حساب المساحات والحجوم في معالم العراق القديمة

1. القانون المستخدم — مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب طوله في عرضه. هذا القانون كان معروفًا منذ زمن البابليين الذين كانوا يحسبون مساحات الحقول الزراعية.
   $$A=L\times l$$
2. تعويض القيم — الآن نعوض القيم المعطاة في القانون. الطول 1200 متر والعرض 15 متر.
   $$A=1200\times 15$$
3. الحساب النهائي — بضرب العددين نحصل على المساحة المطلوبة. لاحظ أن النتيجة ستكون بوحدة المتر المربع لأننا ضربنا متر في متر.
   $$A=18000{\text{ m}}^2$$

$$18000{\text{m}}^2$$

← مساحة الجدار الشرقي لسور بابل هي 18000 متر مربع

1. مساحة القاعدة — نبدأ بحساب مساحة القاعدة التي هي مستطيل. مساحة المستطيل = الطول × العرض.
   $$A_{\text{قاعدة}}=a\times b=60\times 45$$
2. قانون الحجم — قانون حجم الهرم هو ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع. هذا القانون كان يستخدمه المهندسون البابليون لحساب كميات الطوب اللازمة للبناء.
   $$V=\frac{A_{\text{قاعدة}}\times h}{3}$$
3. الحساب النهائي — نعوض القيم في القانون ونحسب الحجم النهائي. لاحظ أن الوحدة ستكون متر مكعب (م³) لأننا نتعامل مع ثلاثة أبعاد.
   $$V=\frac{2700\times 21}{3}=18900$$

$$18900{\text{m}}^3$$

← حجم الهرم المدرج في زقورة أور هو 18900 متر مكعب

1. حجم الجزء المراد ترميمه — نحسب حجم الجدار المراد ترميمه كمنشور مستطيل. الحجم = الطول × السمك × الارتفاع.
   $$V=L\times e\times h=200\times 7\times 15$$
2. عدد الطوب لكل متر مكعب — نعرف أن كل 100 متر مكعب تحتاج 1200 طوبة، لذا نحسب عدد الطوب لكل متر مكعب.
   $$n=\frac{1200}{100}=12{\text{طوبة/م}}^3$$
3. عدد الطوب الكلي — نضرب حجم الجزء بعدد الطوب لكل متر مكعب للحصول على العدد الإجمالي للطوب اللازم.
   $$N_{\text{total}}=V\times n=21000\times 12$$

$$252000\text{طوبة}$$

← تحتاج عملية الترميم إلى 252000 طوبة

1. الثابت في التناسب — نحسب النسبة بين ارتفاع العمود وطول ظله. هذه النسبة تبقى ثابتة في نفس الوقت من اليوم بسبب تشابه المثلثات.
   $$k=\frac{h_{\text{عمود}}}{O_{\text{ظل عمود}}}=\frac{2}{1.5}$$
2. استنتاج ارتفاع الزقورة — نطبق نفس النسبة على الزقورة باستخدام طول ظلها المعروف. ارتفاع الزقورة = ثابت × طول ظلها.
   $$h_{\text{زقورة}}=k\times O_{\text{ظل}}=\frac{2}{1.5}\times 35$$
3. الحساب النهائي — بضرب الكسور نحصل على ارتفاع الزقورة. لاحظ أن الوحدة ستكون مترًا لأننا نتعامل مع أطوال.
   $$h_{\text{زقورة}}=\frac{70}{1.5}=46.67$$

$$46.67\text{m}$$

← ارتفاع الزقورة في أور هو 46.67 متر تقريبًا

1. مساحة السطح الجانبي — نحسب مساحة السطح الجانبي للبرج الذي يشبه الأسطوانة. نحتاج أولاً إلى محيط القاعدة.
   $$P=\pi \times d=\pi \times 8$$
2. قانون المساحة الجانبية — مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي محيط القاعدة مضروبًا في الارتفاع. هذه هي المساحة التي سنقوم بطلائها.
   $$A_{\text{سطح جانبي}}=P\times h=8\pi \times 30$$
3. حساب التكلفة — نضرب مساحة السطح الجانبي بتكلفة الطلاء لكل متر مربع للحصول على التكلفة الإجمالية.
   $$C_{\text{إجمالي}}=A_{\text{سطح جانبي}}\times C_{\text{وحدة}}=240\pi \times 1500$$

$$1130973\text{IQD}$$

← التكلفة الإجمالية لطلاء البرج هي 1,130,973 دينار عراقي (تقريبًا)

