تمارين محلولة على المتباينات للثانوية العامة في العراق

1. المعطيات — لدينا سعر الكتاب الواحد = 3000 دينار والمبلغ المتوفر = 20000 دينار.
2. المتباينة — لتكن n هو عدد الكتب. المبلغ اللازم هو p × n ≤ M
   $$3000\times n\le 20000$$
3. الحل — بقسمة الطرفين على 3000: n ≤ 20000/3000 → n ≤ 6.666...
   $$n\le \frac{20000}{3000}=\frac{20}{3}\approx 6.67$$
4. العدد الصحيح — بما أن عدد الكتب يجب أن يكون عدداً صحيحاً، فإن الحد الأقصى هو 6.
   $$n=6$$

$$n=6$$

← يمكن لأحمد شراء 6 كتب كحد أقصى.

1. طرح 7 — اطرح 7 من الطرفين: -2x > 8
   $$-2x+7-7>15-7⟹-2x>8$$
2. القسمة على -2 — اقسم الطرفين على -2 مع عكس إشارة المتباينة: x < -4
   $$x<\frac{8}{-2}⟹x<-4$$
3. التحقق — اختر x = -5: -2(-5) + 7 = 10 + 7 = 17 > 15. صحيح.
   $$-2(-5)+7=17>15$$

$$x<-4$$

← حل المتباينة هو x < -4.

1. المبلغ الإجمالي — المبلغ الإجمالي المطلوب هو F + T = 12000 + 2000 = 14000 دينار.
   $$F+T=12000+2000=14000$$
2. المتباينة — المبلغ المتبقي x = M - (F + T) ≥ 0
   $$x=M-(F+T)\ge 0$$
3. الحساب — x = 15000 - 14000 = 1000 ≥ 0. إذن المبلغ يكفي.
   $$x=15000-14000=1000\ge 0$$

$$x=1000\text{دينار}$$

← نعم، يكفي المال مع بقاء 1000 دينار.

1. الفصل إلى جزئين — المتباينة المركبة -3 ≤ 2x - 1 < 5 يمكن حلها دفعة واحدة.
   $$-3\le 2x-1<5$$
2. إضافة 1 — أضف 1 لجميع الأجزاء: -2 ≤ 2x < 6
   $$-3+1\le 2x-1+1<5+1⟹-2\le 2x<6$$
3. القسمة على 2 — اقسم على 2: -1 ≤ x < 3
   $$\frac{-2}{2}\le \frac{2x}{2}<\frac{6}{2}⟹-1\le x<3$$

$$-1\le x<3$$

← حل المتباينة المركبة هو -1 ≤ x < 3.

1. متباينة المثلث — مجموع أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث: a + b > c و a + c > b و b + c > a.
   $$a+b>c\text{و}a+c>b\text{و}b+c>a$$
2. المتباينتين المهمتين — بالنسبة للضلعين المعطيين، لدينا: 8 + 15 > c → 23 > c و |8 - 15| < c → 7 < c
   $$8+15>c⟹23>c\text{و}|8-15|<c⟹7<c$$
3. النتيجة — إذن مدى الطول الممكن للضلع الثالث هو 7 سم < c < 23 سم.
   7 < c < 23

$$7<c<23\text{سم}$$

← مدى الطول الممكن للضلع الثالث هو بين 7 سم و 23 سم.

1. المبلغ الإجمالي — المبلغ الإجمالي = (5 × 8000) + (3 × 12000) = 40000 + 36000 = 76000 دينار.
   $$5\times 8000+3\times 12000=40000+36000=76000$$
2. المتباينة — المبلغ المتبقي x = M - المبلغ الإجمالي ≥ 0
   $$x=M-76000\ge 0$$
3. الحساب — x = 100000 - 76000 = 24000 ≥ 0. إذن المبلغ يكفي.
   $$x=100000-76000=24000\ge 0$$

$$x=24000\text{دينار}$$

← نعم، المبلغ يكفي مع بقاء 24000 دينار.

1. إزالة القيمة المطلقة — بما أن 7 ≥ 0، فإن |2x - 5| ≤ 7 تعني -7 ≤ 2x - 5 ≤ 7
   $$-7\le 2x-5\le 7$$
2. إضافة 5 — أضف 5 لجميع الأجزاء: -2 ≤ 2x ≤ 12
   $$-7+5\le 2x-5+5\le 7+5⟹-2\le 2x\le 12$$
3. القسمة على 2 — اقسم على 2: -1 ≤ x ≤ 6
   $$\frac{-2}{2}\le \frac{2x}{2}\le \frac{12}{2}⟹-1\le x\le 6$$

$$-1\le x\le 6$$

← حل المتباينة هو -1 ≤ x ≤ 6.

