن تشكيل 58344 فريق مختلف تحت هذه الشروط.

1. تحديد الحروف المتكررة — كلمة 'بغداد' تحتوي على 5 حروف، مع تكرار الحرف 'د' مرتين. الحروف الأخرى فريدة.
2. تطبيق قانون التباديل مع تكرار — عدد التباديل المختلفة هو 5! مقسوماً على 2! بسبب تكرار الحرف 'د'.
   $$N=\frac{5!}{2!}$$
3. حساب القيمة — نقوم بحساب 5! / 2! = 120 / 2 = 60
   $$N=\frac{120}{2}=60$$

$$60$$

← يمكن تكوين 60 كلمة مختلفة من حروف 'بغداد'.

1. فهم تركيب الوجبة — الوجبة تتكون من طبق رئيسي واحد ومشروب واحد. كل اختيار مستقل.
2. تطبيق مبدأ العد الأساسي — عدد الوجبات الممكنة هو جداء عدد الأطباق بعدد المشروبات.
   $$N=n_d\times n_b$$
3. حساب القيمة — نقوم بحساب 4 × 3 = 12
   $$N=4\times 3=12$$

$$12$$

← يوجد 12 وجبة مختلفة يمكن للزبون اختيارها.

1. حساب اختيار لجنة التنظيم — عدد طرق اختيار 5 طلاب من 30 هو C(30,5).
   $$C_1=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{5}\right)$$
2. حساب اختيار اللجنة الفرعية — بعد اختيار لجنة التنظيم، نختار 3 طلاب من أصل 5 لتشكيل اللجنة الفرعية: C(5,3).
   $$C_2=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)$$
3. حساب العدد الإجمالي للطرق — نضرب عدد طرق اختيار لجنة التنظيم بعدد طرق اختيار اللجنة الفرعية.
   $$N=C_1\times C_2=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{5}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)$$
4. حساب القيم العددية — C(30,5) = 142506 وC(5,3) = 10، لذا N = 142506 × 10 = 1425060
   $$N=142506\times 10=1425060$$

$$1425060$$

← يوجد 1425060 طريقة مختلفة لاختيار اللجنة ولجنة الميزانية الفرعية.