1. نصف الأقطار — نحسب نصف القطر الخارجي ونصف القطر الداخلي. نصف القطر الخارجي هو نصف القطر الخارجي للخندق، ونصف القطر الداخلي هو نصف القطر الخارجي ناقص عرض الخندق.
   $$R=\frac{D_{\text{خارجي}}}{2}=50\text{m},r=R-w=40\text{m}$$
2. حجم الحلقة — نستخدم قانون حجم الحلقة الدائرية. حجم الحلقة = π × (نصف القطر الخارجي² - نصف القطر الداخلي²) × العمق.
   $$V_{\text{رمل}}=\pi \times (R^2-r^2)\times d=\pi \times ({50}^2-{40}^2)\times 5$$
3. الحساب النهائي — نحسب الفرق بين مربعي نصف القطرين ثم نضرب في π والعمق. لاحظ أن الوحدة ستكون متر مكعب (م³).
   $$V_{\text{رمل}}=\pi \times (2500-1600)\times 5=4500\pi$$

$$14137{\text{m}}^3$$

← حجم الرمل اللازم لملء الخندق هو 14137 متر مكعب (تقريبًا)

1. تحويل وحدة الارتفاع — نحول ارتفاع البرج إلى كيلومترات لتتناسب مع نصف قطر الأرض. 35 متر = 0.035 كيلومتر.
   $$h=35\text{m}=0.035\text{km}$$
2. قانون المسافة — نستخدم القانون الهندسي لمسافة النظر من ارتفاع معين. هذا القانون مشتق من نظرية فيثاغورس.
   $$d=\sqrt{2Rh+h^2}$$
3. الحساب التقريبي — بما أن h صغيرة مقارنة ب R، يمكننا استخدام التقريب: d ≈ √(2Rh). ثم نحسب القيمة النهائية.
   $$d\approx \sqrt{2\times 6371\times 0.035}\approx \sqrt{446}\approx 21.12\text{km}$$

$$21\text{km}$$

← يمكن للسائق أن يرى إلى مسافة 21 كيلومتر تقريبًا من قمة برج قلعة اربيل

1. حجم القاعدة الكلية — نحسب حجم القاعدة كمنشور مستطيل. الحجم = الطول × الارتفاع × السمك.
   $$V_{\text{قاعدة}}=L\times h\times e=5000\times 2\times 3$$
2. حجم الطوبة الواحدة — نحول حجم الطوبة من سنتيمترات مكعبة إلى أمتار مكعبة. 25 سم = 0.25 م، 12 سم = 0.12 م، 8 سم = 0.08 م.
   $$V_{\text{طوبة}}=0.25\times 0.12\times 0.08=0.0024{\text{m}}^3$$
3. عدد الطوب اللازم — نقسم حجم القاعدة الكلية على حجم الطوبة الواحدة للحصول على العدد الإجمالي للطوب.
   $$N=\frac{V_{\text{قاعدة}}}{V_{\text{طوبة}}}=\frac{30000}{0.0024}$$

$$12500000\text{طوبة}$$

← تحتاج القاعدة الجديدة إلى 12,500,000 طوبة

1. حجم الجدار — نحسب حجم الجدار كمنشور مستطيل. الحجم = الطول × الارتفاع × السمك.
   $$V_{\text{جدار}}=L\times h\times e=2000\times 3\times 0.5=3000{\text{m}}^3$$
2. حجم الكتلة الواحدة — نحسب حجم الكتلة الحديثة والقديمة. نحول من سنتيمترات إلى أمتار أولاً.
   $$V_{\text{حديث}}=0.25\times 0.12\times 0.06=0.0018{\text{m}}^3{V}_{\text{قديم}}=0.20\times 0.10\times 0.05=0.0010{\text{m}}^3$$
3. عدد الكتل اللازمة — نقسم حجم الجدار على حجم الكتلة للحصول على العدد الإجمالي للكتل. ثم نوزعها حسب النسب المئوية.
   $$N_{\text{إجمالي}}=\frac{3000}{0.0018}=1666667\text{كتلة}{N}_{\text{قديم}}=1666667\times 0.6=1000000\text{كتلة}{N}_{\text{حديث}}=1666667\times 0.4=666667\text{كتلة}$$
4. حساب التكلفة — نضرب عدد الكتل لكل نوع في تكلفتها ثم نجمع التكلفتين للحصول على التكلفة الإجمالية للخيار المختلط.
   $$C_{\text{إجمالي}}=(1000000\times 200)+(666667\times 800)=200000000+533333600$$
5. الفرق في التكلفة — نحسب تكلفة استخدام الطوب الحديث فقط ثم نقارن بينها وبين تكلفة الخيار المختلط.
   $$C_{\text{حديث فقط}}=1666667\times 800=1333333600\mathrm{\Delta }C=1333333600-733333600$$

$$600000000\text{IQD}$$

← يوفر استخدام 60% طوب قديم و40% طوب حديث حوالي 600 مليون دينار عراقي مقارنة باستخدام الطوب الحديث فقط