1. المتباينة الأولى — x + y ≤ 10 → y ≤ 10 - x
   $$y\le 10-x$$
2. المتباينة الثانية — 2x - y ≥ 3 → y ≤ 2x - 3
   $$y\le 2x-3$$
3. حل النظام — نقطة التقاطع: 10 - x = 2x - 3 → 13 = 3x → x = 13/3 ≈ 4.33. y = 10 - 13/3 = 17/3 ≈ 5.67
   $$10-x=2x-3⟹3x=13⟹x=\frac{13}{3}\approx 4.33\text{و}y=10-\frac{13}{3}=\frac{17}{3}\approx 5.67$$
4. الحل — حل النظام هو جميع الأزواج (x,y) التي تحقق y ≤ 10 - x و y ≤ 2x - 3.
   $$\{(x,y)|y\le 10-x\text{و}y\le 2x-3\}$$

$$\{\begin{array}{c}y\le 10-x\\ y\le 2x-3\end{array}$$

← حل النظام هو جميع الأزواج (x,y) حيث y ≤ 10 - x و y ≤ 2x - 3.

1. المعادلة — عدد القطع: a + b = 20 → b = 20 - a
   $$a+b=20⟹b=20-a$$
2. المتباينة — الميزانية: 5000a + 8000b ≤ 100000
   $$5000a+8000b\le 100000$$
3. الاستبدال — استبدل b في المتباينة: 5000a + 8000(20 - a) ≤ 100000 → 5000a + 160000 - 8000a ≤ 100000 → -3000a ≤ -60000 → a ≥ 20
   $$5000a+8000(20-a)\le 100000⟹-3000a\le -60000⟹a\ge 20$$
4. النتيجة — بما أن a ≥ 20 و a + b = 20، فإن a = 20 و b = 0 هو الحل الوحيد الممكن.
   $$a=20\text{و}b=0$$

$$a=20,b=0$$

← الحل الوحيد الممكن هو شراء 20 قطعة من النوع الأول و0 قطعة من النوع الثاني.

1. البدء بالمتباينة — نريد إثبات: $\frac{x+y}{2}$ $\ge$ $\sqrt{xy}$
   $$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$$
2. تربيع الطرفين — بما أن كلا الطرفين غير سالبين، فإن تربيعهما يحافظ على المتباينة: \left ParseError: Expected group as argument to '\left' at end of input: \left($\frac{x+y}{2}$\right ParseError: Expected 'EOF', got '\right' at position 1: \̲r̲i̲g̲h̲t̲)^2 $\ge$ xy
   $${\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2\ge xy$$
3. التربيع — ننشر الطرف الأيسر: $\frac{x^2+2xy+y^2}{4}$ $\ge$ xy
   $$\frac{x^2+2xy+y^2}{4}\ge xy$$
4. ضرب في 4 — نضرب الطرفين في 4: $x^2$ + 2xy + $y^2$ $\ge$ 4xy
   $$x^2+2xy+y^2\ge 4xy$$
5. إعادة ترتيب — ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد: $x^2$ - 2xy + $y^2$ $\ge$ 0 → (x - y)^2 $\ge$ 0
   $$x^2-2xy+y^2\ge 0⟹{(x-y)}^2\ge 0$$
6. النتيجة — بما أن مربع أي عدد حقيقي دائماً غير سالب، فإن المتباينة صحيحة.
   $${(x-y)}^2\ge 0\text{دائماً صحيح}$$

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\text{للأعداد}x,y\ge 0$$

← تم إثبات أن متوسط حسابي لعددين غير سالبين أكبر من أو يساوي متوسطهما الهندسي.

1. المسافة والزمن — المسافة بين بغداد والبصرو حوالي 400 كم، والزمن المسموح 6 ساعات.
   $$d=400\text{كم},t=6\text{ساعة}$$
2. المتباينة — المسافة = السرعة × الزمن → 400 = v × 6 → v = 400/6 ≈ 66.67 كم/ساعة
   $$v\ge \frac{d}{t}=\frac{400}{6}\approx 66.67\text{كم/ساعة}$$
3. النتيجة — إذن يجب أن تكون السرعة المتوسطة ≥ 66.67 كم/ساعة.
   $$v\ge 66.\overline{6}\text{كم/ساعة}$$

← يجب أن تكون السرعة المتوسطة ≥ 66.67 كم/ساعة.

1. التكاليف — التكاليف = 150 × 2000 = 300000 دينار.
   $$300000\text{دينار}$$
2. الإيرادات — الإيرادات = (100 × 2500) + (50 × 1800) = 250000 + 90000 = 340000 دينار.
   $$250000+90000=340000\text{دينار}$$
3. الربح — الربح = الإيرادات - التكاليف = 340000 - 300000 = 40000 دينار.
   $$P=340000-300000=40000\text{دينار}$$

$$P=40000\text{دينار}$$

← الربح هو 40000 دينار.